2022年概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理 .pdf

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1、学习必备欢迎下载概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011 学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量： 设 X 是一个随机变量， 如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称 X 为一个离散随机变量。2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1 分布） ：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为，则称 X 服从 x1,x2 处参数为p 的两点分布。两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：；两点分布的方差：若一个随机变量X 的概率分布由式给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为Xb(n,p)( 或

2、B(n,p). 两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：；二项分布的方差：若一个随机变量X 的概率分布为数为的泊松分布，记为，则称 X 服从参泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：；泊松分布的方差：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数，使得对于任意实数x，有，则称 X 为连续型随机变量，称f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。2010-2011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布

3、：若连续型随机变量X 的概率密度为其它，则称 X 在区间（ a,b）上服从均匀分布，记为XU(a,b) 均匀分布的概率密度：其它均匀分布的期望： （2）指数分布：；均匀分布的方差：2 若连续型随机变量X 的概率密度为，则称 X 服从参数为的指数分布，记为指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：1 ；指数分布的方差：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页学习必备欢迎下载1 2 2 2 若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 服从参数为和2 的正态分布，记为XN(,) 22 正态分布的概率密度：正态分布的期望：

4、2 2 ；正态分布的方差：（4）标准正态分布：2 ，2 e t 2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页学习必备欢迎下载dt 标准正态分布表的使用：（1）2010-2011 学年第一学期期末复习资料XN(0,1) （2）（3）故定理 1： 设 XN(,), 则6.随机变量的分布函数：设 X 是一个随机变量，称分布函数的重要性质：为 X 的分布函数。7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布（1）由 X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤：根据 X 写出 Y 的所有可能取值；对 Y 的每一个可能取值yi 确

5、定相应的概率取值；常用表格的形式把Y 的概率分布写出（2）由 X 的概率密度函数（分布函数）求Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤：由X 的概率密度函数由 FY(y)fX(x) 随机变量函数Y=g(X) 的分布函数FY(y) 求导可得Y 的概率密度函数（3）对单调函数，计算Y=g(X) 的概率密度简单方法：定理 1 设随机变量X 具有概率密度有，又设 y=g(x) 处处可导且恒（或恒有） ，则 Y=g(X) 是一个连续型随机变量，其概率密度为；其中是 y=g(x) 的反函数，且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页学习

6、必备欢迎下载练习题：2.4 第 7、13、14 2010-2011 学年第一学期期末复习资料总习题第 3、6、9、10、11、13、14、17、18、 19 第三章重要知识点：（1）要会由 X 与 Y 的联合概率分布，求出X 与 Y 各自概率分布或反过来；类似P63 例 2 （2）要会在X 与 Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；类似P71 例 3 （3）要会根据联合概率分布表求形如的概率；（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。2. 二维连续型随机变量X 与 Y 的联合概率密度: 设（ X,Y ）为二维随机变量，F(x,y) 为其分

7、布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对x y 任意实数（ x,y） ，有，则称（ X,Y ）为二维连续型随机变量。(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；f(s,t)dsdt (2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y) ，以及形如率值;P64 例 3 等联合概(3) (4) 要会根据联合概率密度求出x,y 的边缘密度 ;类似P64 例 4 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：2010-2011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

8、- -第 5 页，共 26 页学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料（1）； （2）要会根据这些性质解类似P68 第 5，6 题。4.常用的连续型二维随机变量分布二维均匀分布：设G 是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y ）具有概率密度函数5.独立性的判断：，则称（ X,Y ）在 G 上服从均匀分布。定义：设随机变量（X,Y ）的联合分布函数为F(x,y), 边缘分布函数为意实数 x,y，有 FX(x) ，FY(y) ，若对任（1）离散型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；所有可能取值(xi,yj) ，有，则 X 与 Y 相互独立。（2）连续型随机变量的独立性：由独立性

9、的定义进行判断；联合概率密度f(x,y) ，边缘密度fX(x) ， fY(y) 有几乎处处成立 , 则 X 与 Y 相互独立。(3)注意与第四章知识的结合X 与 Y 相互独立Cov(X,Y因此与 Y 不独立。6相互独立的两个重要定理定理 1 随机变量X 与 Y 相互独立的充要条件是X 所生成的任何事件与Y 生成的任何事件独立，即，对任意实数集A，B，有2010-2011 学年第一学期期末复习资料定理 2 如果随机变量X 与 Y 独立，则对任意函数（1）要求会使用这两个定理解决计算问题练习题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共

10、 26 页学习必备欢迎下载习题 2-3 第 3、4 题习题 2-4 第 2 题习题 3.2 第 5，7，8 题总习题三第 4， 9（1）-（ 4） ， 12,13 g1(x) ，g2(y) 相互独立。第四、五章知识点设总体密度函数如下，x1,x2,.xn 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。（1）2 1 e x 1 x 2 e t 1 e t 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页学习必备欢迎下载1 1 t t 1 e 2 e t 2 1 e t 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名

11、师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页学习必备欢迎下载t 2 1 t 22 ，由此可推出22 ，从而参数，的矩估计值为（2）似然函数为：1 n 1 n n i 其对数似然函数为：i 由上式可以看出，是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制，这给出的最大似然估计值为将关于求导并令其为0 得到关于的似然方程n n i2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页学习必备欢迎下载n ，解得n 2010-2011 学年第一学期期末复习资料第四章重要知识点：1.随机变量X 数学期望的求法：（

12、1）离散型（2）连续型；2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法：（1）离散型g （2）连续型；3.二维随机向量期望的求法：ij（1）离散型；（2）连续型4.随机变量X 方差的求法：（1）简明公式（2）离散型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页学习必备欢迎下载（3）连续型5. 随机变量X 协方差与相关系数的求法：（1）简明公式（2）离散型（3）连续型（4）6.数学期望、方差、协方差重要的性质：X2) (2) 设 X 与 Y 相互独立，则若 X 与 Y 相互独立，则2010-2011 学年第一学期期末复习资料（6）若

13、 X 与 Y 相互独立，则(7) 若（ X,Y ）服从二维正态分布，则X 与 Y 相互独立，当且仅当n 维正态分布的几个重要性质：Xi （1）n 维正态变量（ X1,X2,.,Xn ）的每个分量（）都是正态变量，反之，若 X1,X2,.,Xn 都是正态变量，且相互独立，则（X1,X2,.,Xn ）是 n 维正态变量。（2）n维随机向量 （X1,X2,.,Xn ）服从 n 维正态分布的充分必要条件是X1,X2,.,Xn 的任意线性组合均服从一维正态分布均服从一维正态分布（其中l1,l2,.ln 不全为零）。（3）若（ X1,X2,.,Xn ）服从 n 维正态分布，设Y1,Y2,.,Yk是的线性函

14、数，则（ Y1,Y2,.,Yk ）服从 k 维正态分布。（4）设（ X1,X2,.,Xn ）服从 n 维正态分布，则“X1,X2,.,Xn相互独立 ” 等价于 “X1,X2,.,Xn两两不相关 ” 练习题：1. 设（ X,Y ）的联合密度函数为解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页学习必备欢迎下载2 10 x0 ，求 CovX(Y,) 及3 10 x0 2 10 4 3525 2 1 2 321 10 x0 2 同理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12

15、 页，共 26 页学习必备欢迎下载2 25 2010-2011 学年第一学期期末复习资料2 1 x0 10 x0 3 15 又因从而 Cov(X,Y27525 23 2. 习题 4.3 第 10 题 8.中心极限定理（1）定理 4（棣莫佛 拉普拉斯定理）设随机变量n X1,X2,.Xn,. 相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页学习必备欢迎下载有t 2 2 （2）定理 3（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,.Xn,. 相互独立，服从同一分布，且n

16、2 则i t 2 2 dt 练习题：习题4-4 11 题 12 题 总习题四24，25，26 题第五章重要知识点确定或求证统计量所服从的分布1.三大分布22222 （1）分布： ：设 X1,X2,.Xn是取自总体N(0,1)的样本，称统计量服从自由度为n 的分布。（2）t 分布：设)，且 X 与 Y 相互独立，则称的 t 分布。22 （3）F 分布：设，且 X 与 Y 相互独立，则称2 2 服从自由度为X/mY/n 服从自由度为（ m,n）的 F 分布。2.三大抽样分布2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页学习必

17、备欢迎下载（1）设总体是取自 X 的一个样本，X 为该样本的样本均值，2010-2011 学年第一学期期末复习资料则有2 /n)，N(0,1) （2）定理 2 设总体 XN，是取自X 的一个样本，X 与 S2 为该样本的样本均值与样本方差，则有2 2 2 1 n 2 i ，22 X 与 S相互独立2 （3）定理 3 设总体，是取自X 的一个样本，X 与 S2 为该样本的样本均值与样本方差，则有2 1 n 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页学习必备欢迎下载，2 2 练习题：1.设 X1,X2.X2n 是来自正态

18、总体XN(0,1) 的样本，求统计量2 解：因为Xi 2 由样本的独立性及分布的定义，有( X2 再由样本的独立性以及t 分布的定义，有2 X4 2 X2n 22 t(n) 2 总习题五14 题3.求样本函数相关的概率问题练习题：习题5-3 2 总习题五16、17 第六章重要知识点：1.矩估计的求法：设总体 X 的分布函数中含有 k 个未知参数的函数，则2010-2011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料（1）求总体X 的 k 阶矩它们一般都是是这 k 个未知参数的函数，

19、记为（2）从（ 1）中解得（ 3）再用的估计量Ai 分别代替上式中的，即可得的估计信度，又分别称信上限。（2）单侧置信区间：设为总体分布的未知参数，_ 与为的双侧置信下限与双侧置X1,X2,.Xn 是取自总体X 的一个样本，对给定的数，若存在统计量满足n) ，则称为的置信度为的单侧置信区间，称为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页学习必备欢迎下载的单侧置信下限；若存在统计量，满足则称为的置信度为的单侧置信区间，称为的单侧置信上限。5.寻求置信区间的方法：一般步骤：（1） 选取未知参数的某个较优估计量（2）围绕构造一

20、个依赖于样本与参数的函数（ 3）对给定的置信水平，确定与2 ，使2 与通常可选取满足数表查得。的与，在常用分布情况下，这可由分位（4）对不等式作恒等变形后化为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页学习必备欢迎下载则就是的置信度为的双侧置信区间。6.置信区间的公式：(1)0-1 分布参数的置信区间：212a 2 而为未知参数，X1,X2,.Xn (2)设总体2 ，其中已知，2 是取自总体X 2010-2011 学年第一学期期末复习资料的一个样本。均值的置信区间为：（2 n，2 2 n），其中，设总体精选学习资料 - -

21、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页学习必备欢迎下载未知，X1,X2,.Xn 是取自总体X 的一个样本。均值的置信区间为：（，2 Sn，Sn）是取自总体X 的一(4)设总体个样本。2 ，其中未知，X1,X2,.Xn 方差2 的置信区间为：( 2 2 , ) 的置信区间为：练习题：习题 6-2 第 1，2，5， 6题习题 6-3 第 3，4，5， 6题习题 6-4 第 4 题总习题六第 7， 8，9，10，16， 17，18，20， 21 题2010-2011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

22、- - - -第 20 页，共 26 页学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料第 1 章随机事件及其概率2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料第二章随机变量及其分布2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料第三章二维随机变量及其分布201

23、0-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页学习必备欢迎下载2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料第四章随机变量的数字特征2010-2011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料2010-

24、2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料第五章大数定律和中心极限定理2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料第六章样本及抽样分布2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料第七章参数估计2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料第八章假设检验2010-2011 学年第一学期期末复习资料2010-2011 学年第一学期期末复习资料单正态总体均值和方差的假设检验精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页