2019年度河北地区中考数学试卷及标准答案.doc

-/ 2019年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列图形为正多边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（　　） A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+ 3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（　　） A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC 4．（3分）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　） A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5 5．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150，则∠1＝（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 6．（3分）小明总结了以下结论： ①a（b+c）＝ab+ac； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac； ③（b﹣c）a＝ba﹣ca（a≠0）； ④a（b+c）＝ab+ac（a≠0） 其中一定成立的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是（　　） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表AB 8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　） A．510﹣4 B．510﹣5 C．210﹣4 D．210﹣5 9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（　　） A．10 B．6 C．3 D．2 10．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． B． C． D． 11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（　　） A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②一④→③ D．②→④→③→① 12．（2分）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 13．（2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　） A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x 15．（2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根 16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n． 甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13． 乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14． 丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13． 下列正确的是（　　） A．甲的思路错，他的n值对 B．乙的思路和他的n值都对 C．甲和丙的n值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对 二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上） 17．（3分）若7﹣27﹣170＝7p，则p的值为　 　． 18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． 示例：即4+3＝7 则（1）用含x的式子表示m＝　 　； （2）当y＝﹣2时，n的值为　 　． 19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地． （1）A，B间的距离为　 　km； （2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为　 　km． 三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，，中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：1+2﹣6﹣9； （2）若126□9＝﹣6，请推算□内的符号； （3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 21．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0． 尝试 化简整式A． 发现 A＝B2，求整式B． 联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值： 直角三角形三边 n2﹣1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 　 　 勾股数组Ⅱ 35 / 　 　 22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8元球）＝． （1）求这4个球价格的众数； （2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练． ①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率． 又拿 先拿 23．（9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心． （1）求证：∠BAD＝∠CAE； （2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值； （3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m＜∠AIC＜n，分别直接写出m，n的值． 24．（10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）． （1）当v＝2时，解答： ①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 25．（10分）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x． （1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系； （2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小； （3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围． 26．（12分）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D． （1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； （2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； （3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离； （4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．  2019年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等， 故选：D． 2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3． 故选：B． 3．【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE， ∴从点C观测点D的仰角是∠DCE， 故选：B． 4．【解答】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5． 故选：A． 5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150， ∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1， ∴∠BAD+∠D＝180， ∴∠BAD＝180﹣150＝30， ∴∠1＝15； 故选：D． 6．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确； ③（b﹣c）a＝ba﹣ca（a≠0），正确； ④a（b+c）＝ab+ac（a≠0），错误，无法分解计算． 故选：C． 7．【解答】证明：延长BE交CD于点F， 则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故选：C． 8．【解答】解：＝0.00002＝210﹣5． 故选：D． 9．【解答】解：如图所示，n的最小值为3， 故选：C． 10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选：C． 11．【解答】解：由题意可得， 正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类， 故选：D． 12．【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称， 所以点M是原点； 故选：A． 13．【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝ 又∵x为正整数， ∴≤x＜1 故表示﹣的值的点落在② 故选：B． 14．【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1）， ∴俯视图的长为x+2，宽为x+1， 则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2， 故选：A． 15．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1， ∴（﹣1）2﹣4+c＝0， 解得：c＝3， 故原方程中c＝5， 则b2﹣4ac＝16﹣415＝﹣4＜0， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选：A． 16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14； 乙的思路与计算都正确； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：B． 二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上） 17．【解答】解：∵7﹣27﹣170＝7p， ∴﹣2﹣1+0＝p， 解得：p＝﹣3． 故答案为：﹣3． 18．【解答】解：（1）根据约定的方法可得： m＝x+2x＝3x； 故答案为：3x； （2）根据约定的方法即可求出n x+2x+2x+3＝m+n＝y． 当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2． 解得x＝﹣1． ∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1． 故答案为：1． 19．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴， ∴AB＝12﹣（﹣8）20； （2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D， 由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18， AE＝12， 设CD＝x， ∴AD＝CD＝x， 由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122， ∴解得：x＝13， ∴CD＝13， 故答案为：（1）20；（2）13； 三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9 ＝3﹣6﹣9 ＝﹣3﹣9 ＝﹣12； （2）∵126□9＝﹣6， ∴16□9＝﹣6， ∴3□9＝﹣6， ∴□内的符号是“﹣”； （3）这个最小数是﹣20， 理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小， ∴1□2□6的结果是负数即可， ∴1□2□6的最小值是1﹣26＝﹣11， ∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20， ∴这个最小数是﹣20． 21．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2， ∵A＝B2，B＞0， ∴B＝n2+1， 当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15； 当n2﹣1＝35时，n2+1＝37． 故答案为：15；37 22．【解答】解：（1）∵P（一次拿到8元球）＝， ∴8元球的个数为4＝2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9， ∴这4个球价格的众数为8元； （2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下： 原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9， ∴原来4个球价格的中位数为＝8（元）， 所剩的3个球价格为8，8，9， ∴所剩的3个球价格的中位数为8元， ∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同； ②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个， ∴乙组两次都拿到8元球的概率为． 23．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1） ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x 当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值． （3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30， ∵AB⊥AC ∴∠BAC＝90，∠PCA＝60，∠PAC＝90﹣α， ∵I为△APC的内心 ∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA ∴∠AIC＝180﹣（∠IAC+∠ICA） ＝180﹣（∠PAC+∠PCA） ＝180﹣（90﹣α+60） ＝α+105 ∵0＜α＜90， ∴105＜α+105＜150，即105＜∠AIC＜150， ∴m＝105，n＝150． 24．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s）， ∴S头＝2t+300 ②甲从排尾赶到排头的时间为300（2v﹣v）＝300v＝3002＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m 甲返回时间为：（t﹣150）s ∴S甲＝S头﹣S甲回＝2150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200； 因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200． （2）T＝t追及+t返回＝+＝， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v（T﹣150）＝v（﹣﹣150）＝400﹣150v； 因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m． 25．【解答】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P， ∴∠APC＝90， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠PBC＝∠DAB ∴＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2， 得（4k）2+（3k）2＝152，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3， ∴x＝BP＝33＝9， 故当x＝9时，圆心O落在AP上； ∵AP是⊙O的直径， ∴∠AEP＝90， ∴PE⊥AD， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD ∴PE⊥BC （2）如图2，过点C作CG⊥AP于G， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD， ∴∠CBG＝∠DAB ∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝， 设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3， ∴CG＝43＝12，BG＝33＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7， ∴AG＝AB+BG＝3+9＝12 ∴tan∠CAP＝＝＝1， ∴∠CAP＝45； 连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝245＝90，PH＝AP＝， 在Rt△CPG中，＝＝13， ∵CP是⊙O的切线， ∴∠OPC＝∠OHP＝90，∠OPH+∠CPG＝90，∠PCG+∠CPG＝90 ∴∠OPH＝∠PCG ∴△OPH∽△PCG ∴，即PHCP＝CGOP，13＝12OP， ∴OP＝ ∴劣弧长度＝＝， ∵＜2π＜7 ∴弦AP的长度＞劣弧长度． （3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90， 当∠OAD＝90，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M， ∵∠DAB＝∠CBP， ∴∠CPM＝∠CBP ∴CB＝CP， ∵CM⊥AB ∴BP＝2BM＝29＝18， ∴x≥18 26．【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b， ∴B （0，﹣b）， ∵AB＝8，而A（0，b）， ∴b﹣（﹣b）＝8， ∴b＝4． ∴L：y＝﹣x2+4x， ∴L的对称轴x＝2， 当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2， ∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）； （2）y＝﹣（x﹣）2+， ∴L的顶点C（） ∵点C在l下方， ∴C与l的距离b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1， ∴点C与1距离的最大值为1； （3）由題意得，即y1+y2＝2y3， 得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0） 解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣， 对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b）， 解得x1＝0，x2＝b， ∵b＞0， ∴右交点D（b，0）． ∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b﹣）＝ （4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x 直线解析式a：y＝x﹣2019 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019， ∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2021个整数点 ∴总计4042个点， ∵这两段图象交点有2个点重复重复， ∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）； ②当b＝2019.5时， 抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x， 直线解析式a：y＝x﹣2019.5， 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5， ∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0， 在二次函数y＝x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数， 可知﹣1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合 条件，因此“美点”共有1010个． 故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．