2022年概率论第四章答案 .pdf

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1、习题 4-1 1. 设随机变量X的分布律为X-2 0 2 P0.4 0.3 0.3 求()E X；E(23 X); 2()E X；2(35)EX.解由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(XE; (23)23 ()23( 0.2)2.6EXE X; 8 .23 .023 .004.0)2()(2222XE; 4.1358 .235)(3)53(22XEXE. 2. 设随机变量X的概率密度为,0,( )0,0.xexf xx求XeZXY22和的数学期望 . 解0( )(2)2 ()22xE YEXE Xxxe d, 2201( )()3XxxE ZE eee dx. 3.

2、游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行 . 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且 X 在区间 0, 60上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知 X在0,60 上服从均匀分布 , 其概率密度为1,060,( )600,.xf x 其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.XXXXYg XXXXX因此 , 6001( ) ()( )( )( )60E YE g Xg x f x dxg x dx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

3、 - - - - - -第 1 页，共 13 页52555600525551(5)(25)(55)(65)60 x dxx dxx dxx dx=11.67(分钟 ). 14. 某保险公司规定 , 如果在一年内顾客的投保事件A 发生 , 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p, 为使该公司受益的期望值等于a 的 10, 该公司应该要求顾客交多少保险费？解设保险公司要求顾客交保费c元. 引入随机变量.A, 0,A1不发生事件发生事件，X则1 ,01P XpP Xp. 保险公司的受益值1,0.caXYcX，于是()()10E YcaP XcP Xapc. 据题意有10%apca,

4、 因此应要求顾客角保费(0.1)cp a. 习题 4-2 1. 选择题(1) 已知(1,(3)EDXX则23(2) ()EX. (A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解223(2) 3(44)EXE XX23()4()4E XE X23()()4 ()4D XE XE X3 (3144)36. 可见，应选 (D). (2) 设( ,),(6,(3.6)B n pEDXXX, 则有 ( ). (A) 10,0.6np. (B) 20,0.3np. (C) 15,0.4np. (D) 12,0.5np. 解因为( ,),B n pX所以 E(X)=np,D(X)=np(1-

5、p), 得到 np=6, np(1- p)=3.6 . 解之 , n=15 , p=0.4 . 可见，应选 (C).(3) 设 X与 Y相互独立，且都服从2( ,)N, 则有 ( ). (A) ()()( )E XYE XE Y. (B) ()2E XY. (C) ()()( )D XYD XD Y. (D) 2()2D XY.解注意到0)()()(YEXEYXE.由于 X 与 Y 相互独立 ,所以22)()()(YDXDYXD. 选(D).(4) 在下列结论中 , 错误的是 ( ). (A) 若( ,),().XB n pE Xnp则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

6、总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页(B) 若1,1XU，则()0D X. (C) 若 X 服从泊松分布 , 则()()D XE X. (D) 若2( ,),XN则(0,1)XN. 解)1 ,1( UX, 则3112212)()(22abXD. 选(B). 2. 已知 X, Y 独立 , E(X)= E(Y)=2, E(X2)= E(Y2)=5, 求 E(3X- 2Y),D(3X- 2Y). 解由数学期望和方差的性质有E(3X- 2Y)= 3E(X)- 2 E (Y)=32- 22=2, (32 )9()4()DXYD XD Y)()(4)()(92222YEYEXEXE1

7、3)45(4)45(9. 3. 设 随 机 变 量X1, X2, X3相 互 独 立 , 其 中X1服 从 区 间 0, 6 上 的 均 匀 分 布 , 220,2XN （）, 33XP （ ）, 记12323YXXX, 求 E(Y)和 D(Y) . 解由题设知21122(60)()3,()3,()0,()4,12E XD XE XD X3321111(),()39E XD X. 由期望的性质可得123123( )(23)()2 ()3()132034.3E YE XXXE XE XE X又123,XXX相互独立 , 所以123123( )(23)()4()9()1344920.9D YD X

8、XXD XD XD X4. 设两个随机变量X 和 Y 相互独立 , 且都服从均值为0, 方差为12的正态分布 , 求|XY的的期望和方差. 解记UXY. 由于11(0,),(0,)22XNYN, 所以()()( )0,E UE XE Y()()()1D UD XD Y. 由此(0,1)UN. 进而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页222222001222(|)(|)|22xxxE XYE Uxedxxedxe; 2222(| )()()()101E UE UD UE U. 故而22222(|)(|)(| ) (|)

9、11DXYD UE UE U.5. 设随机变量2, 1UX, 随机变量.0,1,0,0,0, 1XXXY求期望( )E Y和方差)(YD. 解因为 X的概率密度为1,12,( )30,.Xxfx 其它于是 Y的分布率为00-111031( )dd3XP YP Xfxxx, 000P YP X, +20021031( )dd3XP YP Xfxxx. 因此121( )1001333E Y, 222212()( 1)001133E Y. 故有2218( )()( )199D YE YE Y. 6. 设随机变量U在区间 - 2, 2上服从均匀分布, 随机变量1,1,1,1.UXU若若1,1,1,1.

10、UYU若若求 E(X+Y), D(X+Y).解(1) 随机变量 (X, Y)的可能取值为 (- 1,- 1),(- 1,1),(1,- 1),(1,1). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页1,1P XYP U1,U-1-211141d4P Ux, 1,1P XYP U1,U10, 1,11P XYP U,U111121d4x, 2111,11,141d4P XYP UUx. 于是得 X和Y的联合密度分布为X Y- 1 1 - 1 14121 0 14(2) YX和2)(YX的概率分布分别为X+Y- 2 0 2 P

11、 X+Y =k 141214(X+Y)20 4 P (X+Y)2 =k 1212由此可见22()044E XY;2()() 2D XYEXY.习题 4-3 1. 选择题(1) 在下列结论中 , ( )不是随机变量X 与 Y 不相关的充分必要条件(A) E(XY)=E(X)E(Y). (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y). (C) Cov(X,Y)=0. (D) X 与 Y 相互独立 . 解X 与 Y 相互独立是随机变量X 与 Y 不相关的充分条件,而非必要条件 . 选(D). (2) 设随机变量X和 Y都服从正态分布, 且它们不相关 , 则下列结论中不正确的是( ). (A) X 与 Y

12、一定独立 . (B) (X, Y)服从二维正态分布. (C) X 与 Y 未必独立 . (D) X+Y 服从一维正态分布. 解对于正态分布不相关和独立是等价的. 选(A). (3) 设(X, Y)服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页(A) ( X, Y)的边缘分布仍然是正态分布. (B) X 与 Y 相互独立等价于X 与 Y 不相关 . (C) (X, Y)是二维连续型随机变量. (D)由(X, Y)的边缘分布可完全确定(X, Y)的联合分布 . 解仅仅由 (X, Y

13、)的边缘分布不能完全确定(X, Y)的联合分布 . 选(D) 2 设 D(X)=4, D(Y)=6, XY=0.6, 求 D(3X- 2Y) . 解(32 )9()4()12Cov(,)DXYD XD YX Y)()(126449YDXDXY727.24626.0122436.3. 设随机变量X, Y 的相关系数为5.0, , 0)()(YEXE22()() 2E XEY, 求2() EXY. 解222() ()2 ()()42Cov(,)()( )E XYE XE XYE YX YE X E Y42()( )420.526.XYD XD Y4. 设随机变量 (X, Y)的分布律为X Y 1

14、2 0 1 0.4 a0.2 b若 E(XY)=0.8, 求常数 a,b 和协方差 Cov(X,Y). 解首先由111ijijp得4.0ba. 其次由0.8()1 00.4201 1 0.22 10.22E XYabb得3 .0b. 进而1. 0a. 由此可得边缘分布律X12Y01 iXP0.6 0.4 jYP0.5 0.5 于是4 .14.026.01)(XE, 5.05.015 .00)(YE. 故Cov(,)()()( )0.81.40.50.1X YE XYE X E Y. 5. 已知随机变量(,) (0.5, 4;0.1,9; 0)X YN, Z=2X- Y, 试求方差D(Z), 协

15、方差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页Cov(,)X Z, 相关系数XZ. 解由于 X,Y 的相关系数为零 , 所以 X 和 Y 相互独立 (因 X 和 Y 服从正态分布 ). 因此25944)()(4)2()(YDXDYXDZD, Cov(,)Cov(,2)2Cov(,)Cov(, )2()08X ZXXYX XX YD X. 因此Cov(,)80.825()()XZX ZD XD Z. 6. 设随机变量 (X, Y)服从二维正态分布: 2(1,3 )XN, 2(0, 4 )YN; X 与 Y 的相关系数1,23

16、2XYXYZ. 求: (1) E(Z), D(Z)； (2) X 与 Z 的相关系数XZ; (3)问X 与 Z 是否相互独立 ?为什么 ?解(1) 由于)3 , 1(2NX, )4 ,0(2NY, 所以16)(,0)(,9)(, 1)(YDYEXDXE, 而1Cov(,)()( )3462XYX YD XD Y. 因此31021131)(21)(31)23()(YEXEYXEZE, 1111()()()( )2Cov(,)329432XYD ZDD XD YXY111916Cov(,)943X Y3)6(3141. (2) 由于1111Cov(,)Cov(,)()Cov(,)9( 6)0,32

17、3232XYX ZXD XX Y所以Cov(,)0()()XZX ZD XD Z. (3) 由0XZ知 X 与 Z 不相关 , 又 X 与 Z 均服从正态分布 , 故知 X 与 Z 相互独立 . 7证明 : 对随机变量 (X, Y), E(XY)=E(X)E(Y)或者 D(XY)=D(X)+D(Y)的充要条件是X与 Y 不相关 . 证首先我们来证明)()()(YEXEXYE和()()( )D XYD XD Y是等价的 . 事实上 , 注意到()()( )2Cov(,)D XYD XD YX Y. 因此()()( )D XYD XD YCov(,)0()()( )X YE XYE X E Y.

18、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页其次证明必要性. 假设 E(XY)=E(X)E(Y), 则Cov(,)()()( )0X YE XYE X E Y. 进而Cov(,)0()()XYX YD XD Y, 即 X 与 Y 不相关 . 最后证明充分性. 假设 X 与 Y 不相关 , 即0XY, 则Cov(,)0X Y. 由此知)()()(YEXEXYE. 总习题四1. 设X 和 Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知X 的分布律为1,1,2,33P Xii. 又设max, ,min,UX YVX Y. (1

19、)写出二维随机变量(U, V)的分布律 ; (2) 求()E U. 解(1) 下面实际计算一下1,3P UV. 注意到max, ,min,UX YVX Y, 因此1,31,33,1 P UVP XYP XY1 33 1P XP YP XP Y9231313131. 类似地计算 , 可得(,)U V的分布律如下表U V 123119292920192930019(2) 由(,)U V的分布律可得关于U 的边缘分布律U 123P Ui193959精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页所以13522()1239999E U.

20、 2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗 . 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 , 并且概率是25. 设 X为途中遇到红灯的次数, 求随机变量 X 的分布律、 分布函数和数学期望 . 解令 X 表示途中遇到红灯的次数, 由题设知2(3,)5XB. 即 X 的分布律为X0 1 2 3 P 2712554125361258125从而3127543686()01231251251251255kE XkP Xk. 3. 设随机变量),(YX的概率密度为212,01,( ,)0,.yyxf x y 其它求22(),(),(),()E XE YE XYE XY. 解11240004()(

21、 , )1245xE Xxfx y dxdydxxy dyx dx. 11240003()( ,)1235xE Xyfx y dxdydxyy dyx dx. 112500031()( , )12362xE XYxyf x y dxdydxxyy dyx dx. 1222222200()()( , )() 12xE XYxyf x y dxdydxxyy dy155012423216(4)5653015xxdx. 4. 设随机变量 (X,Y)的概率密度为1sin(),0, 0,222( , )0,. 其它xyxyf x y求 E(X),D(X),E(Y),D(Y),E(XY)和 Cov(X,Y

22、). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页解22001()( , )sin()24E Xxf x y dxdyxxy dxdy. 22222200()( , )1sin()2.282E Xx f x y dxdyxxy dxdy于是有2216)()()(222XEXEXD. 利用对称性 ,有2216)(,4)(2YDYE. 又()( , )E XYxyf x y dxdy22001sin()2xyxy dxdy220022001sin()21sincoscos sin 2xdxyxy dyxdxyxyxy dy12.

23、 所以协方差2Cov(,)()()()1216X YE XYE X E Y. 5. 设随机变量X 与 Y独立 , 同服从正态分布1(0,)2N, 求(1) ();()E XYDXY；(2) (max, );(min, )EX YEX Y.解(1) 记YX.由于)21,0(),21, 0(NYNX,所以,0)()()(YEXEE1)()()(YDXDD. 由此)1 ,0( N. 所以2222012(|)(|)|22xxEXYExedxxedx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页22022xe, 101)()()()|

24、(|2222EDEE. 故而2121|)(|)|(|)(|)(|222EEDYXD. (2) 注意到2|)(),max(YXYXYX, 2|),min(YXYXYX. 所以21221|)()(21),max(YXEYEXEYXE, 21221|)()(21),min(YXEYEXEYXE. 6. 设随机变量),(YX的联合概率密度为, 02,02,8( ,)0,.xyxyf x y 其它求: E(X), E(Y), Cov( X,Y), XY, D(X+Y). 解注意到),(yxf只在区域20, 20:yxG上不为零 , 所以()( , )8GxyE Xxf x y dxdyxx yd d22

25、2000117()(1)846dxx xy dyx xdx, 22()( , )E Xx f x y dxdy222232000115()()843dxxxy dyxxdx, 因而36116735)()()(2222XEXEXD. 又()( , )E XYxyf x y dxdy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页22220001144()()8433dxxy xy dyxx dx. 由对称性知2275( )(),()()63E YE XE YE X, 3611)()(XDYD. 这样，4491Cov(,)()()

26、( )33636X YE XYE X E Y, Cov(,)111()( )XYX YD XD Y, 5()()( )2Cov(,)9D XYD XD YX Y.7. 设 A, B 为随机事件 , 且111( ),(|),(|)432P AP B AP A B, 令10AXA，发生 ,，不发生 ,10BYB，发生 ,，不发生 .求: (1) 二维随机变量 (X, Y)的概率分布 ; (2) X 与 Y 的相关系数XY.解由1()(|)3( )P ABP BAP A得1111()( )33412P ABP A, 进而由1(|)2P A B()( )P ABP B得1( )2()6P BP AB.

27、 在此基础上可以求得(1) 11,1()12P XYP AB, 1110,1()()()61212P XYP ABP BP AB, 1111,0()( )()4126P XYP ABP AP AB, 0,0()1()1 ( )( )()P XYP ABP ABP AP BP ABU1112146123. 故(X, Y)的概率分布为Y X0 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页0 231121 16112(2) 由(1)易得关于 X和 Y的边缘分布律X0 1 PX=k 3414Y0 1 PY=k 5616因此211(),(),44E XE X22113()()()41616D XE XE X, 22211115( ),(),( )()( )6663636E YE YD YE YE Y. 又由 (X, Y )的分布律可得21111()0001101 1312121212E XY. 故111()()( )1246()( )3516361515XYE XYE X E YD XD Y.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页