2022年概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案 .pdf

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1、1 / 13 第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题 1 设(X,Y) 的分布律为求 a.解答： 由分布律性质,1iji jp,可知111111691839a解得 a=29习题 2(1)2. X,YF x, yF x,y设的分布函数为，试用表示：(1)PaX b,Y c;解答： PaXb,Yc=F(b,c)-F(a,c).(2)P0Y b; 解答 P0a,Y b.解答： PXa,Y b=F(+ ,b)-F(a,b).习题 3(1)设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (1)P1/2X3/2,0Y4 解答： P1/2X2/3,0Y4=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2

2、+PX=1,Y=3=1/4+0+0=1/4.(2)P1 X 2,3 Y 4;解答： P1X2,3 Y4=PX=1,Y=3+PX=1,Y=4+PX=2,Y=3+PX=2,Y=4=0+1/16+0+1/4=5/16. (3)F(2,3). 解答： F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=1/4+0+0+1/16+1/4+0=9/16.习题 4 设 X,Y 为随机变量，且PX0,Y0=3/7,PX 0=PY0=4/7,求 PmaxX,Y0 ,PminX,YY=1，且由正态分布图形的对称性，知PXY=PXY,故 PXY=1 /2. 精选学习资料

3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 / 13 习题 7 设随机变量 (X,Y) 的概率密度为f x, y( 6) , 0 x1, 0ykxyO其它(1)确定常数k;(2)求 PX1,Y3;(3)求 PX1, 有 F(x,y)=PX 1,Yy=41200 xuduydyx最后，设x1,0y1,有 F(x,y)=PX 1,Yy=41200yxdxvdvy函数 F(x,y) 在平面各区域的表达式(见课后答案 ) 习题 9 设二维随机变量(X,Y) 的概率密度为fx, y4. 8( 2) , 0 x1,yyxxO其它求边缘概率密度Y

4、fy解答：,=Yfyfx ydx04. 82, 01yyx d xyO其它= 22.4 (4),01yyyyO其它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 / 13 习题 10 设(X,Y) 在曲线2yx,y=x 所围成的区域G 里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度. 解答：区域 G 的面积120()1/ 6Axxdx,由题设知 (X,Y) 的联合分布密度为fx, y26 , 0 x1, xyxO其它从而22( )( , )66(),01xXxfxf x ydyxxx即( )Xfx26 () , 0 x1xxO

5、其它( )( ,)66(),01yYyfyf x yxdxyyy即( )Yfy6() , 01yyyO其它3.2 条件分布与随机变量的独立性习题 1 二维随机变量 (X,Y) 的分布律为(1)求 Y 的边缘分布律；(2)求 PY=0 X=0,PY=1X=0;(3) 判定 X 与 Y 是否独立？解答： (1)由(X,Y) 的分布律知，Y 只取 0 及 1 两个值.PY=0=PX=0,Y=0+PX=1,Y=0=7/15+7/30=0.7PY=1=1071,1 0.33015iP Xi Y(2)Py=0 x=0=Px=0,y=0Px=0=23,Py=1x=0=13.(3)已知 Px=0,y=0=71

6、5, 由(1)知 Py=0=0.7, 类似可得Px=0=0.7. 因为 Px=0,y=0 Px=0? Py=0, 所以 x 与 y 不独立 . 习题 2 将某一医药公司9 月份和 8 份的青霉素针剂的订货单分别记为X 与 Y. 据以往积累的资料知 X 和 Y 的联合分布律为(1)求边缘分布律 ;(2)求 8 月份的订单数为51 时， 9 月份订单数的条件分布律. 解答： (1)边缘分布律为X 5152535455 pk 0.180.150.350.120.20 对应 X 的值 ,将每行的概率相加,可得 PX=i. 对应 Y 的值 (最上边的一行 ), 将每列的概率相加，可得PY=j. Y 51

7、52535455 pk 0.280.280.220.090.13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 / 13 (2)当 Y=51 时,X 的条件分布律为PX=k Y=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28,k=51,52,53,54,55. 列表如下 : k 5152535455 PX=k Y=51 6/287/285/285/285/28 习题 3 已知 (X,Y) 的分布律如下表所示，试求：(1)在 Y=1 的条件下 ,X 的条件分布律;(2)在 X=2 的条件下 ,Y 的条件分布律. XY

8、 012 012 1/41/8001/301/601/8 解答：由联合分布律得关于X,Y 的两个边缘分布律为X 012 pk 3/81/37/24 Y 012 pk 5/1211/241/8 故(1)在 Y=1 条件下， X 的条件分布律为X(Y=1) 012 pk 3/118/110 (2)在 X=2 的条件下， Y 的条件分布律为Y(X=2) 012 pk 4/703/7 习题 4 已知 (X,Y) 的概率密度函数为f(x,y)=3x,0 x1,0yx0,其它 ,求：(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数. 解答： (1)fX(x)=-+f(x,y)dy=3x2,0 x10, 其它

9、 , fY(y)=- + f(x,y)dx=32(1-y2),0y10, 其它 . (2)对 ? y(0,1),fX Y(x y)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,yx1,0,其它 , 对? x(0,1),fY X(y x)=f(x,y)fX(x)=1x,0yX=05x52(5 -y)125dydx=13. 习题 7 设随机变量X 与 Y 都服从 N(0,1)分布，且 X 与 Y 相互独立，求 (X,Y) 的联合概率密度函数. 解答：由题意知，随机变量X,Y 的概率密度函数分别是fX(x)=12 e-x22， fY(y)=12 e-y22 因为 X 与 Y 相互独立，所以(X,Y) 的联

10、合概率密度函数是f(x,y)=12e-12(x+y)2. 习题 8 设随机变量X 的概率密度f(x)=12e- x(-x0,各有 PXa,Xa=PXa ? P X a,而事件 Xa ? Xa, 故由上式有P Xa=PXa? PXa,? PX a(1 -PX a)=0 ? PXa =0 或 1=PX a ? (? a0) 但当 a0 时，两者均不成立，出现矛盾，故X 与 X不独立 . 习题 9 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为fY(y)=12e- y2,y00,y 0,(1)求 X 与 Y 的联合概率密度；(2)设有 a 的二次方程a2+

11、2Xa+Y=0, 求它有实根的概率. 解答： (1)由题设易知fX(x)=1,0 x10, 其它 , 又 X,Y 相互独立，故X 与 Y 的联合概率密度为f(x,y)=fX(x) ? fY(y)=12e-y2,0 x00,其它 ; (2)因 a 有实根 = 判别式 2=4X2 -4Y 0=X2 Y,故如图所示得到：Pa 有实根 =PX2Y=x2yf(x,y)dxdy=01dx0 x212e-y2dy =- 01e-x22dx=1- - 1e -x22dx- - 0e -x22dx=1- 2 12 - 1e -x22dx- 12- 0e -x22dx =1-2 (1)- (0),又 (1)=0.

12、8413,(0)=0.5, 于是 (1)-(0)=0.3413, 所以Pa 有实根 =1- 2 (1)- (0)1-2.51 0.3413=0.1433. 3.3 二维随机变量函数的分布习题 1 设随机变量X 和 Y 相互独立，且都等可能地取1,2,3 为值，求随机变量U=maxX,Y和V=minX,Y的联合分布 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 / 13 解答：由于UV, 可见 PU=i,V=j=0(ij), 于是，随机变量U 和 V 的联合概率分布为概率 U 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2

13、0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 习题 2 设(X,Y) 的分布律为XY -112 -12 1/101/53/101/51/101/10 试求： (1)Z=X+Y;(2)Z=XY;(3)Z=X/Y;(4)Z=maxX,Y的分布律 . 解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意， Z 的相同值的概率要合并. 概率 1/101/53/101/51/101/10 (X,Y)X+YXYX/Ymaxx,Y (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222 于是 (

14、1) X+Y -20134 pi 1/101/51/21/101/10 (2) XY -20134 pi 1/21/51/101/101/10 (3) X/Y -2-1-1/212 pi 1/51/53/101/51/10 (4) maxX,Y -112 pi 1/101/57/10 习题 3 设二维随机向量(X,Y) 服从矩形区域D=(x,y 0 x2,0 y1的均匀分布，且U=0,X Y1,XY, V=0,X 2Y1,X2Y,求 U 与 V 的联合概率分布. 解答：依题 (U,V) 的概率分布为PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY=01dxx112dy=14, PU=0,V=1=PX

15、Y,X2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X 2Y=PYX 2Y= 01dy y2y12dx=14,PU=1,V=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 / 13 =1-PU=0,V=0-PU=0,V=1-PU=1,V=0=1/2, 即UV 01 01 1/401/41/2 习题 4 设(X,Y) 的联合分布密度为f(x,y)=12 e-x2+y22,Z=X2+Y2, 求 Z 的分布密度 . 解答： FZ(z)=PZ z=PX2+Y2z.当 z0 时， FZ(z)=P( ? )=0; 当 z0 时，FZ(z)=P

16、X2+Y2 z2= x2+y2 z2f(x,y)dxdy=12 x2+y2 z2e-x2+y22dxdy=12 02d 0ze- 22 d= 0ze- 22 d =1-e-z22. 故 Z 的分布函数为FZ(z)=1-e- z22,z 00,z00,z 0.习题 5 设随机变量 (X,Y) 的概率密度为f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x0,y00,其它 , (1)问 X 和 Y 是否相互独立？(2)求 Z=X+Y 的概率密度 . 解答： (1)fX(x)=-+f(x,y)dy=0+12(x+y)e-(x+y)dy,x00,x0under2line 令 x+y=t x+ 12te-t

17、dt=12(x+1)e- x,x00,x 0,由对称性知fY(y)=12(y+1)e-y,y00,y 0, 显然 f(x,y)fX(x)fY(y),x0,y0,所以 X 与 Y 不独立 . (2)用卷积公式求fZ(z)=- + f(x,z -x)dx. 当x0z-x0 即 x0 x0 时， fZ(z)= 0z12xe-xdx=12z2e-z. 于是， Z=X+Y 的概率密度为fZ(z)=12z2e- z,z00,z 0.习题 6 设随机变量X,Y 相互独立，若X 服从 (0,1)上的均匀分布，Y 服从参数 1 的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度 . 解答：据题意，X,Y 的概率密度分

18、布为fX(x)=1,0 x10, 其它 , fY(y)=e- y,y 00,y0,由卷积公式得Z=X+Y 的概率密度为fZ(z)=- + fX(x)fY(z-x)dx= - + fX(z -y)fY(y)dy= 0+ fX(z-y)e-ydy. 由 0z-y1 得 z-1y0 时， fZ(z)= 0+fX(z-y)e-ydy=max(0,z -1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z, 即 fZ(z)=0,z01-e-z,01. 习题 7 设随机变量 (X,Y) 的概率密度为f(x,y)=be-(x+y),0 x1,0y+,0,其它 . （1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(

19、x),fY(y) ；（3）求函数 U=maxX,Y的分布函数 . 解答：（ 1）由 -+-+f(x,y)dxdy=1，确定常数b. 01dx0+be-xe-ydy=b(1-e-1)=1 ，所以 b=11-e-1，从而 f(x,y)=11-e-1e- (x+y),0 x1,0y+ ,0, 其它 . （2）由边缘概率密度的定义得fX(x)= 0+11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0 x1,0, 其它，fY(x)=0111-e-1e-(x+y)dx=e- y,0y+ ,0, 其它（3）因为 f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 独立，故FU(u)=PmaxX,Y u=

20、PX u,Y u=FX(u)FY(u)，其中 FX(x)=0 xe -t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0 x1 ，所以 FX(x)=0,x 0,1 -e-x1-e-1,0 x1,1,x 1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 / 13 同理 FY(y)= 0ye -tdt=1-e-y,0y+,0,y 0，因此 FU(u)=0,u0,(1-e-u)21-e- 1,0 u00,x 0,?2(y)= e-y,y00,y 0,其中 0,0,试求系统 L 的寿命 Z 的概率密度 . 解答：设Z=minX,Y,则 F

21、(z)=PZ z=Pmin(X,Y) z=1 -Pmin(X,Y)z=1-PXz,Yz=1-1PXz1-PYz=1-1-F1z1-F2z 由于 F1(z)= 0ze-xdx=1 -e-z,z 00,z0,F2(z)=1-e- z,z 00,z0,故 F(z)=1-e-( +)z,z 00,z00,z 0.习题 9 设随机变量X,Y 相互独立，且服从同一分布，试证明：Paa2 -PXb2. 解答：设minX,Y=Z,则 Paz=1-PXz,Yz=1-PXzPYz =1-PXz2, 代入得 Pab2-(1-PXa2)=PXa2-PXb2.证毕 . 复习总结与总习题解答习题 1 在一箱子中装有12

22、只开关， 其中 2 只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验： (1)放回抽样； (2)不放回抽样 .我们定义随机变量X,Y 如下：X=0, 若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y=0, 若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就 (1),(2) 两种情况，写出X 和 Y 的联合分布律 . 解答： (1)有放回抽样，(X,Y) 分布律如下：PX=0,Y=0=10 1012 12=2536; PX=1,Y=0=2 1012 12=536, PX=0,Y=1=10 212 12=536, PX=1,Y=1=2 212 12=136, (2)不放回抽样， (X,Y)

23、 的分布律如下：PX=0,Y=0=10 912 11=4566, PX=0,Y=1=10 212 11=1066, PX=1,Y=0=2 1012 11=1066, PX=1,Y=1=2 112 11=166, Y X 01 01 45/6610/6610/661/66 习题 2 假设随机变量Y 服从参数为1 的指数分布，随机变量Xk=0, 若 Yk1,若 Yk(k=1,2), 求(X1,X2) 的联合分布率与边缘分布率. 解答：因为Y 服从参数为1 的指数分布，X1=0, 若 Y11,若 Y1, 所以有PX1=1=PY1= 1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1, 同理 PX2=1

24、=PY2=2+e-ydy=e-2,PX2=0=1-e-2, 因为 PX1=1,X2=1=PY2=e-2，PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1-e-2, PX1=0,X2=0=PY 1=1-e-1,PX1=0,X2=1=PX1=0-PX1=0,X2=0=0, 故(X1,X2) 联合分布率与边缘分布率如下表所示：X1slashX2 01 PX1=i 0 1-e-1 0 1-e-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 / 13 1 e-1-e-2 e-2 e-1 PX2=j 1-e-2 e-2

25、 习题 3 在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3 只橘子， 2 只苹果， 3 只香蕉 . 今从袋中随机抽出 4 只，以 X 记橘子数， Y 记苹果数，求(X,Y) 的联合分布 . 解答： X 可取值为0,1,2,3,Y 可取值 0,1,2. PX=0,Y=0=P? =0,PX=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70,PX=0,Y=2=C30C22C32/C84=3/70, PX=1,Y=0=C31C20C33/C84=3/70,PX=1,Y=1=C31C21C32/C84=18/70, PX=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70,PX=2,Y=0=C32C20C32/

26、C84=9/70, PX=2,Y=1=C32C21C31/C84=18/70,PX=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70, PX=3,Y=0=C33C20C31/C84=3/70,PX=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70, PX=3,Y=2=P? =0, 所以， (X,Y) 的联合分布如下：XY 0123 012 03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700 习题 4 设随机变量X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y) 的联合分布律及关于X 与Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：XY y

27、1 y2 y3 pi? x1 1/8 x2 1/8 p? j 1/6 1 解答：由题设X 与 Y 相互独立，即有pij=pi ? p? j(i=1,2;j=1,2,3), p ? 1-p21=p11=16-18=124, 又由独立性，有p11=p1? p? 1=p1? 16 故 p1? =14.从而 p13=14-124-18, 又由 p12=p1? p? 2, 即 18=14? p? 2. 从而 p? 2=12. 类似的有p? 3=13,p13=14,p2? =34. 将上述数值填入表中有XY y1 y2 y3 pi? x1 1/24 1/8 1/12 1/4 x2 1/8 3/8 1/4

28、3/4 p? j 1/6 1/2 1/3 1 习题 5 设随机变量 (X,Y) 的联合分布如下表：求： (1)a 值； (2)(X,Y) 的联合分布函数F(x,y)； (3)(X,Y) 关于 X,Y 的边缘分布函数FX(x) 与 FY(y). 解答： (1)because由分布律的性质可知i ? jPij=1, 故 14+14+16+a=1, a=13. (2)因 F(x,y)=PX x,Y y当 x1 或 y-1 时， F(x,y)=0; 当 1x2, -1y0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1=1/4; 当 x2, -1y0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5

29、/12; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 / 13 当 1x0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2; 当 x2,y 0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=1; 综上所述，得(X,Y) 联合分布函数为F(x,y)=0,x1或 y-11/4,1 x2,-1 y05/12,x 2,-1 y01/2,1 x2,y 01,x 2,y 0.(3)由 FX(x)=PX x,Y+ = xix j=1+ pij, 得(X,Y) 关于 X

30、的边缘分布函数为：FX(x)=0,x114+14,1 x214+14+16+13,x 2=0,x11/2,1 x21,x 2,同理，由FY(y)=PX+,Yy=yi yi=1+Pij, 得(X,Y) 关于 Y 的边缘分布函数为FY(y)=0,y-12/12,-1 y01,y 0.习题 6 设随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为f(x,y)=c(R- x2+y2),x2+y2R0,x2+y2 R,求： (1)常数 c; (2)PX2+Y2r2(rR).解答： (1)因为1= - +- + f(x,y)dydx= x2+y2Rc(R-x2+y)dxdy= 02 0Rc(R- ) d d =c R

31、33,所以有 c=3R3.(2)PX2+Y2 r2= x2+y2r23 R3R-x2+y2dxdy= 02 0r3 R3(R- ) d d =3r2R2(1-2r3R). 习题 7 设 f(x,y)=1,0 x2,max(0,x-1)ymin(1,x)0, 其它 , 求 fX(x) 和 fY(y). 解答： max(0,x-1)=0,x1x- 1,x 1, min(1,x)=x,x11,x1,所以， f(x,y) 有意义的区域(如图 )可分为 0 x1,0 yx,1 x2,1-xy1,即 f(x,y)=1,0 x1,0 yx1,1 x2,x-1y1,0, 其它 所以fX(x)= 0 xdy=x

32、,0 x0,y00,其它 , (1)确定常数c; (2)求 X,Y 的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4) 求 PY X;(5)求条件概率密度函数fXY(x y); (6)求 PX2 Y00 ,x 0=2e -2x,x00,x 0,fY(y)=- + f(x,y)dx= 0+ 2e-2xe-ydx,y00, 其它 =e- y,y00,y 0.(3)F(x,y)=- x- yf(u,v)dvdu= 0 x 0y2e-2ue-vdvdu,x0,y00, 其它=(1-e-2x)(1-e-y),x0,y00,其它 . (4)PY X= 0+ dx 0 x2e-2xe-ydy=

33、0+ 2e-2x(1-e-x)dx=13. (5)当 y0 时， fX Y(x y)=f(x,y)fY(y)=2e-2xe-ye-y,x00,x 0=2e-2x,x00,x 0.(6)PX2 Y1=PX2,Y1PY1=F(2,1) 01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 / 13 习题 10 设随机变量X 以概率 1 取值为 0, 而 Y 是任意的随机变量，证明X 与 Y 相互独立 . 解答：因为 X 的分布函数为F(x)=0, 当 x0 时

34、1,当 x0 时 , 设 Y 的分布函数为FY(y),(X,Y) 的分布函数为F(x,y)，则当 x0 时，对任意y, 有 F(x,y)=PX x,Yy=P(X x) (Yy)=P ? (Y y)=P ? =0=FX(x)FY(y); 当 x0 时，对任意y, 有F(x,y)=PX x,Y y=P(X x) (Y y)=PS (Y y)=PY y=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知， X 与 Y 独立 . 习题 11 设连续型随机变量(X,Y) 的两个分量X 和 Y 相互独立，且服从同一分布，试证PX Y=1/2.解答：因为X,Y 独立，所以f(x

35、,y)=fX(x)fY(y).PXY=xyf(x,y)dxdy=xyfX(x)fY(y)dxdy= - + fY(y)- yfX(x)dxdy=- + fY(y)FY(y)dy=- + FY(y)dFY(y)=F2(y)2 - + =12,也可以利用对称性来证，因为X,Y 独立同分布，所以有PXY=PYX,而 PXY+PXY=1, 故 PXY=1/12.习题 12 设二维随机变量(X,Y) 的联合分布律为若X 与 Y 相互独立，求参数a,b,c 的值 . 解答：关于X 的边缘分布为X x1x2x3 pk a+1/9b+1/9c+1/3 关于 Y 的边缘分布为Y y1y2 pk 1/9+a+c4

36、/9+b 由于 X 与 Y 独立，则有p22=p2? p? 2 得b=(b+19)(b+49) p12=p1? p? 2 得19=(a+19)(b+49) 由式得b=29, 代入式得a=118. 由分布律的性质，有a+b+c+19+19+13=1, 代入 a=118,b=29, 得 c=16. 易验证，所求a,b,c 的值，对任意的i 和 j 均满足 pij=pi ? p? j. 因此，所求a,b,c 的值为 a=118,b=29,c=16. 习题 13 已知随机变量X1 和 X2 的概率分布为且PX1X2=0=1. (1)求 X1 和 X2 的联合分布律；(2)问 X1 和 X2 是否独立？

37、解答： (1)本题是已知了X1 与 X2 的边缘分布律， 再根据条件PX1X2=0=1, 求出联合分布 . 列表如下：X2X1 -101 PX2=j 01 1/401/401/20 1/21/2 PX1=i 1/41/21/4 1 由已知 PX1X2=0=1, 即等价于PX1X 20=0,可知 PX1=1,X2=1=0,PX1=-1,X2=1=0. 再由 p? 1=p-11+p11+p01, 得 p01=12, p-10=p-1 ? =p-11=14,p10=p1 ? -p11=14,从而得 p00=0. (2)由于 p-10=14p-1? ? p? 0=14? 12=18, 所以知 X1 与

38、 X2 不独立 . 习题 14 设(X,Y) 的联合密度函数为f(x,y)=1R2,x2+y2R20,其它 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 / 13 (1)求 X 与 Y 的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X 与 Y 是否独立？解答：(1)当 xR 时， fX(x)=- + f(x,y)dy=- + 0dy=0; 当-R xR 时，fX(x)=- + f(x,y)dy=1 R2-R2-x2R2- x2dy=2 R2R2 -x2. 于是 fX(x)=2R2- x2R2, -RxR0, 其它 .

39、由于 X 和 Y 的地位平等，同法可得Y 的边缘概率密度是：fY(y)=2R2- y2 R2, -R y R0,其它 . (2)fX Y(x y)=f(x,y)fY(y) 注意在 y 处 x 值位于 xR2 -y2 这个范围内，f(x,y) 才有非零值，故在此范围内，有fX Y(x y)=1 R22 R2? R2-y2=12R2-y2, 即 Y=y 时 X 的条件概率密度为fX Y(x y)=12R2-y2, x R2 -y20,其它 . 同法可得X=x 时 Y 的条件概率密度为fY X(y x)=12R2-x2, yR2 -x20,其它 . 由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X 与

40、Y 不独立 . 习题 15 设(X,Y) 的分布律如下表所示求： (1)Z=X+Y; (2)Z=maxX,Y的分布律 . 解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意， Z 的相同值的概率要合并. 概率 (X,Y)X+YXYX/YmaxX,Y 1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222 于是 (1) X+Y -20134 pi 1/102/105/101/101/10 (2) maxX,Y -112 p

41、i 1/102/107/10 习题 16 设(X,Y) 的概率密度为f(x,y)=1,0 x1,0y2(1-x)0,其他，求Z=X+Y 的概率密度 . 解答：先求 Z 的分布函数Fz(z)，再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz. 如右图所示 .当 z0 时， Fz(z)=PX+Yz=0;当 0z1时， Fz(z)=PX+Yz=x+yzf(x,y)dxdy=0zdx0z-x1dy=0z(z -x)dx=z2-12x2 0z=12z2；当 1z2时， Fz(z)= 02-zdx0z -xdy+2 -z1dx02(1 -x)dy=z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2 ；当 z2 时， D

42、f(x,y)dxdy= 01dx02(1-x)dy=1. 综上所述Fz(z)=0,z012z2,0z1z(2-z)-12(2-z)2+(z- 1)2,1 z21,z 2，故 fz(z)=z,0z12-z,1 z0,y00,其它 ,求随机变量Z=X+2Y的分布函数 . 解答：按定义FZ(Z)=Px+2yz,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 / 13 当 z0 时， FZ(Z)= x+2y zf(x,y)dxdy= x+2y z0dxdy=0.当 z0 时， FZ(Z)= x+2y zf(x,y)dxdy= 0

43、zdx 0(z-x)/22e-(x+2y)dy = 0ze-x? (1-ex-z)dx= 0z(e-x-e-z)dx=-e-x 0z-ze-z=1-e-z-ze-z, 故分布函数为FZ(Z)=0,z 01-e-z-ze-z,z0. 习题 18 设随机变量X 与 Y 相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)=1,0 x 10,其它 , fY(y)=Ae- y,y00,y 0,求： (1)常数 A; (2)随机变量Z=2X+Y 的概率密度函数. 解答： (1)1= -+fY(y)dy= 0+A ? e-ydy=A. (2)因 X 与 Y 相互独立，故 (X,Y) 的联合概率密度为f(x,y)=e-

44、 y,0 x 1,y00,其它 .于是当 z2 时，有 F(z)=P2X+Y2=01dx0z-2xe-ydy=01(1 -e2x-z)dx. 利用分布函数法求得Z=2X+Y 的概率密度函数为fZ(z)=0,z0(1-e- z)/2,0 z2(e2-1)e-z/2,z 2.习题 19 设随机变量X,Y 相互独立，若X 与 Y 分别服从区间 (0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=maxX,Y与 V=minX,Y的概率密度 . 解答：由题设知，X 与 Y 的概率密度分别为fX(x)=1,0 x10,其它 , fY(y)=1/2,0y20,其它 , 于是， X 与 Y 的分布函数分别为FX(x)=

45、0,x 0 x,0 x11,x 1, FY(y)=0,y0y/2,0 y21,y 2,从而 U=maxX,Y的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)=0,u0u2/2,0 u1u/2,1 u21,u 2,故 U=maxX,Y的概率密度为fU(u)=u,0u11/2,1 u20,其它 . 同理，由FV(v)=1-1-FX(v)1-FY)=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v), 得 V=minX,Y的分布函数为FV(v)=0,v0v2(3-v),0 v11,v 1,故 V=minX,Y的概率密度为fV(v)=32-v,0v10,其它 . 注：(1)用卷积公式， 主要的困难在于X 与 Y 的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y 的分布函数FX(x) 与 FY(y), 然后求出 FU(u)， 再求导得 fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页