《计数基础学习知识原理》单元检验测试题.doc

.* 《计数原理》单元测试题 一、选择题 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（ ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） A．36种 B．48种 C．96种 D．192种 3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　） A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（x－y）10的展开式中x6y4项的系数是( ) A. 840 B. －840 C. 210 D.－210 6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72　　　　 B.60　　　　 C.48　　　　 D.52 7.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（　 ）个数. A.6　　 　 B.9　 　 C.10　 　　D.8 8.AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A. B. C.D. 9.设,则的值为( ) A.0　　　　 B.-1　　　 　 C.1　　　　　 D. 10．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有( ) （第10题） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 11．从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的 组数为 ( )A．208 B．204 C．200 D．196 12. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ） （第11题） A.120 B.240 C.360 D.72 二、 填空题 13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列 有　　种不同的方法（用数字作答）. 14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　　个（用数字作答）． 15. 若(2x3+)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n= . 16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 三、解答题 17．从4名男生,3名女生中选出三名代表 (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种? 18．平面内有12个点，其中有4点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形？ 19．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （l）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端； （6）甲不站左端，乙不站右端． 20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列. （1） 43251是这个数列的第几项？ （2） 这个数列的第96项是多少？ （3） 求所有五位数的各位上的数字之和 （4） 求这个数列的各项和. 21.在的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等。 （1）求r的值； （2）写出展开式中的第4r项和第r+2项。 22.求证：能被25整除。 第一章 计数原理单元测试题参考答 一、选择题：（每题5分，共60分） 1、D　 2、C　解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C 3、B 解析：5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B 4、A　解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有个，选A 5、A 6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有种不同的排法,其中0在首位的有种不符合题意,所以共有种. 7、C　解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数. 8、D　解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点. 9、C 10、B 11、C　 12、A 解析:先取出一双有种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有种不同的取法,共有种不同的取法. 二、 填空题(每小题4分，共16分） 13、1260　解析：　由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 14、24　解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个 15、7　 解析：若(2x3+)n的展开式中含有常数项，为常数项，即=0，当n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7. 16、36种 解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有种 三、解答题 17.解：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法 种； （2）至少有一名女生的不同选法共有 种； （3）男、女生都要有的不同的选法共有 种。 18.解：把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。 第一类：共线的4点中有两点为三角形的顶点，共有：（个）； 第二类：共线的4点中有一点为三角形的顶点，共有（个）； 第三类：共线的4点中没有点作为三角形的顶点，共有：（个）。 由分类计数原理知，共有三角形：（个）。 答：可得到216个不同的三角形。 19.解析：（l）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理共有站法480 （种） 方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站，有种站法，然后中间 4 人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法480 （种） 方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有480（种） （2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有240 （种）站法． 方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有240 （种） （3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有种；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有种，故共有站法为= 480 （种）. 也可用“间接法”，6 个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有240 种站法，所以不相邻的站法有－720－240＝480（种）． (4)方法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有种站法． 方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有144 种站法． （5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有种站法． 方法二：首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有种站法． （6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有种，共有种站法． 方法二：以元素甲分类可分为两类：① 甲站右端有种，② 甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有种，故共有=504 种站法． 20.解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类 第一类：以5打头的有： =24 第二类：以45打头的有： =6 第三类：以435打头的有： =2 故不大于43251的五位数有：（个） 即43251是第88项. ⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项， 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个， 所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321. （3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有个五位数，所以万位上各个数字的和为：（1+2+3+4+5） 同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所有五位数的各位上的数字之和5（1+2+3+4+5）=1800 （4）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）10000 同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所以这个数列各项和为： （1+2+3+4+5）（1+10+100+1000+10000） 21.解：（1）展开式第4r项的二项式系数为，第r+2项的二项式系数为，根据二项式系数的性质，当且仅当或时它们的二项式系数相等，解得（舍），。 （2）当r=4时第4r项是； 第r+2项是。 22.证明:因 为 显然能被25整除,25n能被25整除, 所以能被25整除