新教材高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.4三角恒等变换的应用第2课时三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版第三册2020022.doc

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1、第2课时三角函数的积化和差与和差化积学 习 目 标核 心 素 养1.能根据公式S和C进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力(重点)1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养2.借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1.积化和差公式cos cos cos()cos()；sin sin cos()cos()；sin cos sin()sin()；cos sin sin()sin()2.和差化积公式设x，y，则，.这样，上面的四个式子可以

2、写成，sin xsin y2sin cos ；sin xsin y2cos sin ；cos xcos y2cos cos ；cos xcos y2sin sin .思考：和差化积公式的适用条件是什么？提示只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式1.计算sin 105cos 75的值是()ABCDBsin 105cos 75(sin 180sin 30).2.sin 20cos70sin10sin50的值为()A B CDBsin20cos70sin10sin50cos(1050)cossin

3、 50cos 40sin 50sin 50.故选B3.下列等式正确的是()Asin xsin y2sin sin Bsin xsin y2cos cos Ccos xcos y2cos cos Dcos xcos y2sin sin C由和差化积公式知C正确积化和差问题【例1】(1)求值：sin 20cos 70sin 10sin 50.(2)求值：sin 20sin 40sin 60sin 80.思路探究利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角解(1)sin 20cos 70sin 10sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)sin 50cos 40

4、sin 50sin 50.(2)原式cos 10cos 30cos 50cos 70cos 10cos 50cos 70cos 70cos 40cos 70cos 70(cos 110cos 30)cos 70cos 110.积化和差公式的功能与关键(1)功能：把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.1.求sin220cos250sin 20cos 50的值解原式(sin 70sin 30)1(cos 100cos 40)sin

5、 70(2sin 70sin 30)sin 70sin 70sin 70.和差化积问题【例2】已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值思路探究利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解解cos cos ，2sinsin.又sin sin ，2cossin.sin0，由，得tan，即tan.sin().1.(变结论)本例中条件不变，试求cos()的值解因为cos cos ，所以2sin sin .又因为sin sin ，所以2cos sin .因为sin 0，所以由，得tan ，即tan .所以cos().2.(变条件)将本例中的条件“cos cos ，sin sin

6、 ”变为“cos cos ，sin sin ”，结果如何？解因为cos cos ，所以2cos cos .又因为sin sin ，所以2sin cos .所以cos 0，所以由，得tan ，所以sin().和差化积公式应用时的注意事项(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：运用公式之后，能否出现特殊角；运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.(3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如cos

7、cos cos .公式的综合应用探究问题1.解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？提示注意三角形中的隐含条件的应用，如ABC，abc等2.在ABC中有哪些重要的三角关系？提示 在ABC中的三角关系：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos，cossin，sin(2A2B)sin 2C，cos(2A2B)cos 2C【例3】在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4sinsincos.思路探究利用和差化积进行转化，转化时要注意ABC.解左边sin(BC)2sincos2sincos2sincos2cos4sinsincos右边，原等式成立证明三角恒等式的

8、基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.2.在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4cos cos cos .证明由ABC180，得C180(AB)，即90，cos sin .sin Asin Bsin C2sincossin(AB)2sincos2sincos2sin2cos 2cos cos4cos cos cos ，原等式成立1.公式的记忆和差化积公式记忆口诀：“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天”(正代表sin ，余代表cos )2.公式的应用注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导.1.sin 75sin 15的值为()ABCDBsin 75sin 152cossin2.故选B2.函数ysincos x的最大值为()A BC1 DBysincos xsin.函数y的取最大值为.3.已知sin()，sin()，则sin cos _.sin cos sin()sin().4化简下列各式：(1)；(2).解(1)原式tan .(2)原式.