新教材高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换章末复习课学案新人教B版第三册.doc
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1、第8章 向量的数量积与三角恒等变换平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的,向量数量积的结果是一个数量,根据定义式可知,当向量夹角为锐角、钝角和直角时,其结果分别为正值、负值和零,零向量与任何一个向量的数量积均为零平面向量的数量积是向量的核心内容,通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系,利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度【例1】非零向量a,b满足(ab)(2ab),(a2b)(2ab),求a,b的夹角的余弦值思路探究解由(ab)(2ab),(a2b)(2ab),得解得所以|a|b|ab,所以cos .1.如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍,BC1,则(
2、)ABCDC设D是BC的中点,等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍,BC1,在RtABD中,cosABC,|cos(ABC)21.故选C向量的坐标运算1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示后,向量的运算完全化为代数运算,实现数与形的统一2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具,它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题【例2】已知向量(4,3),(3,1),点A(1,2)(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足(R),求y与的值思路探究(1)先
3、求B,D点的坐标,再求M点坐标;(2)由向量相等转化为y与的方程求解解(1)设点B的坐标为(x1,y1)(4,3),A(1,2),(x11,y12)(4,3),B(3,1)同理可得D(4,3)设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2,y21,M.(2)由已知得(3,1)(2,y)(1,1y),(4,3)(3,1)(7,4)又,(1,1y)(7,4)(7,4),则2.已知ABC中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),BC边上的高为AD,求.解设D(x,y),则(x2,y1),(x3,y2),(6,3),0,则有6(x2)3(y1)0,则有3(x3)6(y2)0,解由构成的方程组得则
4、D点坐标为(1,1),所以(1,2).平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用,向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切,因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题2.向量在解析几何中的应用,主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程3.在物理中的应用,主要解决力向量、速度向量等问题【例3】已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P.求证:(1)BECF;(2)APAB证明如图建立直角坐标系,其中A为原点,不妨设AB2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)(1
5、)(1,2)(2,0)(1,2),(0,1)(2,2)(2,1)1(2)2(1)0,即BECF.(2)设P(x,y),则(x,y1),(2,1),x2(y1),即x2y2.同理,由,得y2x4,代入x2y2.解得x,y,即P.|24|2,|,即APAB3.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(1,4)(1)求证:ABAD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值解(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(1,4),(1,1),(3,3),1(3)130,即ABAD(2)四边形ABCD为矩形,.设C点的坐标为(x,y),则(1,1),(x1
6、,y4),解得C点的坐标为(0,5)从而(2,4),(4,2),|2,|2,8816.设与的夹角为,则cos ,矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.给值求值问题给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”使其角相同或具有某种关系,解题的基本方法是:将待求式用已知三角函数表示将已知条件转化而推出可用的结论其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异,有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换,找出它们之间的联系,最后求出待求式的值【例4】已知,tan .(1)求tan 的值;(2)求的值思路探究(1)结合的
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