高中数学必修一：222-3《指、对数函数与反函数》课件（新人教版A）.ppt

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1、第三课时第三课时 指、对数函数与反函数指、对数函数与反函数 2.2.2-3 2.2.2-3 对数函数及其性质对数函数及其性质问题提出问题提出 设设a a0 0，且，且a1a1为常数，为常数， . .若以若以t t为自变量可得指数函数为自变量可得指数函数y ya ax x，若以，若以s s为自变量可得对数函数为自变量可得对数函数y ylogloga ax. x. 这两这两个函数之间的关系如何进一步进行数学个函数之间的关系如何进一步进行数学解释？解释？tas3st x和yyx2log2知识探究（一）：知识探究（一）：反函数的概念反函数的概念 思考思考1:1:设某物体以设某物体以3m/s3m/s的速

2、度作匀速直的速度作匀速直线运动，分别以位移线运动，分别以位移s s和时间和时间t t为自变量，为自变量，可以得到哪两个函数？这两个函数相同可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？吗？ 思考思考2:2:设设 ，分别分别x x、y y为自变量可以为自变量可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 2xy得到得到和和s=3t思考思考3:3:我们把具有上述特征的两个函数我们把具有上述特征的两个函数互称为互称为反函数反函数，那么函数，那么函数y ya ax x（a a0 0，且且a1a1）的反函数是什么？函数）的反函数是什么？函数 的反函数是什么？的反函数是什么？ 21yx)

3、 1, 0(log:) 1, 0(且aaxy的反函数是且aaayax.2121:12xy的反函数是xy小结小结:求反函数的一般步骤分三步求反函数的一般步骤分三步 一解、二换、三注明一解、二换、三注明思考思考4:4:在函数在函数y yx x2 2中，若将中，若将y y作自变量，作自变量，那么那么x x与与y y的对应关系是函数吗？为什么？的对应关系是函数吗？为什么？ 思考思考5:5:一个函数在其对应形式上有一对一一个函数在其对应形式上有一对一和多对一两种，那么在哪种对应下的函数和多对一两种，那么在哪种对应下的函数才存在反函数？才存在反函数？不是不是,因为当因为当y=1时时,x有两个值有两个值1与

4、与-1和它对应和它对应.在一对一的情况下在一对一的情况下,才存在反函数才存在反函数.知识探究知识探究(二二): 指、对数函数的比较分析指、对数函数的比较分析思考思考1:1:当当a a1 1时，指、对数函数的图时，指、对数函数的图象和性质如下表：你能发现这两个函象和性质如下表：你能发现这两个函数有什么内在联系吗？数有什么内在联系吗？ y=ay=ax x (a1) (a1) y=logy=loga ax(a1) x(a1) 图象图象 定义域定义域 值域值域 性质性质yx01yx01(0,)R(0,)R当当x x0 0时时y y1 1；当当x x0 0时时0 0y y1 1时时y y0 0；当当0

5、0 x1 1时时y y0 0；当当x=1x=1时时y=0y=0；在在R R上是减函数上是减函数. . 思考思考2:2:一般地，原函数与反函数的定义一般地，原函数与反函数的定义域、值域有什么关系？函数图象之间有域、值域有什么关系？函数图象之间有什么关系？单调性有什么关系？什么关系？单调性有什么关系？原函数的定义域就是反函数的值域原函数的定义域就是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域原函数的值域是反函数的定义域,它它们的图象关于直线们的图象关于直线y=x对称对称,原函数与原函数与反函数具反函数具有相同有相同的单调性的单调性.思考思考3:3:函数函数y = 1-x , y = 1-x , 的反

6、函数的反函数分别是什么？由此推测：如果函数分别是什么？由此推测：如果函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线y= xy= x对称，则对称，则 函数函数f(x)f(x)与其反函数有什么关系？与其反函数有什么关系？ 1yxy=1-x的反函数是y=1-xxy1的反函数是xy1函数函数f(x)与其反函数相等与其反函数相等.313113,.31311313) 1 ( :x的反函数是yxy所以yxyxxy解)0( 1)2( , 13) 1 (xxyxy).1() 1(:)0( 1) 1() 1() 1( 1)0( 1)2(22xxy的反函数是xxyyyxyyxxxy理论迁移理论迁移例1 求

7、下列函数的反函数例1 求下列函数的反函数).4(log)4( ; 23)3(211xyyx. 1)2(log)2(log12323)3( :3311yxyxyy解xx).2( 1)2(log:2331xxy的反函数为yx4)21()21(4)4(log)4(21yyxxxy. 4)21(:)4(log21xy的反函数为xyx)2(2) y0.25x (xR) (3) y(4) ylgx (x0)(1) y4x (xR) (xR) 练习练习1. 求下列函数的反函数求下列函数的反函数)0(log4xxy)0(log25. 0 xxy)0(log2xxy)(10Rxyx 例例2 2 已知函数已知函数

8、 . .（1 1）求函数）求函数f(x)f(x)的定义域和值域；的定义域和值域；（2 2）求证函数）求证函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线 y=xy=x对称对称. . 2( )log (12 )xf x 012021 ) 1 ( :x解xx定义域定义域(-,0)所以所以,函数函数f(x)的值域为的值域为(-,0)0)21 (log12102022xxxx).21 (log)()21 (log212221)21 (log)2(222xyyxyxx的反函数yxfxy因因f(x)的反函数与原函数相等的反函数与原函数相等,故结论成立故结论成立.3xA. y轴对称轴对称 B. x轴

9、对称轴对称C. 原点对称原点对称 D. 直线直线yx对称对称2. 函数函数y3x的图象与函数的图象与函数ylog3x的的图象关于图象关于( )练习练习D例例3 函数函数f(x)loga (x1)(a0且且a1)的反函数的图象经过点的反函数的图象经过点(1, 4)，求，求a的值的值. 若函数若函数yf(x)的图象经过点的图象经过点(a, b)，则其反函数的图象经过点则其反函数的图象经过点(b, a).小小 结：结：解解:依题意依题意,得得) 14(log1a. 3, 13log:a即aba12ba214ba12ba 例例4 4 若点若点P P（1 1，2 2）同时在函数）同时在函数y y 及其反函数的图象上，求及其反函数的图象上，求a a、b b 的值的值. .bax 解解:依题意依题意,得得:; 3a. 7b课课 堂堂 小小 结结1. 反函数的定义；求反函数的步骤；反函数的定义；求反函数的步骤；2. 互为反函数的函数图象间关系；互为反函数的函数图象间关系；3. 互为反函数的两个函数具有相同的互为反函数的两个函数具有相同的增减性增减性作业：作业：P P7575 习题习题2.2B2.2B组组:4:4，5.5.