柯西不等式与排序不等式.ppt

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1、柯西不等式柯西不等式 与与排序不等式排序不等式二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式若若a,b,c,d都是实数都是实数,则则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当当且仅当ad=bc时时,等号成立等号成立.定理定理1（二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？你能证明吗？ 向量形式：向量形式：2222(,),( ,)| | cos|ma bnc dmnmnmnacbdmabncd| | | | cos| | | | |mnmnmnmnmn2222acbdabcd| |设设,是两个向量是两个向量,则则 当且仅当当且仅当是零向量是零向量,或存在实数或存在实数k,使使

2、=k时时,等号成立等号成立.定理定理2: （柯西不等式的向量形式）柯西不等式的向量形式）xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0 xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)022122122222121)()(yyxxyxyx根据两点间距离公式以及三角形的根据两点间距离公式以及三角形的边长关系边长关系:观察观察定理定理（二维形式的三角不等式）（二维形式的三角不等式）设，那么设，那么1212,Ryyxx22122122222121)()(yyxxyxyx推论推论22222222|abcdacbdabcdacbd为非负实数）。dcbabdacdcba,()()()(2问题：已知为实数，证明问题：已

3、知为实数，证明 44223324422332(a +b )(a +b ) (a +b )(a +b )(a +b ) (a +b )a,ba,b问题：设，求证问题：设，求证 + +1 11 1a a, ,b bR R , ,a a+ +b b = =1 1+ +4 4a ab b2222已知4x +9y = 36，求x+2y的已知4x +9y = 36，求x+2y的问题：问题：最大值。最大值。2222已知4x +9y = 36，求x-2y的已知4x +9y = 36，求x-2y的变式：变式：最大值。最大值。小小2222已已知知3x+2y = 36，3x+2y = 36，求求x +y 的x +y

4、 的最最值值。小小2222已已知知3x+2y = 36，3x+2y = 36，求求x +2y 的x +2y 的最最值值。问题：求函数的最大值问题：求函数的最大值y = 5 x-1+ 10-2xy = 5 x-1+ 10-2x 二二 一般形式的一般形式的 柯西不等式柯西不等式22222212312321 1223 3() ()()aaabbbaba ba b(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)222222212n12n21 122(.) (.)(.)nnaaabbbaba ba b二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等

5、式）维形式的柯西不等式）:22222212n12n21 122(.) (.)(.)nnaaabbbaba ba b定理定理 设设nnbbbbaaaa,.,.,321321是实数，则是实数，则当且仅当当且仅当 (i=1,2,n) 或或 存在一个存在一个 数数k使得使得 (i=1,2,n) 时等号成立。时等号成立。 以上不等式称为以上不等式称为一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式。0ibiikba 例例1 已知已知123,.,na aaa都是实数，求证：都是实数，求证：22221212n1(.).naaaaaan2222abcd例例2 已知已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：是不全相等的

6、正数，证明：ab+bc+cd+da.例例3 已知已知x+2y+3z=1,求求 的最小值。的最小值。222xyz例例4：设：设a、b、c为正数且各不相等。为正数且各不相等。求证：求证： cbaaccbba9222)111)()()( )111)( 2accbbaaccbbaaccbbacba证明：9) 111 (2又又a、b、c各不相等，故等号不能成立各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。原不等式成立。例5 若abc 求证：cacbba4114) 11 ( )11)()()11)(2cbbacbbacbbaca证明： cacbba411例6：若求证：Rcba,23bacacbcba)111)(

7、baaccbcba 111bacacbcba分析：左端变形分析：左端变形只需证此式只需证此式 即可即可29 三三 排序不等式排序不等式引例引例121121212121121111212222,.,. .nnnnnnnnnnnnabc ccb babaaba baabba caa ba bcbaaabbba cn定理（排序不等式，又称排序定理）设为两组实数是的任一排列，那么：当且仅当或时,反序和等，b于顺序和。反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和已知已知 都是正实数都是正实数,求证求证: , ,a b c222abcabbcac例例2 设设a1,a2,an是是n个互不相等的正整数，个互不相等的正整数，求证：求证：3212221111.2323naaaann证明证明：设：设b1,b2,bn是是a1,a2,an的一个排列，的一个排列， 且有且有 b1b2bn因为因为b1,b2,bn是互不相等的正整数，是互不相等的正整数，所以所以b11,b22,bnn. 2221111. . .23n332211222222.2323nnaabbababnn又因又因由排序不等式，得：由排序不等式，得：2221111 111 1 23.1.232 3nnn