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.* 第九 章 光的电磁理论基础 1. 一个平面电磁波可以表示为,求(1)该电磁波的频率、波长、振幅和原点的初相位？（２）拨的传播方向和电矢量的振动方向？（３）相应的磁场Ｂ的表达式？ 解：（1）平面电磁波 对应有。 （2）波传播方向沿轴，电矢量振动方向为轴。 （3）垂直，传播方向相同，∴ ２. 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示，试求（1）光的频率和波长；（2）玻璃的折射率。 解：（1） ∴ （2） 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度,折射率n=1.5,若光波的波长为,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。 解：光程变化为 相位变化为 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度的大小。假设太阳光发出波长为的单色光。 解：∵ ∴ 5. 写出平面波的传播方向上的单位矢量。 解：∵ 6. 一束线偏振光以45度角从空气入射到玻璃的界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，试求反射系数和透射系数。设玻璃折射率为1.5。 解：由折射定律 7. 太阳光（自然光）以60度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。 解： 8. 光波以入射角从折射率为介质入射到折射率为的介质，在两介质的表面上发生反射和折射（折射角为，见图10-39），s波和p波的振幅反射系数和投射系数分别为、和、。若光波从介质入射到介质（见图10-39b）中，入射角为，折射角为，s波和p波的反射系数和透射系数分别为、和、。试利用菲涅耳公式证明（1）；（2）；（3）；（4）（为p波的透射比，为s波的透射比）。 图10-39 习题8图 解： 9. 电矢量方向与入射面成45度角的一束线偏振光入射到两介质的界面上，两介质的折射率分别为，问：入射角度时，反射光电矢量的方位角（与入射面所成的角）？若度，反射光的方位角又为多少？ 解： 10. 光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射时发生全偏振，试证明折射光在下表面反射时亦发生全偏振。 证明：当入射角为布儒斯特角时，发生全偏振，反射光中只有波 第一次反射时， 第二次反射时， 得证。亦可由 11. 光束垂直入射到45度直角棱镜的一个侧面，并经斜面反射后由底二个侧面射出（见图10-40），若入射光强为，求从棱镜透过的出射光强I？设棱镜的折射率为1.52，且不考虑棱镜的吸收。 图10-40 习题11图 解： 12. 一个光学系统由两片分离透镜组成，两透镜的折射率分别为1.5和1.7，求此系统的反射光能损失。如透镜表面镀上曾透膜，使表面反射比降为0.01，问此系统的光能损失又为多少？设光束以接近正入射通过各反射面。 解 13. 一半导体砷化镓发光管（见图10-41），管芯AB为发光区，其直径。为了避免全反射，发光管上部磨成半球形，以使内部发的光能够以最大投射比向外输送。要使发光区边缘两点A和B的光不发生全反射，半球的半径至少应取多少？(已知对发射的的光，砷化镓的折射率为3.4) 。 A B 图10-41 习题13图 解： 14. 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光的方位角度，问线偏振光以多大角度入射才能使反射光的s波和p波的相位差等于45度，设玻璃折射率。 解： 15. 线偏振光在和介质的界面发生全反射,线偏振光的方位角度,证明当 时(是入射角),反射光波和波的相位差有最大植。式中。 证明： 16. 圆柱形光纤（图10-42）其纤芯和包层的折射率分别为和，且>。（1）证明入 射光的最大孔径角满足关系式（2）若求孔径角？ u 图10-42 习题16图 解： 17. 已知硅试样的相对介电常数，电导率，证明当电磁波的频率时，硅试样具有良导体作用。计算时电磁波对这种试样的穿透深度。 解： 18. 铝在时，有，，试求正入射时的反射比和相位变化。 解： 19. 两束振动方向相同的单色光波在空间某一点产生的光振动分别表示为和，若，，，，，求合振动的表示式。 解： 20. 利用波的复数表达式求两个波和的合成波。 解： 21. 一束沿方向传播的椭圆偏振光表，试求偏振椭圆的方位角和椭圆长半轴及短半轴大小。 解： 22. 有一菲涅耳棱体（见图10-21），其折射率为1.5，入射线偏振光的电矢量与入射面（即图面）成45度角，求（1）棱体的顶角取多大时，能使从棱体射出圆偏振光？（2）若棱体的折射率为1.49，能否产生圆偏振光？ 解： 23. 又旋圆偏振光以50度角入射到空气-玻璃界面（玻璃折射率为1.5），试决定放射波和透射波的偏振状态。 解：入射为右旋圆偏振光，如图，可写为 若设，则布儒斯特角，所以反射光中S波与P波均存在。有 ∴比落后相位，且有 ∴反射光为左旋椭圆偏振光 对于透射光 ∵ ∴投射光为右旋椭圆偏振光。 24. 确定其正交分量由下面两式表示的光波的偏振态： 解：对于合成波有 ∴方位角 又∵ ∵ ∴为右旋 又设长短轴为 ∴ （1） 且有 （2） ∴ 25. 真空中沿方向传播的两个单色光波为，若试求合成波在和各处的强度随时间的变化关系。若两波频率差，试求合成波振幅变化和强度变化的空间周期。 解：令 则 则合成波强度 其中 ∴∝ 时 I∝ 时 I∝ 时 I∝ 若 ∴ 空间周期为 空间周期为 26. 试计算下列各情况的群速度：（1）（深水波，为重力加速度）；（2）（浅水波，T为表面张力，为质量密度）。 解：群速度 （1） （2） 27. 试求图10-43所示的周期性矩形波的傅里叶级数表达式，并绘出其频谱图。 Z E(z) 图10-43 习题27图 解：周期性矩形波为偶函数，所以 即………………… 图略 28. 求图10-44所示周期性三角波的傅里叶分析表达式，并绘出其频谱图。 E(Z) Z 图10-44 习题28图 解：偶函数 即…………………… 29. 试求图10-45所示的矩形脉冲的傅里叶变换，并绘出其频谱图。 -L L Z E(z) 1 图10-45 习题29图 解： 30. 试求图10-46所示的三角形脉冲的傅里叶变换。 Z E(z) -L L 0 L 图10-46习题30图 解： 31. 氪同位素放电管发出的波长的红光是单色性很好的光波，其波列长度约为，试求该波的波长宽度和频率宽度。 解： 32. M1、M2是两块平行放置的玻璃片(n=1.50)，背面涂黑。一束自然光以 角入射到M1上的A点，反射至M2上的B点，再出射。试确定M2以AB为轴旋转一周时，出射光强的变化规律。 解 由题设条件知，两镜的入射角 均为 ，且有 对于M1，有 由于是自然光入射，p、s分量无固定相位关系，光强相等，故 式中，I0是入射自然光强；I1是沿AB的反射光强，反射光是垂直于图面振动的线偏振光。 对于M2，假设在绕AB轴旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为 ，则沿AB的入射光可以分解为p分量和s分量，它们之间有一定位相差，其振幅为 由于此时的入射角也为 ，所以： 因此，自M2出射光的振幅为 即自M2出射光的强度为： 结论：出射光强依M2相对于M1的方位变化，符合马吕斯（Malus）定律。