2022年概率论与数理统计期末考试试题及答案 .pdf

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1、一、单项选择题( 每题 3 分 共 18 分) （1）.0)(,0)(;0)(0)();( ).,0)(ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量X其概率分布为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 则5 .1 XP（） 。(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) 21设事件1A与2A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）（A）)()(21AAPAP（B）1)()()(21APAPAP（C）)()(21AAPAP（D）1)()()(21APAPAP).54,

2、0);46,0();3,0();5,0(,72,),1,2(),1,3(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX则令相互独与且设随机变量(N立).(1D 2 A 3 B 4 A 5 A 6 B填空题 1.)(BP2. 000)(xxxexfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页, （1）如果)()(,0)(, 0)(APBAPBPAP，则)(ABP（2）设随机变量X的分布函数为. 0,)1 (1, 0, 0)(xexxxFx则X的密度函数)(xf，)2(XP . 三、 (6 分) 设BA,相互独立，7.0)(

3、AP，88.0)(BAP，求)(BAP.四、 （6 分）某宾馆大楼有4 部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在运行的概率均为0.7 ，求在此时刻至少有1 台电梯在运行的概率。五、 （6 分）设随机变量X的概率密度为其它,00,)(xexfx，求随机变量Y=2X+1的概率密度。六、 （8 分）已知随机变量X和Y的概率分布为X101Y10P412141P2121(1) 而且10 XYP. 求随机变量X和Y的联合分布 ; (2)判断X与Y是否相互独立? 七、 （8 分）设二维随机变量),(YX的联合密度函数为.,0, 0,0,12),()43(其他yxeyxfyx求： （1）)20, 10(YX

4、P； （2）求X的边缘密度。八、 （6 分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100 元，调换一台设备厂方需花费300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。十、 （7 分）设供电站供应某地区1 000 户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0 ，20 上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000 户居民每日用电量超过10 100 度的概率。（所求概率用标准正态分布函数)(x的值表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

5、-第 2 页，共 10 页三、解： 0.88=)()()()(ABPBPAPBAP =)()()()(BPAPBPAP (因为BA,相互独立 ) .2分 =)(7 .0)(7.0BPBP 3 分则6.0)(BP .4 分)()()()()()(BPAPAPABPAPBAP28.06 .07.07. 0 6分解：用X表示时刻T运行的电梯数，则X)7 .0,4(b .2分所求概率011XPXP 4 分4004)7 .01()7.0(1C=0.9919 .6 分解：因为12xy是单调可导的，故可用公式法计算 .1 分当0X时，1Y .2 分由12xy， 得21,21xyx 4 分从而Y的密度函数为1

6、0121)21()(yyyfyfY .5分=1012121yyey .6分解：因为10XYP，所以00XYP(1) 根据边缘概率与联合概率之间的关系得出YX-1 0 1 0 1 410 0 21410 2121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页412141 .4 分(2) 因为4121210000,0YPXPYXP所以X与Y不相互独立 8 分解：用iX表示第i户居民的用电量，则20,0 UXi102200iEX310012)020(2iDX 2 分则 1000 户居民的用电量为10001iiXX，由独立同分布中心极

7、限定理10100110100XPXP 3 分=3100100010100010100310010001010001XP 4 分)3100100010100010100(1 .6 分=1)103( 7 分解： （1）1020)43(12)20, 10(dyedxYXPyx .2分20410343dyedxeyx=204103yxee =31e18e .4 分（2）dyexfyxX)43(12)( .6分00033xxex .8分 因 为)41( eX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页得00041)(41xxexfx

8、.2 分用Y表示出售一台设备的净盈利103001001100XXY 3 分则414141)100(edxeYPx41410141200edxeYPx .4分所以)1 ()200(1004141eeEY20030041e64.33（元）一、填空题 ( 每小题 3 分 , 共 30 分) 1、 “事件,A BC中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设( )0.7,()0.3P AP AB, 则()P AB_. 3、袋中有6 个白球 ,5 个红球 ,从中任取3 个, 恰好抽到 2 个红球的概率 . 4、设随机变量X的分布律为(), (1,2,8),8aP Xkk则a_. 5、设随机变量X在

9、(2,8)内服从均匀分布, 则( 24)PX . 6、设随机变量X的分布律为， 则2YX的分布律是 . 21011811515515kXp7 、 设 随 机 变 量X服 从 参 数 为的 泊 松 分 布 , 且 已 知,XXE1)2)(1(则 . 8、设129,XXX是来自正态总体( 2,9)N的样本 ,X是样本均植 , 则X服从的分布是二、 ( 本题 12 分) 甲乙两家企业生产同一种产品. 甲企业生产的60 件产品中有12 件是次品 ,乙企业生产的50 件产品中有10 件次品 . 两家企业生产的产品混合在一起存放, 现从中任取 1 件进行检验 . 求: (1) 求取出的产品为次品的概率;

10、(2) 若取出的一件产品为次品, 问这件产品是乙企业生产的概率. 三、 ( 本题 12 分) 设随机变量X的概率密度为,03( )2,3420,kxxxf xx其它 (1)确定常数k; (2)求X的分布函数( )F x; (3)求712PX. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页四、 ( 本题 12 分) 设二维随机向量(,)X Y的联合分布律为01210.10.20.120.10.2YXa试求 : (1) a的值 ; (2)X与Y的边缘分布律; (3)X与Y是否独立 ?为什么 ? 五、 ( 本题 12 分) 设随机

11、变量X的概率密度为,01,2,12,0,.xxfxxx其他求,E XD X一、填空题 ( 每小题 3 分 , 共 30 分) 1、ABC或ABC 2 、0.6 3、2156311C CC或411或 0.3636 4、1 5、136、2014131555kXp 7 、1 8 、( 2,1)N二、解设12,AA分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B表示取出的零件为次品,则由已知有1212606505121101(), (),(|),(|)1101111011605505P AP AP B AP B A . 2 分 (1)由全概率公式得112261511( )()(|)()(|)1151155P

12、 BP A P B AP AP B A . 7 分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1( )115P A P B AP A BP B. 12 分三、 ( 本题 12 分) 解 (1)由概率密度的性质知340391( )21224xf x dxkxdxdxk故16k. . 3 分 (2)当0 x时 ,( )( )0 xF xf t dt; 当03x时, 2011( )( )612xxF xf t dttdtx; 当34x时, 320311( )( )223624xxtF xf t dttdtdtxx; 当4x时, 34031( )( )2162xtF xf t dttdtdt;

13、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页故X的分布函数为220,01,0312( )123,3441,4xxxF xxxxx . 9 分 (3) 77151411(1)22161248PXFF. 12 分四、解 (1)由分布律的性质知01.0.20.10.10.21a故0.3a . 4 分(2)(,)X Y分别关于X和Y的边缘分布律为0120.40.30.3Xp. 6 分120.40.6Yp . 8 分 (3)由于0,10.1P XY,010.4 0.40.16P XP Y, 故0,101P XYP XP Y所以X与Y

14、不相互独立 . . 12 分五、 ( 本题 12 分) 设随机变量X的概率密度为,01,2,12,0,.xxfxxx其他求,E XD X. 解2131223201011()( )dd(2)d1.33xE Xxf xxxxxxxxx . 6 分122232017()( )dd(2)d6E Xx f xxxxxxx. . 9 分221()()().6D XE XE X. 12 分一、填空题（每空3 分，共 45 分）1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 则 P(A|B) = P( AB) = 2、设事件A与 B独立， A与 B都不发生的概率为1

15、9，A发生且 B不发生的概率与B发生且 A不发生的概率相等，则A发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6 个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：没有任何人的生日在同一个月份的概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页4、已知随机变量X的密度函数为：,0( )1/ 4,020,2xAexxxx, 则常数 A= , 分布函数F(x)= , 概率 0.51 PX；5、设随机变量X B(2，p) 、Y B(1，p)，若1 5/ 9P X，则 p = ，若 X与 Y独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、 设(

16、200,0.01),(4),XBYP且 X与 Y相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 (12 分) 设连续型随机变量X的密度函数为：1,02( )20,xxx其它求： 1）| 21|2PX；2）2YX的密度函数( )Yy；3）(21)EX；2、 (12 分)设随机变量 (X,Y) 的密度函数为1）1/ 4,|,02,( , )0,yxxx y其他求边缘密度函数( ),( )XYxy；2） 问 X与 Y是否独立？是否相关？计算Z = X + Y的密度函数( )Zz1、（ 10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10 ，1/5 ，1/10 和 2/

17、5 。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4 ，1/3 ，1/2 。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？1、 0.8286 ， 0.988 ； 2、 2/3 ； 3、14212661112C C，61266!12C； 4、 1/2, F(x)= 1,021, 02241,2xexxxx， 0.51 PX0.53142e；5、 p = 1/3 ， Z=max(X,Y) 的分布律： Z 0 1 2 P 8/27 16/27 3/27；6、 D(2X-3Y)= 43.92 , 二、计算题（ 35 分）1、解 1 ）9| 21|2 0.51.516PXP

18、X2）1()(),02( )0,01,0440,XXYyyyyyyy其它3）45(21)212133EXEX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页2、解： 1）1,02,02( )( ,)420,0,xXxxdyxxxx y dy其它其它2| |11,| 2(2|),| 24( )( ,)40,0,yYdxyyyyx y dx其它其它2） 显然，( , )( )( )XYx yxy，所以 X与 Y不独立。又因为 EY=0 ，EXY=0 ，所以，COV(X,Y)=0，因此 X与 Y不相关。 3）22( )( ,)11,0

19、4,044280,0,Zzzx zx dxzdxzz其它其它1、 解：设事件A1，A2，A3，A4 分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10 ，1/5 ，1/10 和 2/5 ，事件 B表示“迟到”，已知概率|,1,2,3, 4iP B Ai分别等于1/4 ，1/3 ，1/2 ，0 则41)()(|)iiiP BP A P B A23120111() (|)9(|)()23P A P B AP ABP B，222()(|)8(|)()23P A P BAP ABP B333() (|)6(|)( )23P A P B AP ABP B，444()(|)(|)0()P

20、AP B AP ABP B由概率判断他乘火车的可能性最大。一、填空题（每小题4 分，共 20 分）1、设事件A，B独立，且()0.5()=0.6P AP B，则()P AB。2、设随机变量X的分布密度为2,02( )0 ,kxxfx其它，则k=。3、设随机变量( ,4)XN，则2XY。4、设,X Y相互独立，其分布列分别为X0 1 Y0 1 P2121P2121则()P XY。5、设(2,2)XN，则2EX。二、单项选择题（每小题4 分，共 20 分）1、对于任意二事件A，B，则（）)(A若AB，则AB、一定独立)(B若AB，则AB、一定不独立)(C若=AB，则AB、一定互斥)(D若=AB，则

21、AB、一定互余精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页2、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4 次射击恰好第2 次命中目标的概率为（）)(A23 (1)pp)(B26(1)pp)(C223(1)pp)(D226(1)pp3、已知随机变量X的分布密度为34,01( )0 ,xxf x其它若XXaaPP， 那么常数()a)(A412 . )(B44、设,X Y相互独立，且(1,1)XN，(1,4)YN，则（）)(A122P XY（）=)(B112P XY（）=)(C122P XY（）=)(D11

22、2P XY（）=5、设(1,4)XN，( 1,2)YN，且YX ,相互独立，则2XY（）()(1,13)AN()(1, 5)BN()(1, 13)CN()(3,12)DN三、（ 10 分） 某商店销售的LED灯中，甲厂产品占80% ，其中一等品占95% ，乙厂产品占 20% ，其中一等品占90% ，求顾客任购一支LED灯是一等品的概率。四、（ 12 分） 设某种电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从参数为0.002的指数分布，其分布密度为,0( )0 ,xexf x其它1、计算1000P X（）；2、某设备装有3 个这样的电子元件，求该设备使用1000 小时后至少有一只电子元件正常工作的概率。五、 （12 分） 袋中装有编号为0、1、1、2 四个球，从中接连一只只有放回摸球，用X表示第一次摸得的号码，Y表示第二次摸得的号码，1、求(,)X Y的联合分布及关于X，Y的边缘分布；2、计算22()E XY。六、（ 14 分） 设二维随机变量(,)X Y的分布密度为),(yxf401,010 xyxy,，其它计算2P YX（）；求随机变量,X Y的边缘分布密度( ),(y)XYfxf；判定,X Y是否相互独立。七、（ 12 分） 设(0,1)XN，求2=YX 的分布密度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页