2020年中考数学压轴题专练：圆的综合.doc

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1、2020年数学中考压轴题专项训练：圆的综合1如图，点O为RtABC斜边AB上的一点，C90，以OA为半径的O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分BAC（1）求证：BC是O的切线；（2）若BAC60，OA2，求阴影部分的面积（结果保留）（1）证明：连接OD，AD平分BAC，BADDAC，AODO，BADADO，CADADO，ACOD，ACD90，ODBC，BC与O相切；（2）解：连接OE，ED，BAC60，OEOA，OAE为等边三角形，AOE60，ADE30，又OADBAC30，ADEOAD，EDAO，四边形OAED是菱形，OEAD，且AMDM，EMOM，SAEDSAOD，阴影部分

2、的面积S扇形ODE2如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，点E在O外，连接CE，ACB的平分线交O于点D（1）若BCEBAC，求证：CE是O的切线；（2）若AD4，BC3，求弦AC的长（1）证明：连接OC，AB是O的直径，ACB90，ACO+BCO90，OAOC，OACOCA，BACBCE，ACOBCE，BCE+BCO90，OCE90，CE是O的切线；（2）解：连接BD，ACB的平分线交O于点D，ACDBCD，ADBD，AB是O的直径，ADB90，ADB是等腰直角三角形，ABAD4，BC3，AC3如图，AB是O的直径，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF，交AF的延长线于点D，交

3、AB的延长线于点C（1）求证：CD是O的切线；（2）C45，O的半径为2，求阴影部分面积（1）证明：连接OEOAOE，OAEOEA，又DAEOAE，OEADAE，OEAD，ADCOEC，ADCD，ADC90，故OEC90OECD，CD是O的切线；（2）解：C45，OCE是等腰直角三角形，CEOE2，COE45，阴影部分面积SOCES扇形OBE2224如图，BC是O的直径，点A在O上，ADBC垂足为D，弧AE弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G（1）判断FAG的形状，并说明理由；（2）如图若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的

4、结论还成立吗？请说明理由（3）在（2）的条件下，若BG26，DF5，求O的直径BC解：（1）FAG等腰三角形；理由：BC为直径，BAC90，ABE+AGB90，ADBC，ADC90，ACD+DAC90，弧AE弧AB，ABEACD，DACAGB，FAFG，FAG是等腰三角形；（2）成立；BC为直径，BAC90ABE+AGB90ADBC，ADC90，ACD+DAC90，弧AE弧AB，ABEACD，DACAGB，FAFG，FAG是等腰三角形；（3）由（2）知DACAGB，且BAD+DAC90，ABG+AGB90，BADABG，AFBF，又AFFG，F为BG的中点BAG为直角三角形，AFBFBG13，

5、DF5，ADAFDF1358，在RtBDF中，BD12，在RtBDA中，AB4，ABCDBA，BACADB90ABCDBA，BC，O的直径BC5如图，已知矩形ABCD的边AB6，BC4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的O交AQ于点E若点E恰好是AQ的中点，则QPB与AQP的数量关系是QPB2AQP；若BEBQ3，求BP的长；（2）已知AP3，BQ1，O是以PQ为弦的圆若圆心O恰好在CB边的延长线上，求O的半径；若O与矩形ABCD的一边相切，求O的半径解：（1）点E恰好是AQ的中点，ABQ90，BEAEEQ，EABEBA，QEB2EBP，以PQ为直径的O交A

6、Q于点E，QPBQEB，PBEPQA，QPB2AQP，故答案为：QPB2AQP；BEBQ，BEQBQE，且BPQBEQ，BPQBQE，tanBPQtanBPQ，BP（2）如图1，过点O作OEPQ，AP3，AB6，BP3，PQ，OEPQ，QEPE，cosPQB，OQ5，O的半径为5；如图2，若O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OEPQ于E，EQPE，BC是O切线，OQBC，且ABBC，OQAB，OQPBPQ，cosOQPcosBPQ，OQ；如图3，若O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OEPQ于E，EQPE，AB是O切线，OPAB，且ABBC，OPBC，OPQPQB，cosOPQcosPQ

7、B，OP5；如图4，若O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OHAB于H点，OMAD，且BCAD，OFBC，ABAMOOFBOHB90，四边形AHOM，OHBF是矩形，OMAH，OHBF，OQ2OF2+FQ2，OP2OH2+PH2，OQ2（6OQ）2+（BF1）2，OQ2BF2+（OQ3）2，OQ5若图5，若O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OHBC于H点，同理可得：OP2PE2+OE2，OQ2OH2+QH2，OQ2（3OH）2+（4OQ）2，OQ2OH2+（4OQ1）2，OQ3566如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩

8、形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作O与AD相切于点PAB6，BC，（1）求证：F是DC的中点（2）求证：AE4CE（3）求图中阴影部分的面积（1）证明：由折叠的性质可知，AFAB6，在RtADF中，DF3，CFDCDF3，DFFC，即F是CD的中点；（2）证明：在RtADF中，DF3，AF6，DAF30，BAF60，由折叠的性质可知，EAFEAB，AFEB90，EAFEAB30，AE2EF，EFC180AFDAFE30，EF2CE，AE4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，O与AD相切于点P，OPAD，OPDF，DAF30，AOP90D

9、AF60，OFOPOA，OFHAOP60，OPOF2，AP2，DPADAP，OFH60，OHOF，OHF为等边三角形，FOHOHF60，HFOF2，DHDFHF1，OPDF，POHOHF60，POHHOF，阴影部分的面积PDH的面积DHDP7如图，RtABC中，ABC90，以AB为直径作O交AC于点D，连接BD（1）求证：ACBD（2）若AB10，AD6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与O相切，并说明理由（1）证明：AB为O直径，ADB90，A+ABD90ABC90，CBD+ABD90，ACBD；（2）BM理由如下：如图，连接OD，DM，ADB90，AB10，AD6，BD

10、8，OA5，ACBD，RtCBDRtBAD，即，解得BC取BC的中点M，连接DM、OD，如图，DM为RtBCD斜边BC的中线，DMBM，24，OBOD，13，1+23+490，即ODM90，ODDM，DM为O的切线，此时BMBC8如图，AB是O的直径，直线MC与O相切于点C过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E（1）求证：AC是DAB的平分线；（2）若AB10，AC4，求AE的长（1）证明：连接OC，直线MC与O相切于点C，OCM90，ADCD，ADM90，OCMADM，OCAD，DACACO，OAOC，ACOCAO，DACCAB，即AC是DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接

11、BE交OC于点F，AB是O的直径，ACBAEB90，AB10，AC4，BC2，OCAD，BFOAEB90，CFB90，F为线段BE中点，CBEEACCAB，CFBACB，CFBBCA，即，解得，CF2，OFOCCF3O为直径AB中点，F为线段BE中点，AE2OF69如图，AB是O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CFEF（1）求证：FC是O的切线；（2）若CF5，tanA，求O半径的长（1）证明：如图，连接OD点D是半圆的中点，AODBOD90，ODC+OED90，ODOC，ODCOCD又CFEF，FCEFECFECOED，FCEOEDFC

12、E+OCDOED+ODC90，即FCOC，FC是O的切线；（2）解：tanA，在RtABC中，ACBOCF90，ACOBCFA，ACFCBF，AF10，CF2BFAFBFAO10如图，AB是O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE6，连接DB，B30，过点E作EMBD，交BA的延长线于点M（1）求的半径；（2）求证：EM是O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当APD45时，求图中阴影部分的面积解：（1）连结OE，DE垂直OA，B30，CEDE3，AOE2B60，CEO30，OCOE，由勾股定理得OE2；（2）EMBD，MB30，M+AOE90，OEM90，即OEME，EM是O的切

13、线；（3）再连结OF，当APD45时，EDF45，EOF90，S阴影（2）2（2）23611如图，RtABC中，C90BE平分ABC交AC于点D，交ABC的外接圆于点E，过点E作EFBC交BC的延长线于点F请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是ABC外接圆的切线；（2）若BC5，sinABC，求EF的长（1）证明：补全图形如图所示，ABC是直角三角形，ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点连接OE，OEOB23，BE平分ABC，12，13OEBFEFBF，EFOE，EF是ABC外接圆的切线；（2）解：在RtABC中，BC5，sinABC，AC2+BC2AB2，AC12ACFCFEFEH9

14、0，四边形CFEH是矩形EFHC，EHC90EFHCAC612我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”如：如图，已知O的两条弦ABCD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”（1）若O的半径为5，一条弦AB8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为10，最小值为6（2）如图1，若O的弦CD恰好是O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC12，DH7，CH9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，若O的半径为5，一条弦AB8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若ADC60，求弦CD的长

15、解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OECD于E，OFAB于F，AFBF4，DECE，OF3，OECD，OFAB，CDB90，四边形CEOF是矩形，CEOF3，CD6，CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，DH7，CH9，CD16，CD是直径，CAD90，AD4，ADHADC，ADHCDA，AHDCAD90，ABCD，AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OECD于E，过点O作OFAB于点F，连接AO，CO，过点O作ONAC于N，ADC60，ABCD，AFDF，OECD，OFAB

16、，ABCD，四边形OEHF是矩形，AFBF4，CEED，OFEH，OF3，EH3，EDCE3+DH，CF3+2DH，AOC2ADC120，且AOCO5，ONAC，CAO30，ANCN，NO，AN，AC5，AH2+CH2AC2，753DH2+（3+2DH）2，DH2，CD2CE2（3+2）13如图，AB是O的弦，AB4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且APB30，设图中阴影部分的面积为y（1）O的半径为4；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围解：（1）AOB2APB23060，而OAOB，OAB为等边三角形，OAAB4，即O的半径为4；故

17、答案为4；（2）过点O作OHAB，垂足为H，如图，则OHAOHB90APB30AOB2APB60，OAOB，OHAB，AHBHAB2，在RtAHO中，AHO90，AO4，AH2，OH2，y42+4x2x+4 （0x2+4）14如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，D为的中点，过点D作DEAC，交BC的延长线于点E（1）判断DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若CE，AB6，求O的半径（1）解：结论：DE与O相切证：连接OD在O中，D为的中点，ADDC，ADDC，点O是AC的中点，ODAC，DOADOC90，DEAC，DOAODE90，ODE90，ODDE，ODDE，DE经过半径OD的

18、外端点D，DE与O相切（2）解：连接BD四边形ABCD是O的内接四边形，DAB+DCB180，又DCE+DCB180，DABDCE，AC为O的直径，点D、B在O上，ADCABC90，ABDCBD45，ADDC，ADC90，DACDCA45，DEAC，DCACDE45，在ABD和CDE中，DABDCE，ABDCDE45，ABDCDE，ADDC4，在RtADC中，ADC90，ADDC4，AC8，O的半径为415（1）如图，点A，B，C在O上，点D在O外，比较A与BDC的大小，并说明理由；（2）如图，点A，B，C在O上，点D在O内，比较A与BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，

19、解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当MPN度数最大时点P的坐标解：（1）ABDC，理由如下：设CD交O于E，连接BE，如图1所示：BECBDC+DBE，BECBDC，ABEC，ABDC；（2）ABDC，理由如下：延长CD交O于点F，连接BF，如图2所示：BDCBFC+FBD，BDCBFC，又ABFC，ABDC；（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，MPN度数最大，当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：设O为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接OP、OM、ON，作OHMN于H，则四边形OPOH是矩形，MHHN，OPOH，OPOHOM，M（1，0），N（4，0），OM1，MN3，MHHNMN，设OPOHOMx，MHOHOMx1，x1，x，OH2，OP2，点P的坐标为（0，2）；当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：同理可得OHOP2，点P的坐标为（0，2）；综上所述，当MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，2）