北师大版八年级上册第一章勾股定理　导学案（无答案）.docx

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1、导学案1 勾股定理要点一、勾股定理直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2b2c2要点诠释： (1)勾股定理适用前提是直角三角形（2） 理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2， a2=c2-b2， b2=c2-a2 ， c2=(a+b) 2-2ab （3） 应用勾股定理时，注意确定那条是直角三角形的斜边。在RT三角形中，斜边未必一定是c，当A=90时，a是斜边，a2=c2+b2；当B=90时，b是斜边， b2=c2+a2。（4） 若没有明确给出直角三角形的两边类型（直角边还是斜边），要分类讨论，以免遗漏。经典例题例1. 在R

2、tABC中，C=90（1） 已知：a=6，b=8，求c。 （2）已知：b=5，c=13，求a。（3）已知：a=8，c=17，求b。 （4）已知a：b=3：4，c=10，求a。变式1. 如图 B=ACD=90， AD=13，CD=12， BC=3，则AB的长是多少 ? 变式2如图，在RtABC中，A90，D是BC的中点，DEBC，垂足为D，交AB于点E，连接CE，若AE3，BE5，则边AC的长为（）A3B4C6D8能力提升：如图所示，在RtABC中，C90，AM是中线，MNAB，垂足为N，试说明 要点二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，探索勾股定理时同一个图形的面积用两

3、种方法表示是关键，由面积之间的等量关系，结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。例2. 在直角三角形中，若两直角边的长分别为3cm，4cm ，则斜边长为 。变式1：已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是 。变式2：如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为 。例3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_。变式：如图所示，ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD是底边上的高， 求 AD的长；ABC的面积例4. 如图，三个正方形中的两个的面积S125，S2144，则另一个的面积S

4、3为_变式：如右下图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为 第4题图S1S2S3 能力提升:如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2S3图形个数有（）A1B2C3D4要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角是直角C=90。要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形。（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通

5、过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。（3）c未必是最长边，如果a2=b2+c2，那么这个三角形是直角三角形，且A=90。要点四、勾股数 我国古代把直角三角形中较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。 要点诠释：（1）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如（3、4、5）（6、8、10） （15、20、25）（5、12、13）（7、24、25）（8、15、17）（9、40、41） （12、35、37）等。（2）勾股数扩大缩小相同的倍数仍满足勾股定理。 经典例题1. 有五组数：25，7，24；16，20，12；9，40，41；4，6，8；32，

6、42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（）A1 B2 C3 D42.ABC中，A，B，C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ）A. A+B=C B. A：B：C=3：2：5 C. a2=c2b2 D. a：b：c=3：4：63.下列说法正确的有 （ ）ABC是直角三角形， C=90，则 a2+b2=c2 ABC中，a2+b2c 2，则ABC不是直角三角形 若ABC中，a2-b2=c2，则ABC是直角三角形 若ABC是直角三角形， 则(a+b)(a-b)=c 2。 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个4一个三角形的三边的比是3：4

7、：5，它的周长是36，则它的面积是_5.如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90，则A+C= 度。6.小明画了一个如图所示的四边形，其中AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，A=，你能求出四边形ABCD的面积吗？能力提升7.直角三角形中两个直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，证明c+h，a+b，h为三边构成的三角形是直角三角形。要点五、勾股定理的简单应用1一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 。2如图，一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入

8、桶内，一端到桶底，另一端到小口，拍出木棒，量得棒上没油部分长0.8m，则桶内油的高度为A. 0.28m B. 0.64m C. 0.58m D. 0.32m3如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A6cmB7cmC8cmD9cm第1题图 第2题图 第3题图4.我国古代算书九章算术中第九章第六题是：今有池方一丈(一丈为10尺)，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深_尺，葭长_尺解：根据题意，设水深OBx尺，则葭长OA（x+1）尺可列方程正确的是（） Ax2+52（x+1）2 Bx2+52（x1）2 Cx2+

9、（x+1）2102 Dx2+（x1）2525 老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？第4题图 第5题图巩固练习1. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）A.3 B.4 C.5 D.72. 若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（ ）A2倍B3倍C4倍D5倍3. 在直角三角形中，若两边的长分别为4cm，5cm ，则第三边的平方为 .4. 一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是 .5. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 .6. 如图，AD=13，BD=12，C=90，AC=3，BC=4则阴影部分的面积等于 .S1S2S36题图 7题图 8题图7. 如图，三个正方形中的两个的面积S125，S2144，则另一个的面积S3为_.8. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S= .9.一架梯子的长度为 25 米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端为 7 米。（1）这个梯子顶端离地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？7