《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》_黎玉珊2.doc

《《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》_黎玉珊2.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》_黎玉珊2.doc（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念兰州市西北音乐学校 王娟丽 一、教案背景1.学生：女子中专学校一年级学生（工科类）2.课时：1课时3.课型：新课二、教学课题中等职业教育课程改革国家规划新教材（高等教育出版社）数学（基础模块 上册）P102 5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念三、教案设计理念三角函数是一个重要的基本初等函数，它在物理学、天文学、测量学、数控加工技术等领域都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，是中职学生学习专业课的基础。而任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念学习是三角函数整章知识的基础与铺垫，扎实的三角函数知识对于工科类学生（特别是机械加工类

2、学生）编制程序时有较大的支持与帮助。本教案设计着重借助互联网丰富的学习资源和案例，配合数学软件几何画板的动态演示来帮助学生学习，使学生轻松掌握三角函数知识，为专业课学习提供支持。四、教材分析本次教学设计使用教材是由李广全、李尚志主编的数学（基础模块），它是由中等职业教育课程改革国家规划新教材。这套教材突出基础性和职业性，与中等职业技术学校学生实际贴近，任意角三角函数里只讲授了这三种函数。任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的，三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定

3、义域，使学生更进一步理解和掌握函数，为学习后续内容做了必要准备。在教材中采用的是终边定义法，结合学生的实际，教师讲授时采用的也是终边定义法，这符合职中学生的思维水平，也能更好地和前面知识相联系，衔接自然，利用学生掌握。为更准确地把握好教材内容，更有的放矢地进行教材重组，构建适合中等职业学校学生实际的三角函数任意角概念教学，我利用互联网进行学习，查阅与本课时相关的教案设计、教学反思等。以便更准确地定出本课时的教学目标、重、难点。五、学情分析1.在初中，学生已经学习了锐角三角函数的定义，初步掌握了锐角三角函数。2.中职学校学生大部分学习兴趣缺乏，抽象思维水平低，学习基础差别大，对数学有恐惧感。 3

4、.在探究问题的能力发展不够均衡，没有形成良好的学习习惯，必须在老师一定的指导下才能进行有效学习。4中职一年级都开设信息技术课程，学生热衷于操作计算机和互联网。在一年级开学初的初职衔接中进行过几何画板操作培训。六、教法与学法【教法】数学是一门严谨的、推理性强的学科，大部分的中职学生对于学习数学缺乏正确的认识和方法，而且对于数学有一定的抗拒心理。在本节课的教学过程中，会以发展学生数学能力为目的，创新性在使用学生热爱的互联网和动态数学教学软件几何画板开展教学，以“由旧信新，由易到难”的思路开展教学，指导学生通过讨论、难证去探求知识，体验三角函数概念的产生、发展过程。在建立任意角三角函数的定义的过程中

5、，学生可以感受到数形结合、类比、运动、变化、对应等数学思想，真正拓展学生思维，提高学生解决问题的策略意识。【学法】本节课教学时，注重启发学生在已有知识的基础上对于新知识的思考，通过动手实践、相互讨论等学习方式，进行操作、观察、比较、分析、概括、归纳，并学会想象和会用所学知识解决实际问题，从而真正掌握数形结合等数学思想方法。七、教学目标与重难点【教学目标】 1.知识与技能：理解并掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；在此基础上能初步应用定义解决与之有关的问题。明确三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种基本初等函数。2.过程与方法：经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过

6、程，体验三角函数概念的产生、发展过程。向学生渗透特殊与一般，类比与转化等数学思想，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。3.情感与价值观：使学生明白数学源于生活，生活中处处需要数学；也通过定义的探索发现过程，学生亲历结论的“再创造”过程，体验成功与快乐，感悟数学美。【教学重点】任意角的正弦、余弦、正切函数的定义和定义域。【教学难点】将锐角三角函数推广到任意角的三角函数；把三角函数理解为以实数为自变量的函数。八、教学过程(一）创设情境引出新课思考：用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？（二） 创设情境导入新课300生活中的数学问题：如图，摩天轮的半径为10m，中心o离地面为20m，现在小明坐

7、上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？120秒，240秒，300秒后呢？10m30020m(初中，我们学习过锐角三角函数，（如图1）在中，是直角，那么根据锐角三角函数的定义，的正弦、余弦和正切是如何定义的？（通过提问，帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义）教师强调：只要角度确定了，无论角的边长如何改变，正弦、余弦和正切值都已经确定了。每一个确定的锐角，都有相应的唯一的正弦值、余弦值和正切值与之对应。因此，锐角三角函数是以角为自变量，以边长的比值为函数值的函数。（以此强调来唤醒学生函数的认识）（二） 探讨学习、建构知识。上节课，我们已经把锐

8、角推广到了任意角，今天锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！问题1：今天我们能否继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？（引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数）问题2：（追问）在上节课，我们是如何将锐角的概念推广到任意角的？（更进一步引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数），与学生一起探讨将锐角三角形放到直角坐标系中研究（如图2）：把锐角放置于直角坐标系（角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负轴重合），在直角坐标系中，在角终边上任取一点，作轴于M，构造一个，则（锐角）设，的邻边、对边，斜长 问题3：我们知道，借助平面直角坐标系，就可以将几

9、何问题代数化，如将点用坐标表示出来，把线段的长用坐标算出来。那我们能否用平面直角坐标系中，用角的终边上的点的坐标来表示三角函数定义式中的三条边长呢？，【结论】在平面直角坐标系中考察锐角三角形，可以用终边上的点的坐标（比值）来表示锐角三角函数。任意角三角函数定义“再创造”：问题4：既然我们已经可以用终边上的点的坐标（比值）来表示锐角三角函数，那如果终边不在第一象限，也就是角不再是锐角时，我们可以用这种方法定义任意角三角函数吗？教师打开几何画板，展示不同象限的角，鼓励学生互相讨论，发言。教师引导学生一起归纳：【定义】设是平面直角坐标系中的一个任意角，点是角终边上任一点，与原点O之间的距离记作（），

10、那么角的正弦、余弦和正切分别定义为： 正弦： 余弦： 正切：（这样的处理，不仅保持了学生一定的思考能力，还有助于学生克服认识上的困难，既用坐标定义了三角函数，又解决了在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，并形成正确的认识）为使学生更深刻领会任意角三角函数的定义，引导学生思考如下两个问题：问题1：比值会随着点P在终边的位置改变而改变吗？打开几何画板（如图3），联系相似三角形知识，探索发现，得出“对于角的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随在终边上的移动而变化”。 问题2：角大小发生变化时，比值会改变吗？先由学生自由发表意见。再打开几何画板动画演示（如图4）。在各个象限内旋转角的终边，

11、改变角的大小，让学生观察三角函数值的变化。得出结论函数值随的变化而变化. 图4（通过几何画板的动态演示，使本节课学习的重点得到更好的理解，也可以帮助学生突破难点。）教师强调： 图3（1）sin表示sin与的乘积吗？不是，sin是函数记号，是一个整体,相当于函数记号，其它几个三角函数也如此。（2）对于每一个确定的值，其正弦、余弦及正切（当）都分别对应一个确定的比值。因此，正弦、余弦及正切都是以为变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数及正切函数，它们都是三角函数。 由任意角三角函数的定义可以看出，当角的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标的值都等于0，此时无意义。因此，正弦函数、余弦函数及正切函数的

12、定义域如下表所示：三角函数定义域RR在弧度制下，的度量值是一个实数，因此，三角函数是以实数为自变量的函数。（三）例题精讲，巩固应用例题：已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值。分析：已知角的终边上一点的坐标，求角的某个三角函数值的时候，首先要根据关系式，求出点到坐标原点的距离，然后根据三角函数定义进行计算。解：因为，所以因此 （四）练习巩固、理解记忆基础练习：（1）已知角的终边经过点P（-3，-1），求的三个三角函数值。 （2）已知角的终边经过点P（-2，3），求的值。提高练习：若点是角终边上一点，且，求和的值。课外练习：（七）分享交流小组讨论：学习心得，学会了什么？哪些还不懂。七、板书设计任意角三角函数的定义：强调：例题讲解：练习讲解： 八、课后反思5