2019年度陕西地区咸阳市高考数学一模试卷(理科).doc

^` 2019年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数（1﹣i）（2+i）＝（　　） A．3+i B．1+i C．3﹣i D．1﹣i 2．（5分）已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（　　） A．（1，2] B．（2，+∞） C．（1，2） D．[1，+∞） 3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝（　　） A．20 B．23 C．24 D．28 4．（5分）若向量，满足||＝1，||＝，且⊥（﹣），则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为60，且一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则C的方程为（　　） A．﹣y2＝1 B．﹣＝1 C．x2﹣＝1 D．﹣＝1 8．（5分）地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（　　） A．A B．B C．D D．E 9．（5分）下面命题正确的是（　　） A．若x≠0，则x+≥2 B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0” C．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角 D．“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 11．（5分）已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A﹣EF﹣C的大小为120，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（　　） A．6π B．5π C．4π D．3π 12．（5分）已知函数f（x）＝，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，e] B．（﹣∞，e） C． D． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）（3x+）4的展开式中的常数项为　 　． 14．（5分）我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某几何体与三视图（如图所示）所表示的几何体满足“幂势既同”，则该几何体的体积为　 　． 15．（5分）若实数x，y满足，若z＝ax﹣y（a∈R）的最小值是﹣1，则a的取值范围是　 　． 16．（5分）正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得＝2a1，且a6＝a5+2a4，则+的最小值是　 　． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，bcosC＝ccosB． （1）求c的值； （2）若a＝3，求cos2A的值． 18．（12分）为了调查某地区70岁以上老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了100位70岁以上老人，结果如下： 男 女 需要 18 5 不需要 32 45 （1）估计该地区70岁以上老人中，男、女需要志愿者提供帮助的比例各是多少？ （2）能否有99%的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关； （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区70岁以上老人中，需要志愿者提供帮助的老人的比例？说明理由． 附： P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝，n＝a+b+c+d． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝120，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝0． （1）求证：PO⊥平面ABCD； （2）若PA与平面ABCD所成的角为30，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值． 20．（12分）已知椭圆C：+y2＝1（a＞1）的上顶点为B，右顶点为A，直线AB与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切． （1）求椭圆C的方程； （2）过点N（0，﹣）且斜率为k的直线1与椭圆C交于P，Q两点，求证：BP⊥BQ． 21．（12分）设函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2． （Ⅰ）当a＝3时，求f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若直线y＝﹣x+1是曲线y＝f（x）的切线，求a的值． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C的极坐标方程； （2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值． 23．已知∃x∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立． （1）求满足条件的实数t的集合T； （2）若m＞1，n＞1，∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求m•n的取值范围．  2019年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数（1﹣i）（2+i）＝（　　） A．3+i B．1+i C．3﹣i D．1﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1﹣i）（2+i）＝2+i﹣2i﹣i2＝3﹣i． 故选：C． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2．（5分）已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（　　） A．（1，2] B．（2，+∞） C．（1，2） D．[1，+∞） 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合． 【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：A＝{x|x＞2}； ∴A∩B＝（2，+∞）． 故选：B． 【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算． 3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝（　　） A．20 B．23 C．24 D．28 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据a4＝4，S9＝72，可得a1+3d＝4，9a1+d＝72，联立解得a1，d，即可得出． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a4＝4，S9＝72， ∴a1+3d＝4，9a1+d＝72， 解得a1＝﹣8，d＝4， 则a10＝﹣8+49＝28． 故选：D． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．（5分）若向量，满足||＝1，||＝，且⊥（﹣），则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用． 【分析】由数量积判断平面向量的垂直关系可得：2＝，所以＝1， 由数量积表示两个向量的夹角得：cosθ＝＝，又θ∈[0，π]，所以，得解． 【解答】解：由⊥（﹣），得：2＝，所以＝1， 设与的夹角为θ， 又||＝1，||＝， 则cosθ＝＝， 又θ∈[0，π]， 所以， 故选：A． 【点评】本题考查了用数量积判断平面向量的垂直关系及数量积表示两个向量的夹角，属简单题． 5．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n＝＝36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m＝＝6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率． 【解答】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研， 每个县区至少派一位专家， 基本事件总数n＝＝36， 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m＝＝6， ∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C． 【解答】解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x）， 所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B， 又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换．属中档题． 7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为60，且一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则C的方程为（　　） A．﹣y2＝1 B．﹣＝1 C．x2﹣＝1 D．﹣＝1 【考点】K8：抛物线的性质；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出双曲线的渐近线方程和抛物线的焦点坐标，可得a，b的方程组，解方程可得双曲线的方程． 【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝x， 由题意可得＝tan60＝， 抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），可得双曲线的c＝2， 即有a2+b2＝4， 可得b＝，a＝1，即有双曲线的方程为x2﹣＝1． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 8．（5分）地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（　　） A．A B．B C．D D．E 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4G：演绎法；5I：概率与统计． 【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果． 【解答】解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s， 同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s， 得到D疏散乘客比A快； 同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s， 同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s， 得到A疏散乘客比E快； 同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s， 同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s， 得到A疏散乘客比C快； 同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s， 同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s， 得到D疏散乘客比B快． 综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D． 故选：C． 【点评】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 9．（5分）下面命题正确的是（　　） A．若x≠0，则x+≥2 B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0” C．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角 D．“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑． 【分析】由x＞0，x＜0，结合基本不等式可判断A；由特称命题的否定为全称命题，可判断B； 由向量的夹角定义，结合向量数量积的定义可判断C；由充分必要条件的定义可判断D． 【解答】解：若x＞0，则x+≥2；若x＜0，则x+≤﹣2，故A错； 命题“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故B错； 向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角或180度角，故C错； “a≠0”推不到“ab≠0”，但“ab≠0”可得“a≠0”， 则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D对． 故选：D． 【点评】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定和充分必要条件的判断，以及向量的夹角和基本不等式的运用，考查推理能力，属于基础题． 10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；33：函数思想；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质． 【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得ω，利用顶点坐标求得φ，则函数解析式可求，进一步求得＝2sin（2x﹣），再由2x﹣，k∈Z求得x，则函数图象的一个对称中心可求． 【解答】解：由图可知，T＝4（）＝π，则ω＝2， 又2φ＝，且|φ|＜，∴φ＝． 又由图可知，A＝2， ∴f（x）＝2sin（2x+）． 则＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）， 令2x﹣，k∈Z，则x＝， 当k＝1时，x＝， 故选：C． 【点评】本题主要考查利用y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题． 11．（5分）已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A﹣EF﹣C的大小为120，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（　　） A．6π B．5π C．4π D．3π 【考点】LG：球的体积和表面积；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5Q：立体几何． 【分析】根据题意作出图形，利用二面角大小为120度，可知三角形AEB的外心即对应菱形的另一顶点M，同样得到三角形DFC的外心N，MN的中点O即为外接球球心，计算就简单了． 【解答】解：如图，易知∠AEB＝120， 作出菱形AEBM，DFCN， 可知MA＝ME＝MB，ND＝NF＝NC， 且MN⊥平面AEBM， 故MN中点O即为外接球球心， 易得BM＝1，OM＝， 求得OB＝， ∴＝5π， 故选：B． 【点评】此题考查了二面角，几何体外接球问题，难度适中． 12．（5分）已知函数f（x）＝，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，e] B．（﹣∞，e） C． D． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用． 【分析】根据题意可得函数g（x）＝xf（x）＝ex﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可 【解答】解：∵x∈（0，+∞）， ∴x1f（x1）＜x2f（x2）． 即函数g（x）＝xf（x）＝ex﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x）＝ex﹣2ax≥0恒成立． ∴2a≤， 令， 则， x∈（0，1）时m（x）＜0，m（x）单调递减， x∈（1，+∞）时m（x）＞0，m（x）单调递增， ∴2a≤m（x）min＝m（1）＝e， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）（3x+）4的展开式中的常数项为　216　． 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理． 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项． 【解答】解：∵（3x+）4的展开式的通项公式为Tr+1＝•34﹣r•2r•x4﹣2r， 令4﹣2r＝0，求得r＝2，可得常数项为•9•4＝216， 故答案为：216． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14．（5分）我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某几何体与三视图（如图所示）所表示的几何体满足“幂势既同”，则该几何体的体积为　　． 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】解：由题意可知加好友是圆柱挖去一个圆锥的几何体，几何体的体积为：＝． 故答案为：． 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力． 15．（5分）若实数x，y满足，若z＝ax﹣y（a∈R）的最小值是﹣1，则a的取值范围是　（﹣∞，2]　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围． 【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域， 由z＝ax﹣y得y＝ax﹣z， 若a＝0，则y＝z，此时z＝ax﹣y的最小值为﹣1，满足条件． 若a＜0，则y＝ax﹣z的斜率a＜0．此时直线经过点A（0，1）时取得最小值﹣1满足条件． 若a＞0，则y＝ax﹣z的斜率a＞0．要是目标函数取得最小值﹣1，目标函数经过可行域的B，此时a≤2， 又，此时a＝2，满足条件． 综上：a≤2， 故答案为：（﹣∞，2]． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z＝ax﹣y的最小值为﹣1．确定直线的位置是解决本题的关键． 16．（5分）正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得＝2a1，且a6＝a5+2a4，则+的最小值是　4　． 【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用． 【分析】利用等比数列通项公式可得q＝2，m+n＝4，再利用基本不等式可得． 【解答】解：设{an}的公比为q，则a1q5＝a1q4+2a1q3⇒q＝2； 2a1⇒＝2a1⇒m+n＝4， ∴+＝•（+）＝（1+9++）≥（10+2）＝4，当且仅当m＝1，n＝3时取等）， 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，bcosC＝ccosB． （1）求c的值； （2）若a＝3，求cos2A的值． 【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（1）由题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得c的值； （2）由余弦定理和二倍角公式，求得cosA、cos2A的值． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）△ABC中，由bcosC＝ccosB及正弦定理得：sinBcosC﹣cosBsinC＝0，即sin（B﹣C）＝0． 因为0＜B＜π，0＜C＜π， 所以﹣π＜B﹣C＜π， 所以B＝C， 所以b＝c； 因为b＝2， 所以c＝2；……………………………（7分） （2）由b＝c＝2，a＝3，得 cosA＝＝﹣； cos2A＝2cos2A﹣1＝22﹣1＝﹣．………………（12分） 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题． 18．（12分）为了调查某地区70岁以上老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了100位70岁以上老人，结果如下： 男 女 需要 18 5 不需要 32 45 （1）估计该地区70岁以上老人中，男、女需要志愿者提供帮助的比例各是多少？ （2）能否有99%的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关； （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区70岁以上老人中，需要志愿者提供帮助的老人的比例？说明理由． 附： P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝，n＝a+b+c+d． 【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）计算出男女比例进行计算即可； （Ⅱ）完成22列联表，计算出K2的值，利用独立性检验进行判断即可； （Ⅲ）根据分层抽样和简单抽样的定义和特点进行选择即可； 【解答】解：（Ⅰ）需要志愿者提供帮助的男的比例为，女的比例为． （Ⅱ）完成22列联表： 男 女 合计 需要 18 5 23 不需要 32 45 77 合计 50 50 100 则K2＝＝≈9.543＞6.635 则有99%的把握人物该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． （Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据看出该地区70岁以上男性老人与女性老师中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区70岁以上老人中，男女的比例，再把老人分成男女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好． 【点评】本题主要考查独立性检验的应用以及抽样方法的选择，利用22列联表，结合抽样的定义是解决本题的关键． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝120，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝0． （1）求证：PO⊥平面ABCD； （2）若PA与平面ABCD所成的角为30，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值． 【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可知O为AC，BD的中点，结合PA＝PC，PB＝PD，得到PO⊥AC，PO⊥BD，再由线面垂直的判定可得PO⊥平面ABCD； （2）设菱形ABCD的边长为2t（t＞0），以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣PC﹣D的余弦值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC，BD的中点， 又PA＝PC，PB＝PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD， ∵AC∩BD＝O，且AC，BD⊂平面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD； （2）解：设菱形ABCD的边长为2t（t＞0）， ∵∠ABC＝120，∴∠BAD＝60，则OA＝． 由（1）知PO⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成角为∠PAO＝30． 得到PO＝t，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则B（0，t，0），C（，0，0），P（0，0，t），D（0，﹣t，0）， 得到，，． 设平面PBC与平面PCD的一个法向量分别为，． 由，取x1＝1，得； 由，取x2＝1，得． ∴cos＜＞＝＝． 由图可知，二面角B﹣PC﹣D的平面角为钝角， ∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题． 20．（12分）已知椭圆C：+y2＝1（a＞1）的上顶点为B，右顶点为A，直线AB与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切． （1）求椭圆C的方程； （2）过点N（0，﹣）且斜率为k的直线1与椭圆C交于P，Q两点，求证：BP⊥BQ． 【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）直线AF的方程为x+ay﹣a＝0，由直线AB与圆M相切，得a2＝3，由此能求出椭圆C的方程， （2）故可设直线l的方程为y＝kx﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理得（4+12k2）x2﹣12kx﹣9＝0，利用韦达定理和向量的数量积即可证明 【解答】（I）解：圆M的圆心为（2，1），半径1． 由题意知A（a，0），B（0，1）， 直线AB的方程为，即x+ay﹣a＝0， 由直线AB与圆M相切，得＝1， 解得a2＝3， 故椭圆C的方程为+y2＝1． 证明（2）故可设直线l的方程为y＝kx﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，整理得（4+12k2）x2﹣12kx﹣9＝0． ∴x1+x2＝，x1x2＝﹣， ∵＝（x1，y1﹣1）＝（x1，kx1﹣），＝，＝（x2，kx2﹣）， ∴•＝（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+＝（1+k2）（﹣）﹣k（）+＝0， 即BP⊥BQ 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用． 21．（12分）设函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2． （Ⅰ）当a＝3时，求f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若直线y＝﹣x+1是曲线y＝f（x）的切线，求a的值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用． 【分析】（Ⅰ）根据题意，当a＝3时，求出函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析函数的单调性，进而分析可得函数的极值； （Ⅱ）根据题意，取出函数的导数，设直线y＝﹣x+1与曲线y＝f（x）的切点为（x0，f（x0）），由导数的几何意义求出切线的方程，分析可得答案． 【解答】解：函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2，则f（x）的定义域为（0，+∞）． （Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝2lnx﹣x2+3x+2， 所以． 令，得﹣2x2+3x+2＝0， 因为x＞0，所以x＝2．f（x）与f（x）在区间（0，+∞）上的变化情况如下： x （0，2） 2 （2，+∞） f（x） + 0 ﹣ f（x） 2ln2+4 所以f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间（2，+∞）．f（x）有极大值2ln2+4，f（x）无极小值， （Ⅱ）因为f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2， 所以． 设直线y＝﹣x+1与曲线y＝f（x）的切点为（x0，f（x0））， 所以，即． 又因为， 即 所以． 设g（x）＝2lnx+x2﹣1， 因为， 所以g（x）在区间（0，+∞）上单调递增． 所以g（x）在区间（0，+∞）上有且只有唯一的零点． 所以g（1）＝0，即x0＝1． 所以a＝﹣1． 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线方程． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C的极坐标方程； （2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果． （2）利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变变换求出函数的最大值． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）， 转换为直角坐标方程为：， 转换为极坐标方程为：． （2）由（1）不妨设， 故：＝8||＝． 所以：△MON面积的最大值为4． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23．已知∃x∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立． （1）求满足条件的实数t的集合T； （2）若m＞1，n＞1，∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求m•n的取值范围． 【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，求得|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值为1，由题意可得t不大于1； （2）运用对数的运算性质和不等式恒成立思想，结合基本不等式即可得到所求范围． 【解答】解：（1）由||x﹣1|﹣|x﹣2||≤|x﹣1﹣x+2|＝1， 即有﹣1≤|x﹣1|﹣|x﹣2|≤1，可得|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值为1， ∃x∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立， 可得t≤1，T＝{t|t≤1}； （2）m＞1，n＞1，∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立， 可得1≤log3m•log3n， 又m，n＞1，可得log3m＞0，log3n＞0，log3（mn）＞0， 则log3m•log3n≤（）2＝（log3（mn））2，当且仅当m＝n取得等号， 则log3（mn）≥2，可得mn≥9． 【点评】本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式的运用，考查不等式恒成立和有解的条件，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/4/17 8:51:32；用户：qgjyuser10390；邮箱：qgjyuser10390.21957750；学号：21985397