高中数学专题二次函数综合问题 .docx

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1、精品名师归纳总结二次函数综合问题例谈1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明白，易于变形一般式、顶点式、零点式等，所以，在解决二次函数的问题时，经常借助其解析式， 通过纯代数推理， 进而导出二次函数的有关性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.1 二次函数的一般式yax 2bxc c0 中有三个参数a, b, c .解题的关键在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知 fxax 2bx ，满意 1f 12 且 2f 14 ，求 f 2 的取值可编辑资料 - - - 欢迎下

2、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结范畴 .分析：此题中，所给条件并不足以确定参数a, b 的值，但应当留意到：所要求的结论不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 f2 的确定值， 而是与条件相对应的 “取值范畴” ，因此， 我们可以把 1f 12 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f 14 当成两个独立条件，先用f1 和 f1 来表示a,b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 f 1ab ， f1ab 可解得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

3、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 f 12f 1,b1 f21f 1* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将以上二式代入f xax 2bx ，并整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 1x 2x2f 1x 2x,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f 2f 13 f1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又2f 14 ， 1f 12 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 5f 210 .可编辑资料 -

4、- - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2设 fxax 2bxc a0 ，假设 f01 ， f 11 ， f 11 ,试5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：对于任意1x1 ，有 fx.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：同上题，可以用f 0 , f1 , f1 来表示a, b, c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：f1abc, f 1abc, f 0c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

5、归纳总结 a1 f 12f12 f0 , b1 f21f 1, cf 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xx 2xf 12x 2xf12f 0 1x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 1x0 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 1x 2x2x2x 2xf2x 2x2xx 21xx 221x2xf 01x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当 0x22x2x1 x1 255 .2441时，1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

6、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f xf 1xx 2f1xx 2f 01x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22xxxx 221x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2x2x 2x21x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2x1 x1 255 .244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，问题获证 .1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式ya xx1xx2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例

7、设二次函数 fxax21bxc a0 ，方程 fxx0 的两个根 x1 , x2 满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结足 0x1x2.当 xa0, x1时，证明 xfxx1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 在已知方程 fxx0 两根的情形下， 依据函数与方程根的关系，可以写出函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 f xx 的表达式，从而得到函数f x的表达式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：由题意可知f xx1axx1 xx2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

8、师归纳总结0xx1x2,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结axx1 xx2 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0, x1时， f xx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f xx1axx1 xx2 xx1 xx1 axax21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx10,且axax211ax20,可编辑资料 - - - 欢迎下载

9、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上可知，所给问题获证.1.3 紧扣二次函数的顶点式ya x力zaf xb 2ax1 ,24acb24a, 对称轴、最值、判别式显合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4已知函数f x2。2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1将 yf x 的图象向右平移两个单位，得到函数yg x ，求函数 yg x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析式。2函数 yh x 与函数 yg x的图象关于直

10、线 y1 对称， 求函数 yhx 的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结析式。3设取值范畴。F x1 f x ah x ，已知F x 的最小值是 m 且 m27 ，求实数 a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1g xf x22 x 2a;2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 设 yh x 的图像上一点P x, y，点 Px, y 关于 y1 的对称点为Q x,2y ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由点 Q在 yg x 的图

11、像上，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x 2于是y2a2 x 22 x 22y，a,2 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即h x22x 2a;2 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3F x1 f x ah x11 2 xa4 4a12 .2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 t2 x ，就F x4a t4a12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4at可

12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a问题转化为：t4a1227 对 t0 恒成立 .即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a4a t 2t7t4a10 对 t0 恒成立 .* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a故 必 有4a0 . 否 就 ， 假 设4a0 ， 就 关 于 t的 二 次 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ut4a4a t 27t4a4a1 开口向下， 当 t 充分大时， 必有 u t0 。而当 4a0 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a明显不能

13、保证 * 成立 . ，此时，由于二次函数ut4a t 27t4a4a1 的对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a4a074at4a0 ，所以，问题等价于t0 ，即4a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8a解之得：1a2 .24a744 a14a4a4a104a4a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时，4a0,4a10 ，故F xt4 at2 在 t取得4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小值 m24a 4a4 a12 满意条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

14、结2. 数形结合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数f xax 2bxca0 的图像为抛物线，具有很多美丽的性质，如对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称性、单调性、凹凸性等.结合这些图像特点解决有关二次函数的问题，可以化难为易. ， 形象直观 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.1 二次函数的图像关于直线x函数的一种对称性 .b对称， 特殊关系 x1x22ab 也反映了二次a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5设二次函数 fxax 21bxc a0 ，方程 fxx0 的两个根

15、 x1 , x2 满意x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0x1x2.且函数 fx 的图像关于直线 xx0 对称，证明： x0.a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由题意f xxax2b1xc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由方程 fxx0 的两个根 x , x满意 0xx1,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0x1b1x 2a1 , 且 b1x a2ab1 ,x22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结211b1x2ab11x22aab1 ，2a可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bx1即x1，故x0.a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.2 二次函数f x 的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根.所以存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实数 m, n 使得 mn 且 f(m) f(n) 0在区间m, n上，必存在f x0 的唯独的实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根.例 6已知二次函数f xax 2bx1a, bR, a0 ，设方程f xx 的两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实数根为x1和x2 .

17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1假如 x12x24 ，设函数f x 的对称轴为 xx0 ，求证： x01 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假如 x12 ， x2x12 ，求 b 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：条件 x12x24 实际上给出了f xx 的两个实数根所在的区间，因此可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以考虑利用上述图像特点去等价转化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设g xf xxax 2b1 x1 ，就g x0 的二根为x

18、和 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由 a0 及 x12x24 ，可得g2g404a，即016a2b10，即4b30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33b2 a42b30,4a30,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相加得b22a1 ，所以， x02a4a1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由x1x 2 b1 2a4,可得a2a1b1 21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 x1x21 0 ，所以a

19、x1, x2同号 .0x12 x2x22x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x12 ， x2x12 等价于2a1b1 2或12a1,b1 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g 20g 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即g 002 a1b1 2或g0012a1b1 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解之得b或 b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.3 因 为 二 次 函 数f xax 2bxca0在

20、区 间 ,b 2a和 区 间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b , 2a 上分别单调，所以函数f x 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结处取得。函数f x在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7已知二次函数 fxax 2bxc ，当 1x1 时，有 1f x1 ，求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当2x

21、2 时，有7f x7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：讨论f x 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应当尽量用已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件来表达参数a, b, c .确定三个参数，只需三个独立条件，此题可以考虑f 1 ， f 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 0 ，这样做的好处有两个：一是a,b, c 的表达较为简洁，二是由于1和0 正好是所给条可编辑资料 - -

22、- 欢迎下载精品名师归纳总结件的区间端点和中点，这样做能够较好的利用条件来到达掌握二次函数范畴的目的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要考虑f x 在区间7,7上函数值的取值范畴，只需考虑其最大值，也即考虑f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在区间端点和顶点处的函数值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由题意知：f 1abc, f0c, f1abc ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a1 f 12f 12 f 0,b21 f 12f 1,c2f 0 ，可编辑资料 - - - 欢

23、迎下载精品名师归纳总结 f xax2bxcf 1 xx 2f 1xx 2f 0 1x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 1x1 时，有1f x1 ，可得f 11,f11,f 01 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 23 f 1f13 f 03 f 1f 13 f 07 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 2f 13 fb13 f 0f 13 f 13 f 07 .可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载精品名师归纳总结1假设2a2,2 ，就 fx 在2,2上单调，故当x2,2 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时问题获证 .f xmaxmax f 2,f 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2假设2a2,2，就当 x2,2 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xmaxmax f 2 ,f 2 , fb 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又fb2acb 24acb2ab2f 0b2af 1f 141211427 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时问题获证 .综上可知：当2x2 时，有7f x7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载