2022年概率论试题及答案 .pdf

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1、试卷一一、填空（每小题2 分，共 10 分）设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为_。. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点” ，表示“点数不大于3” ，则表示 _。已知互斥的两个事件满足，则_。设为两个随机事件，则_。设是三个随机事件，、，则至少发生一个的概率为_。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2 分，共 20 分）1. 从装有 2 只红球， 2 只白球的袋中任取两球，记“取到 2 只白球”，则（） 。(A) 取到 2 只红球(B) 取到 1 只白球(C) 没有取到白球(D) 至少取到 1 只红球2对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（

2、） 。(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设 A、B 为随机事件，则（） 。(A) A (B) B(C) AB(D) 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（） 。(A) 与互斥(B)与不互斥(C)(D)5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（） 。(A) (B)(C)(D)6. 设相互独立，则（） 。(A) (B)(C)(D)7. 设是三个随机事件，且有，则（） 。(A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2 次之前已经失败3 次的概率为（）

3、 。(A) p2(1p)3 (B) 4 p (1 p)3 (C) 5 p2(1p)3(D) 4 p2(1p)39. 设 A、B 为两随机事件，且，则下列式子正确的是（） 。(A) (B) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页(C) (D) 10. 设事件 A 与 B 同时发生时，事件C 一定发生，则（） 。(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) P (C) 1 (C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) + P (B) P (C)三、计算与应用题（每小题8

4、 分，共 64 分）1. 袋中装有 5 个白球， 3 个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2. 10把钥匙有 3 把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3. 一间宿舍住有6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率。4. 50个产品中有46 个合格品与4 个次品，从中一次抽取3 个，求至少取到一个次品的概率。5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2 ，0.1 ，0.1 ，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6. 已知某品的合格率为0.95 ，而合格品中的一级品率为0.65 。求该产品的一级

5、品率。7. 一箱产品共100 件, 其中次品个数从0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8 与 0.9 。现从该厂的产品中有放回地取5 件来检验，求其中最多有一件次品的概率。四、证明题（共6 分）设，。证明试卷一参考答案一、填空1. 或2. 出现的点数恰为5 3. 与互斥则4. 0.6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 2

6、3 页故5. 至少发生一个，即为又由得故二、单项选择12. A 3. A 利用集合的运算性质可得.4与互斥故5故6相互独立7.且则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页8.9. B 10. B故P (A) + P (B) P (C) 1 三、计算与应用题1. 解：设表示“取到的两球颜色不同”，则而样本点总数故2. 解：设表示“能把门锁打开” ，则，而故3. 解：设表示“有 4 个人的生日在同一月份” ，则而样本点总数为故4. 解：设表示“至少取到一个次品” ，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”则包含的样本点数为。

7、而样本点总数为故5. 解：设“任取一个零件为次品”由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品” ，表示通过三道工序都合格，则于是6. 解：设表示“产品是一极品” ，表示“产品是合格品”显然，则于是即 该产品的一级品率为7. 解：设“箱中有件次品”，由题设，有，又设“该箱产品通过验收” ，由全概率公式，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页于是8. 解：依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为设表示“有放回取5 件，最多取到一件次品”则四、证明题证明，由概率的性质知则又且故试卷二一、填空（每小题2 分，共

8、10 分）1. 若随机变量的概率分布为，则_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页2. 设随机变量，且，则_。3. 设随机变量, 则_。4. 设随机变量，则_。5. 若随机变量的概率分布为则_。二、单项选择 ( 每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2 分，共 20 分) 1. 设与分别是两个随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（） 。(A)(B)(C)(D)2. 设随机变量的概率密度为，则（） 。(A)(B)(C)(D)3.下列函数为随机变量

9、分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A)(B)(C) (D)5. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为（） 。(A)(B)(C)(D)6. 设服从二项分布，则（） 。(A)(B)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页(C)(D) 7. 设，则（） 。(A)(B)(C)(D)8设随机变量的分布密度为, 则（） 。(A) 2 (B) 1 (C) 1/2 (D) 4 9对随机变量来说，如果，则可断定不服从（） 。(A) 二项分布(B) 指数分布(C) 正态分布(D

10、) 泊松分布10设为服从正态分布的随机变量，则( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) - 3 三、计算与应用题（每小题8 分，共 64 分）1. 盒内有 12 个乒乓球，其中9 个是新球， 3 个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。2. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作，已知每个人在1 小时内有 12 分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有2 台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求（1）常数；（2）若将 3 个这种元件串联在一条线路上

11、，试计算该线路使用150 小时后仍能正常工作的概率。4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。求（1）这样的电池寿命在250 小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9 。5. 设随机变量。求概率密度。6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。求。7. 设随机变量的概率密度为。求和。8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的

12、路口数。求（1）的概率分布；（2）。四、证明题（共6 分）设随机变量服从参数为2 的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1. 6 由概率分布的性质有即，得。2. ，则3. 0.5 4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页5. 0.25 由题设，可设即0 1 0.5 0.5 则二、单项选择1. () 由分布函数的性质，知则，经验证只有满足，选2. () 由概率密度的性质，有3. () 由概率密度的性质，有4. () 由密度函数的性质，有5. () 是单减函数，其反函数为，求导数得由公式，的密

13、度为6. () 由已知服从二项分布，则又由方差的性质知,7. () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页于是 8. (A) 由正态分布密度的定义, 有 9. (D) 如果时, 只能选择泊松分布. 10. (D) X 为服从正态分布N (- 1, 2),EX = - 1 E(2X - 1) = - 3三、计算与应用题1. 解：设为抽取的次数只有个旧球 , 所以的可能取值为：由古典概型，有则1 2 3 4 2. 解：设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，于是（1）的最可能值为，即概率达到最大的（2）精

14、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页3. 解：（1）由可得（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作” ，则而故4. 解：（1）（查正态分布表）（2）由题意即查表得。5. 解: 对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知故由公式知：6. 解: ，则而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页由题设知即可得故查泊松分布表得，7. 解: 由数学期望的定义知,而故8

15、. 解: （1）的可能取值为且由题意 , 可得即0 1 2 3 （2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：由已知则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页又由得连续，单调，存在反函数且当时，则故即试卷三一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2 分，共 10 分）1. 设二维随机变量的联合分布律为，则_，_. 2. 设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则_. 3. 若随机变量与相互独立，且，则服从 _分布 . 4. 已知与相互独立同分布，且则_. 5. 设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫

16、不等式有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页_. 二、单项选择 ( 在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2 分，共 20 分) 1. 若二维随机变量的联合概率密度为，则系数（）. (A)(B)(C)(D)2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（）. (A)(B)(C)(D)3. 设随机向量 (X , Y)的联合分布密度为, 则（）.(A) (X , Y) 服从指数分布(B) X 与 Y 不独立(C) X 与 Y 相互独立(D) cov(X , Y

17、) 0 4. 设随机变量相互独立且都服从区间0,1 上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（）.(A) (B)(C)(D)5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是（）. (A)(B)(C)(D)6设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（）. (A)(B)(C)(D)7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（）. (A)(B)(C)(D)8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（）. (A)(B)(C)(D)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

18、-第 14 页，共 23 页9. 设是个相互独立同分布的随机变量，则对于，有（）. (A)(B)(C)(D)10. 设,为独立同分布随机变量序列，且 Xi( i = 1,2,)服从参数为 的指数分布，正态分布 N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（）.三、计算与应用题（每小题8 分，共 64 分）1. 将 2 个球随机地放入3 个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数. 求二维随机变量的联合概率分布 . 2. 设二维随机变量的联合概率密度为（1）确定的值；（2）求. 3. 设的联合密度为（1）求边缘密度和；（2）判断与是否相互独立 . 4. 设的联合密度为求的概率密度 .

19、5. 设，且与相互独立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页求（ 1）的联合概率密度；（2）；（3）. 6. 设的联合概率密度为求及. 7. 对敌人阵地进行100 次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5. 求 100 次炮击中有380 至 420 课炮弹命中目标的概率. 8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10 个，则认为这批产品不能接受. 问应检查多少个产品才能使次品率为10% 的这批产品不被接受的概率达0.9. 四、证明题（共6 分）设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一

20、常数的协方差是零 .试卷三参考解答一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2. 3. 相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且，4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页5. 二、单项选择1. (B)由即选择 (B).2. (B)由题设可知，故将标准化得选择 (B).3. (C)选择 (C).4. (C)随机变量相互独立且都服从区间0,1 上的均匀分布 , 则选择 (C).5. (A)选择 (A).6. (A)由期望的性质知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

21、 - - - -第 17 页，共 23 页选择 (A).7. (D)选择 (D).8. (B)与不相关的充要条件是即则选择 (B).9. (C)选择 (C).10. (A) Xi( i = 1,2,)服从参数为 的指数分布，则故选择 (A).三、计算与应用题1. 解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法 , 则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页即的联合分布律为2.解（1）由概率密度的性质有可得（2）设，则3. 解（1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

22、- - - - - - -第 19 页，共 23 页即即，（2）当时故随机变量与不相互独立 . 4. 解先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此当时，当时，故的概率密度为5. 解（1）与相互独立的联合密度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页（2）（3）6. 解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页于是由对称性故. 7. 解设表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有，则次炮击命中目标的炮弹数，因相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页于是8. 解设应检查个产品，其中次品数为，则由题设，这里，可以认为较大，则由棣莫弗拉普拉斯定理知，近似服从正态分布依题意，有即亦即查表得故至少应检查个产品，才能达到题设要求. 四、证明题证由协方差的定义及数学期望的性质，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页