2020年中考数学一轮复习专题19轴对称与等腰三角形.docx

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1、专题19 轴对称与等腰三角形考点总结【思维导图】 【知识要点】知识点1 图形的轴对称 轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称轴对称的性质：1、 关于某条直线对称的两个图形是全等形。2、 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关

2、于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。轴对称与轴对称图形的联系与区别画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：1. 找到关键点，画出关键点的对应点，2. 按照原图顺序依次连接各点。用坐标表示轴对称：1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；1（2017重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )ABCD【答案】D【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心

3、对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确故选D2（2018河北中考真题）图中由“”和“”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）Al1Bl2Cl3Dl4【答案】C【详解】观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴；沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴；沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴，所以该图形的对称轴是直线l3，故选C3（2019内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的

4、是（）ABCD【答案】D【解析】试题分析：A是轴对称图形，故本选项错误；B是轴对称图形，故本选项错误；C是轴对称图形，故本选项错误；D不是轴对称图形，故本选项正确故选D4（2018重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）ABCD【答案】D【详解】A、40的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故选D.5（2019山东中考真题）下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）ABCD【答案】A【详解】1有两条对称轴；2有两条

5、对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形故选A.考查题型一 画对称轴的方法1（2016甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上（1）画出ABC关于x轴的对称图形A1B1C1；（2）将A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标【答案】（1）答案见解析；（2）A2（3，1），B2（0，2），C2（2，4）【解析】 (1)、如图所示：A1B1C1，即为所求；(2)、如图所示：A2B2C2，即为所求，点A2（3，2），B2（0，3），C2（2，5）2（2019广西中考模拟）如图，在正方

6、形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（4，5），（2，1） （1）写出点C及点C关于y轴对称的点C的坐标；（2）请作出ABC关于y轴对称的ABC； （3）求ABC的面积【答案】 （1）点C（-1，3）， 点C(1,3)；（2）详见解析；（3）面积为4【详解】（1）点C（-1，3），点C(1，3)；（2）如图所示；（3）SABC342312241231443（2019甘肃中考模拟）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在备用图中画出4个这样的【答案】见详解.【解析】如图，两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称；

7、，两个三角形关于过点的水平线对称，此时和重合；，两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称；，两个三角形关于大正方形的过点的对角线对称轴对称，此时和重合，个即为所画.考查题型二 根据轴对称求坐标或字母的取值范围1（2013江苏中考真题）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是 ，点P关于原点O的对称点P2的坐标是 【答案】（3，2）；（3，2）【解析】试题分析：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点P（3，2）关于y轴对称的点P1的坐标是（3，2）。关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（3，2）关于原点O对称的点P2的坐标是（3，2）。2

8、在直角坐标系中，已知点P（-4a，7），Q（8，b+2）根据条件，求a，b值1）P,Q关于x轴对称2）P,Q关于y轴对称【答案】（2，-9）；（2，5）【解析】1） 由题意可知-4a=8，-7=b+2，解得a=-2，b=-92）由题意可知-4a=-8，7=b+2，解得a=2，b=-5考查题型三 利用轴对称解决折叠问题1（2018黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D两点分别落在点、处若，则的度数为ABCD【答案】B【详解】设ABE=x，根据折叠前后角相等可知，C1BE=CBE=50+x，所以50+x+x=90，解得x=20故选：B2（2019山东中考真题）小明将一

9、张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，的度数是_.【答案】45【详解】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，故答案为：453（2017内蒙古中考模拟）把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若AOB70，则BOG_【答案】55【详解】解：由翻折性质得，BOGBOG，AOB+BOG+BOG180，BOG（180AOB）（18070）55故答案为554（2012江苏中考模拟）如图，ABC中，ACBC，把ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若ACB100，则CBD_【答案】10【解析】三角形纸片ABC，沿着AC翻折，AB=AD，AC=BC，ACB100，BAC

10、=CAD=40，ABC=40，BCD=160，CBD=CDB=10考查题型四 利用轴对称解决几何最值问题1（2019吉林东北师大附中中考模拟）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点。点、均落在格点上.在图、图给定的网格中按要求作图.（1）在图中的格线上确定一点，使与的长度之和最小;（2）在图中的格线上确定一点，使.要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法.【答案】如图所示见解析，如图所示见解析.【详解】(1)如图所示；(2)如图所示. 图 图2（2019余干县瑞洪中学中考模拟）如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论)(1)画线段AB；(2)画射线BC；(3)在

11、线段AB上找一点P，使点P到ABC三点的距离和最小,并简要说明理由【答案】（1）见解析（2）见解析（3）作CPAB于P,此时P到A.B.C三点的距离和最短，图见解析【详解】(1)(2)如图所示:(3)如图所示:作CPAB于P,此时P到A.B.C三点的距离和最理由是:根据两点之间线段最短,PA+PB此时最小,根据垂线段最短,得出PC最短,即PA+PB+PC的值最小,即点P到A.B.C三点的距离和最小。3（2019天津中考模拟）如图，ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，CPE的度数是（ ）A30B45C60D90【答案】C【详解】

12、解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，ABC是等边三角形，ADBC，点B与点D关于AD对称，PC=PB，PE+PC=PB+PE=BE，BE就是PE+PC的最小值，ABC是等边三角形，BCE=60，BA=BC，AE=EC，BEAC，BEC=90，EBC=30，PB=PC，PCB=PBC=30，CPE=PBC+PCB=60，故选：C知识点2 线段的垂直平分线概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上三角形三边的垂直平分线

13、的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点叫做三角形的外心。考查题型五 利用线段的垂直平分线性质解题1（2019北京市通州区姚村中学中考模拟）已知如图，在ABC中，B45，点D是BC边的中点，DEBC于点D，交AB于点E，连接CE（1）求AEC的度数；（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）90；（2）AE2+EB2AC2，证明见解析（2）根据勾股定理解答【详解】解：（1）点D是BC边的中点，DEBC，DE是线段BC的垂直平分线，EBEC，ECBB45，AECECB+B90；（2）AE2+EB2AC2AEC90，AE2+EC

14、2AC2，EBEC，AE2+EB2AC22（2017福建中考模拟）如图，在ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E,连接CE。求证：BCE=A+ACB【答案】证明见解析.【详解】BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，CE=BE，ECB=EBC，EBC=A+ACB，BCE=A+ACB3（2014福建中考模拟）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，则ABD的周长为_cm【答案】21【解析】DE垂直平分，AD=CD，BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又AB=10cm，ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）考查题型六 证明某直

15、线是一条线段的垂直平分线1（2019上饶市第二中学初二期中）如图，ABC中，ACB=90，AD平分BAC，DEAB于E （1）若BAC=50，求EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线【答案】（1）65（2）证明见解析【详解】（1）AD平分BAC，BAC=50，EAD=BAC=25，DEAB，AED=90，ADE=90-EAD=90-25=65； （2）DEAB，AED=90=ACB，又AD平分BAC，DAE=DAC，又AD=AD，AEDACD，AE=AC，DE=DC点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，直线AD是线段CE的垂直平分线.2（2018广东初二

16、期中）如图，已知：E 是AOB 的平分线上一点，ECOB，EDOA，C、D是垂足，连接 CD，且交 OE 于点F（1）求证：OD=OC；（2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线；（3）若AOB=60，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OE=4EF【详解】证明：（1）点 E 是AOB 的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别是 C，D，DE=CE，EOD=EOC，在 RtODE 与 RtOCE 中，RtODERtOCE，OD=OC；（2）RtODERtOCE，OD=OC，ED=EC，点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线

17、上，OE 是 CD 的垂直平分线；（3）OE=4EFOE 是AOB 的平分线，AOB=60，AOE=BOE=30，ECOB，EDOA，OE=2DE，ODF=OED=60，EDF=30，DE=2EF，OE=4EF考查题型七 垂直平分线与角平分线相结合解题1（2019河北锦玉中学初二期中）如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE与BAC的平分线交于点E，EFAB交AB的延长线于点F，EGAC于点G求证：（1）BFCG；（2）AB+AC2AF【答案】(1) 见解析；（2）见解析【解析】 (1)如图，连接BE和CE.DE是BC的垂直平分线，BECE.AE平分BAC，EFAB，EGAC，BFEEGC9

18、0，EFEG.在RtBFE和RtCGE中，BE=CE，EF=EG，RtBFERtCGE(HL)，BFCG.(2)AE平分BAC，EFAB，EGAC，AFEAGE90，FAEGAE.在AFE和AGE中，FAEGAE ，AFEAGE，AE=AE，AFEAGE，AFAG.BFCG，ABACAFBFAGCG2AF.2如图，已知在RtABC中，A90，BD是ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线试说明BC2AB【答案】证明见解析【详解】DE是BC的垂直平分线，BE=EC，DEBC，A=90，DAAB又BD是ABC的平分线，DA=DE，又BD=BD，ABDEBD，AB=BE，BC=2AB知识点3 等腰三角

19、形等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.考查题型八 利用等腰三角形的概念解题1（2018辽宁中考模拟）若等腰三角形的一个外角等于140，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）A40 B100 C40或70 D40或100【答案】D【详解】当这个内角为顶角时，则顶角为40，当这个内角为底角时，则两个底角都为40，此时顶角为：1804040=100，故选：

20、D.2（2018陕西中考模拟）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么它的底边长为（）A4或6B4C6D5【答案】A【解析】详解：当腰为6时，则底边4，此时三边满足三角形三边关系；当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系；故选A3（2018湖南中考模拟）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）A12B16C20D16或20【答案】C【详解】等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，（1）当4是腰时，448，不能构成三角形；（2）当8是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长88420故选C4（2017湖北中考模拟）等腰三角形的一个角是8

21、0，则它的顶角的度数是（ ）A80B80或20C80或50D20【答案】B【解析】分80角是顶角与底角两种情况讨论求解 80角是顶角时，三角形的顶角为80，80角是底角时，顶角为180802=20， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80或205（2016贵州中考真题）已知x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A20或16B20C16D以上答案都不对【答案】B【详解】解：根据题意得，4-x=0，y-8=0，解得x=4，y=8，4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，4+4=8，不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20

22、，所以，三角形的周长为20故选B.考查题型九 利用等腰三角形的性质求角的度数1（2017山东中考真题）如图，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，且DADC，BDBA，则B的大小为()A40B36C30D25【答案】B【详解】解：ABAC，BC，CDDA，CDAC，BABD，BDABAD2C2B，设B，则BDABAD2，又BBADBDA180，22180，36，即B36，故选：B2（2019新疆中考模拟）如图，在ABC 中，AB=AC，C=70，ABC与ABC 关于直线 EF对称，CAF=10，连接 BB，则ABB的度数是（ ）A30B35C40D45【答案】C【详解】如图，连接 BBABC与

23、ABC 关于直线 EF 对称，BACBAC，AB=AC，C=70，ABC=ACB=ABC=70，BAC=BAC=40，CAF=10，CAF=10，BAB=40+10+10+40=100，ABB=ABB=40，故选C3（2015广西中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=100，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则BAE=（ ）A80B60C50D40【答案】D【解析】解：AB=AC，BAC=100，B=C=（180100）2=40，DE是AB的垂直平分线，AE=BE，BAE=B=40，故选D4（2018内蒙古中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，ADE的顶点D，E分别在

24、BC，AC上，且DAE=90，AD=AE，若C+BAC=145，则EDC的度数为（）A17.5B12.5C12D10【答案】D【详解】AB=AC，B=C，B+C+BAC=2C+BAC=180，又C+BAC=145，C=35，DAE=90，AD=AE，AED=45，EDC=AED-C=10，故选D5（2019北京中考模拟）如图，在ABC中，ABAC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DEAD若BAD55，B50，求DEC的度数【答案】DEC=115【详解】解：AB=AC，B=C，B=50，C=50，BAC=1805050=80，BAD=55，DAE=25，DEAD，ADE=90，DEC=DAE

25、+ADE=115考查题型十 利用等腰三角形性质定理证明角度相等的方法1（2016广东中考模拟）如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBE=BAD【答案】见解析【解析】试题解析：AB=AC，AD是BC边上的中线，ADBC，又BEAC，ADC=BEC=90，CBE+C=CAD+C=90，CBE=CAD2（2019四川中考真题）如图，在四边形中，点是的中点，求证：【答案】证明见解析.【详解】，AB/DC，点是的中点，在和中，考查题型十一 利用等角对等边证明线段/角度相等1（2019陕西中考模拟）如图，AEFAFE，ACAD，CEDF，求证：CD【答案】见解析.【详

26、解】解：证明：AEFAFE，AEAF，在AEC与AFD中，AECAFD（SSS），CD考查题型十二 等腰三角形与角平分线、平行线相结合解题1（2018靖远县靖安中学中考模拟）如图，BO平分ABC，CO平分ACB，且MNBC，设AB12，BC24，AC18，则AMN的周长为（ ）A30B36C42D18【答案】A【解析】详解：BO平分CBA，CO平分ACB，NBO=OBC，OCM=OCB，MNBC，NOB=OBC，MOC=OCB，NBO=NOB，MOC=MCO，MO=MC，NO=NB，AB=12，AC=18，AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30故选A2（2018广西中考模

27、拟）如图，在ABC中，BD平分ABC，EDBC，若AB=4，AD=2，则AED的周长是（ ）A6B7C8D10【答案】A【解析】详解：BD平分ABC， DBC=ABD， DEBC， EDB=DBC，EDB=EBD， BE=DE， =AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，故选A3.（2019重庆中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EFBC交AB于点F（1）若C=36，求BAD的度数（2）若点E在边AB上，EF/AC叫AD的延长线于点F求证：FB=FE【答案】（1）；（2）见解析.【详解】解：（1）D为BC

28、的中点，（2）BE平分又4（2018浙江中考模拟）如图，在ABC 中，AB=AC，CD是ACB的平分线，DEBC，交AC于点 E（1）求证：DE=CE （2）若CDE=35，求A 的度数 【答案】(1)见解析;(2) 40.【详解】（1）CD是ACB的平分线，BCD=ECDDEBC，EDC=BCD，EDC=ECD，DE=CE（2）ECD=EDC=35，ACB=2ECD=70AB=AC，ABC=ACB=70，A=1807070=40等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。（2）三个角

29、都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：三线合一；过中点做平行线 考查题型十三 利用等边三角形性质进行计算1（2018山东中考模拟）如图：已知等边 中， 是 的中点， 是 延长线上的一点，且 ，垂足为 ，求证： 是 的中点【答案】见解析【详解】证明：如图，连接BD，ABC是等边三角形，ABC=ACB=60.CD=CE，CDE=

30、E=30.BD是AC边上的中线，BD平分ABC，即DBC=30，DBE=E.DB=DE.又DMBE，DM是BE边上的中线，即M是BE的中点.2（2019太仓市陆渡中学中考模拟）如图，ABC是等腰三角形，ABAC，点D是AB上一点，过点D作DEBC交BC于点E，交CA延长线于点F（1）证明：ADF是等腰三角形；（2）若B60，BD4，AD2，求EC的长，【答案】（1）见解析；（2）EC4【详解】（1）ABAC，BC，FEBC，F+C90，BDE+B90，FBDE，而BDEFDA，FFDA，AFAD，ADF是等腰三角形；（2）DEBC，DEB90，B60，BD4，BEBD2，ABAC，ABC是等边

31、三角形，BCABAD+BD6，ECBCBE43（2016宁夏中考真题）在等边ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，求EF的长【答案】证明过程见解析【解析】ABC是等边三角形， B=ACB=60， DEAB， EDC=B=60，EDC是等边三角形， DE=DC=2，在RTDEC中，DEC=90，DE=2， DF=2DE=4，EF=2考查题型十四 等边三角形性质在全等证明中的应用1（2018西安电子科技大学附属中学太白校区中考模拟）已知：如图,点D在等边ABC的边AB上，作DGBC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长

32、，交BC的延长线于点E，FE=FD求证：AD=CE.【答案】证明见解析.【解析】DGBC，DGF=ECF,在DFG和EFC中，DFGEFC(AAS)， GD=CE，ABC是等边三角形， A=B=ACB=60，DGBC，ADG=B，AGD=ACB，A=ADG=AGD，ADG是等边三角形，AD=GD， AD=CE.2（2013江苏中考模拟）如图，等边ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连接AE(1)求证：ACEBCD；(2)判断AE与BC的位置关系，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）AEBC，理由见解析.【详解】（1）ABC与EDC是等边三角形，ACB=DCE=

33、60，AC=BC，DC=EC又BCD=ACBACD，ACE=DCEACD，BCD=ACEACEBCD（SAS）；（2）AEBC，理由如下：ACEBCD，ABC=CAE=60又ACB=60，CAE=ACB AEBC3（2018浙江师范大学附属秀洲实验学校中考模拟）如图，等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ（1）求证：ABPACQ.（2）判断APQ的形状，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）APQ为等边三角形证明见解析.【解析】（1） ABC为等边三角形， AB=AC ABP=ACQ，BP=CQ， ABPACQ（SAS）（2）解：APQ为等边三角形证明如下： ABPACQ AP=AQ，BAP=CAQ BAC=BAP+PAC=60， PAQ=CAQ+PAC=BAP+PAC=BAC=60 APQ是等边三角形