高中数学难点突破-难点--求空间距离 .docx

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1、精品名师归纳总结难点 28关于求空间距离空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、 点到线、 点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.难点磁场 如图，已知 ABCD 是矩形， AB =a,AD =b,PA平面 ABCD ，PA=2 c,Q 是 PA 的中点 .求： 1Q 到 BD 的距离。2P 到平面 BQD 的距离 .案例探究例 1把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角，点E、F 分别是 AD、 BC 的中点，点 O 是原正方形的中心，求：(1) EF 的长。(2) 折起后 EOF 的大小 .命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属级题

2、目.学问依靠：空间向量的坐标运算及数量积公式. x 轴、 y 轴、 z 轴两两相互垂直 .技巧与方法：建系方式有多种，其中以 O 点为原点，以OB 、 OC 、 OD 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向最为简洁 .解：如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形 ABCD 边长为 a,就 A0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a,0, B22a,0,0,C0,22a,0, D 0,0,22a, E0, 222a, a,Fa,442a,04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) | EF

3、 |2222a0a 4422a042233aa,EFa 442可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) OE 0,2 a,422 a,OF422 a,422 a,042a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OE OF0aa aa 044448可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|OE |a ,| OF |a , cosOE,OFOE OF1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 EOF=120 |OE |OF |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2正方体 ABCD A1B1

4、C1D1 的棱长为 1，求异面直线A1C1 与 AB1 间的距离 .命题意图：此题主要考查异面直线间距离的求法，属级题目.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问依靠： 求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：此题简洁错误认为O1B 是 A1C 与 AB1 的距离，这主要是对异面直线定义不熟识，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采纳化归思想， 转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC1，在正方体 AC1 中， A

5、1C1 AC,A1C1平面 AB1C， A1C1与平面 AB1C 间的距离等于异面直线A1C1 与 AB1 间的距离 .连结 B1D 1、 BD，设 B1D 1 A1C1=O1,BDAC =O AC BD ，AC DD 1， AC平面 BB 1D1D平面 AB 1C平面 BB1D 1D，连结 B1O，就平面 AB1C平面 BB1D 1D=B1O作 O1G B1O 于 G，就 O1G平面 AB1C2 O1G 为直线 A1C1 与平面 AB1C 间的距离，即为异面直线A1C1 与 AB 1 间的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtOO 1B1 中， O1B1=2 ，OO

6、 1=1 ， OB1=2OO162O1B1=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 O1G= O1OO1 B13 ，即异面直线A1C1 与 AB1 间距离为3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OB133解法二： 如图， 在 A1C 上任取一点 M，作 MN AB1 于 N，作 MR A1B1 于 R，连结 RN，平面 A1B1C1D1平面 A1 ABB1， MR 平面 A1ABB1， MRAB 1 AB1 RN，设 A1 R=x,就 RB1=1 x C1A1B1= AB1A1=45 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载

7、精品名师归纳总结 MR=x,RN=NB1=2 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MNMR 2RN 221x12x23 x1 22310 x 1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x= 1 时， MN 有最小值3锦囊妙记3 即异面直线 A1C1 与 AB1 距离为3 .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空间中的距离主要指以下七种：(1) 两点之间的距离 . 2点到直线的距离 . 3点到平面的距离 .(4) 两条平行线间的距离 .(5) 两条异面

8、直线间的距离.(6) 平面的平行直线与平面之间的距离. 7两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有亲密联系， 有些可以相互转化， 如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离： 1直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.2 转移法，转化成求另一点到该平面的距离.3 体积法 .求异面直线的距离：1 定义法，即求公垂线段的长.2 转化成求直线与平面的距离.3函数极值法，依据是两条异面直线的距离是

9、分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.消灭难点训练一、挑选题1. 正方形 ABCD 边长为 2，E、F 分别是 AB 和 CD 的中点，将正方形沿EF折成直二面角 如图 ， M 为矩形 AEFD 内一点，假如 MBE = MBC ， MB 和平面 BCF 所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角的正切值为1 ，那么点 M 到直线 EF 的距离为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 2 2B.1C.3 2D. 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1=1，

10、AB =4，BC=3 ， ABC=90 ,设平面 A1BC1与平面 ABC 的交线为 l ，就 A1C1 与 l 的距离为 A.10B.11二、填空题3. 如左以下图，空间四点A、 B、C、D 中，每两点所连线段的长都等于a， 动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，就 P 与 Q 的最短距离为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 如右上图， ABCD 与 ABEF 均是正方形，假如二面角E AB C 的度数为30，那么 EF 与平面 ABCD 的距离为. 三、解答题5. 在长方体 ABCD A1B1C1D 1 中， AB=4， BC=3， CC1=2 ，如图

11、：1求证：平面 A1BC1 平面 ACD1。 2求1 中两个平行平面间的距离。 3求点 B1 到平面 A1 BC1 的距离 .6. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D 1，点 E 在棱 D 1D 上， 截面 EAC D1B 且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45,AB=a,求：(1) 截面 EAC 的面积。(2) 异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离。(3) 三棱锥 B1 EAC 的体积 .7. 如图，已知三棱柱A1B1C1 ABC 的底面是边长为2 的正三角形，侧棱A1A 与 AB、AC 均成 45角，且 A1E B1B 于 E， A1FCC 1 于 F.(1) 求点 A 到

12、平面 B1BCC1 的距离。(2) 当 AA1 多长时，点 A1 到平面 ABC 与平面 B1 BCC1 的距离相等 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， ABC=,AB=2AD =a,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADC =arccos 255 ,PA面 ABCD 且 PA=a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求异面直线 AD 与 PC 间的距离。6(2) 在线段 AD 上是否存在一点 F，使点 A 到平面 PCF 的距离为.3参考答案难点磁场解： 1在矩形 ABCD 中，作 AEBD

13、 ，E 为垂足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连结 QE ， QA平面 ABCD ，由三垂线定理得QE BE QE 的长为 Q 到 BD 的距离在矩形 ABCD 中， AB=a,AD=b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AE=aba 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtQAE 中， QA = 1 PA=c22a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 QE=ca 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Q 到 BD 距离为ca 2b 2 .可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解法一：平面 BQD 经过线段 PA 的中点， P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离在 AQE 中，作 AH QE， H 为垂足 BD AE,BD QE,BD平面 AQE BDAH AH平面 BQE，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离 .22在 RtAQE 中， AQ=c,AE=abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AH=a 2abc b2 c2a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P 到平面 BD 的距离为a2abc b2 c2a

15、2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：设点A 到平面 QBD 的距离为 h，由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VABQD =VQ ABD ,得11S BQD h=33S ABD AQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h= S ABDAQabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S BQDa 2b 2 c 2a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结消灭难点训练一、 1.解析：过点 M 作 MM EF,就 MM 平面 BCF MBE = MBC BM为 EBC 为角

16、平分线， EBM =45 ,BM =2 ,从而 MN =22答案： A2.解析：交线l 过 B 与 AC 平行，作 CD l 于 D，连 C1D ，就 C1D 为 A1C1 与 l 的距离，而 CD 等于 AC 上的高，即 CD = 12 ,Rt C1CD 中易求得 C1D= 1355可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： C二、 3.解析：以 A、B、C、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四周体，取P、Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别为 AB、CD 的中点，由于AQ=BQ=2a, PQAB,同理可得 PQCD ，故线段 PQ 的2可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结长为 P、Q 两点间的最短距离， 在 Rt APQ 中，PQ=AQ 2AP 23 a 22 a 22 a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：2 a24.解析：明显 FAD 是二面角 EAB C 的平面角， FAD =30 ,过 F 作 FG 平面 ABCD于 G，就 G 必在 AD 上，由 EF平面 ABCD . FG 为 EF 与平面 ABCD 的距离，即 FG= a .2答案： a2三、 5.1证明：由于 BC1 AD 1，就 BC1平面 ACD1同理， A1B平面 ACD 1，就平面 A1B

18、C1平面 ACD 1(2) 解：设两平行平面A1BC1 与 ACD 1 间的距离为 d，就 d 等于 D1 到平面 A1BC1A1C1=5，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1B=25 ， BC1=13 ， 就 cosA1BC1=2, 就 sin A1 BC1=6561, 就 S65A1 B1C1=61 , 由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VD1A1BC11VB A1C1 D1 ，就SA1BC1 d= 11AD1C1 D1 BB1,代入求得 d= 1261 ,即两平行平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

19、纳总结面间的距离为332611261 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结61(3) 解：由于线段 B1D 1 被平面 A1BC1 所平分，就 B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等，就由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 知点 B1 到平面 A1BC1 的距离等于1261.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结616.解： 1连结 DB 交 AC 于 O，连结 EO，底面 ABCD 是正方形 DO AC，又 ED面 ABCD EO AC，即 EOD =45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 DO =2 a， AC=2 a， EO

20、=2DO2=a， S EAC=acos452可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) A1A底面 ABCD ， A1A AC，又 A1A A1B1 A1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线又 EO BD1，O 为 BD 中点， D 1B=2EO=2 a D1D =2 a， A1B1 与 AC 距离为2 a(3) 连结 B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q，推证出 B1D面 EAC B1Q 是三棱锥 B1 EAC 的高，得 B1Q= 3 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VB1EAC12 a23 a3222 a 34可编辑资料 - - - 欢迎下

21、载精品名师归纳总结7.解： 1 BB1 A1E， CC 1 A1F，BB 1 CC 1 BB1平面 A1EF即面 A1EF 面 BB1C1C在 RtA1EB 1 中， A1B1E=45 ， A1B1=a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A1E=2a,同理 A1 F=222a,又 EF=a， A1E=a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 A1F=2 a,又 EF=a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EA1F 为等腰直角三角形， EA1 F=90过 A1 作 A1N EF，就 N 为 EF 中点，且 A1N平面 BCC 1B1即 A1N 为点

22、 A1 到平面 BCC1B1 的距离 A1N= 1a22又 AA1面 BCC1 B， A 到平面 BCC1B1 的距离为 a2 a=2 ，所求距离为 22设 BC、B1C1 的中点分别为 D、D1 ，连结 AD 、DD 1 和 A1D1，就 DD 1 必过点 N，易证ADD 1A1 为平行四边形 . B1C1 D 1D,B1C1 A1N B1C1平面 ADD 1A1 BC平面 ADD 1A1得平面 ABC平面 ADD 1A1，过 A1 作 A1M 平面 ABC，交 AD 于 M， 假设 A1M =A1N，又 A1AM =A1D 1N， AMA 1 = A1ND 1=90 AMA 1 A1ND

23、1,AA 1=A1D1=3 ,即当 AA 1=3 时满意条件 .8.解： 1 BCAD ,BC面 PBC, AD 面 PBC从而 AD 与 PC 间的距离就是直线AD 与平面 PBC 间的距离 .过 A 作 AE PB，又 AE BC AE平面 PBC， AE 为所求 .在等腰直角三角形PAB 中， PA=AB =a AE=2 a222作 CM AB，由已知 cosADC=55 tanADC = 1 ,即 CM = 1 DM22 ABCM 为正方形， AC=2 a,PC=3 a过 A 作 AH PC,在 Rt PAC 中，得 AH=63下面在 AD 上找一点 F，使 PC CF取 MD 中点

24、F， ACM、 FCM 均为等腰直角三角形 ACM+FCM =45 +45 =90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 FC AC,即 FC PC 在 AD 上存在满意条件的点F.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学法指导立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍旧注意于空间观点的建立和空间想象才能的培育.题目起点低，步步上升，给不同层次的同学有发挥才能的余的.大题综合性强，有几何组合体 中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方

25、法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.一、领会解题的基本策略思想高考改革稳中有变 .运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，挑选好典型例题，在基本数学思想指导下， 归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受同学欢送的， 同学通过娴熟运用，逐步内化为自己的体会，解决一般基本数学问题就会自然流畅.二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必需借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露的“立”起来.在详细的问题中，证明和运算常常依附于某种特别的帮助平面即基面.这个帮助平面的猎取正是 解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.三、重视模型在解题中的应用同学学习立体几何是从熟识详细几何模型到抽象出空间点、线、面的关系， 从而培育空间想象才能 .而数学问题中很多图形和数量关系都与我们熟识模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依据， 找出起关键作用的一些关系或数量，比照数学问题中题设条件， 突出特性， 设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特点规律猎取优解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载