线性代数知识点.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -线性代数（经管类）考点逐个击破第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由如干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按肯定的规章进行运算，其结果为一个确定的数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1二阶行列式a11a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 4 个数 aij i , j就为1,2得到以下式子：a21a22称为一个二阶行列式，其运算规可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11

2、a21a12 a22a11a22a12a21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2三阶行列 式a11a12a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 9 个数aiji , j1,2,3 得到以下式子：a 21a31a 22a 32a 23a 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为一个三阶行列式，它如何进行运算了？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采纳递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3余子式及代数余子式设有三阶行列式D

3、3a11 a 21 a31a12 a 22 a32a13 a23 a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成M ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如M 11a22a32a23ja33， M 21a12 a32a13 a33， M 31a12 a22

4、a13 a23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再记Aij1iM ij，称 Aij 为元素aij 的代数余子式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如A11M 11 ， A21M 21 ， A31M 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么，三阶行列式D3 定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11D 3a21a31a12 a 22 a32a13 a23 a33a11 A11a 21 A21a31 A31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们把它称为D3按第一列的展开式，经常简写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3D3ai1i 1Ai131 ii 1a i1M i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1

6、4n 阶行列式a11a11a11a12a1 na21a22a 2 nan1an 2ann一阶行列式D1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 阶行列式D na11 A11a 21 A21a n1 An1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 Aiji , j1,2, n 为元素aij的代数余子式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5特殊行列式上三角行列式a11 0a12 a22a1n a2 na11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0

7、0anna1100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下三角行列式a21a220a11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an 2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对角行列式0a220a11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00ann（二）行列式的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 1行列式和它的转置行列式相等，即DD T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2用数

8、 k 乘行列式D 中某一行（列）的全部元素所得到的行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质 3互换行列式的任意两行（列），行列式的值转变符号.推论 1假如行列式中有某两行（列）相同，就此行列式的值等于零.推论 2假如行列式中某两行（列）的对应元素成比例，就此行列式的值等于零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -性质 4行

9、列式可以按行（列）拆开.性质 5把行列式D 的某一行（列）的全部元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理 1（行列式绽开定理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 阶行列式Daij等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乘积的和，即Dai1 Ai 1ai 2 Ai 2ain Ain i1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 Da1 j A1 ja2 jA2 jan

10、jAnj j1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前一式称为D 按第 i 行的绽开式，后一式称为D 按第 j 列的绽开式 .本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列绽开来求出它的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理2n 阶行列式 Daij的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数余子式的乘积之和等于零.即 ai1 Ak 1ai 2 Ak 2ain Akn0ik可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

11、品名师归纳总结或 a1 j A1 sa2 j A2 sanjAns0 js可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三）行列式的运算行列式的运算主要采纳以下两种基本方法：（ 1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要留意的是，在互换两行或两列时，必需在新的行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子k 时，必需在新的行列式前面乘上k.（ 2）把原行列式按选定的某一行或某一列绽开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生许多个“0”元素，再按这一行或这一列绽开：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1运算行列式D

12、421415232702531 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：观看到其次列第四行的元素为0，而且其次列第一行的元素是a121 ，利用这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按其次列绽开.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

13、 - -562按其次列绽开15072521412141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31 212行D411行5062可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5232 3行21行 105 0702570255312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2列51列100 按其次行绽开737531281375可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abbbbabbbbabbbba例 2运算行列式D4解：方法 1这个行列式的元素含有文字，在运算它的值时，切忌用文字作字母，由于文字可能取0 值. 要留意观看其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为a3b

14、 （我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结出第一列的公因子a3b ，再将后三行都减去第一行：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bbbab abbabbababbbaa3b b b b 3b a b b 3b b a b 3b b b a11a3b11bbba bbb abbba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1bbb0ab00a3b00ab0000ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3bab3可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品名师归纳总结方法 2观看到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采纳“加边法”来运算，即是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结构造一个与D4有相同值的五阶行列式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abbbbabbbbabbbba1bbbb1bbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0abbb1行（1） 2，3，4，5行1ab000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D40babb10ab00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0bbab100ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0bbba1000ab可编辑

16、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样得到一个 “箭形” 行列式，假如ab ，就原行列式的值为零，故不妨假设ab ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ab0 ，把后四列的1倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化为零 .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -14bbbb

17、b ab0ab000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00ab0014b ab 4aba3bab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000ab00000ab111例 3三阶范德蒙德行列式V3x1x2x3 x2x1 x3x1 x3x2 222x1x2x3（四）克拉默法就定理 1（克拉默法就）设含有n 个方程的n 元线性方程组为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11x1 a21 x1a12 x2 a22 x2a1n xn a2n xnb1,b2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1x1an

18、2 x2ann xnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如其系数行列式Dnaij0 ，就方程组必有唯独解：x jD j, j1,2, nD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 D j是把 D 中第 j 列换成常数项b1 ,b2 , bn 后得到的行列式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把这个法就应用于齐次线性方程组，就有定理 2设有含 n 个方程的 n 元齐次线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11x1 a21x1an1x1a

19、12 x2 a22 x2an2 x2a1n xn0,a2n xn0,ann xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如其系数行列式D0 ，就该方程组只有零解：x1x2xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结换句话说，如齐次线性方程组有非零解，就必有D0 ，在教材其次章中，将要证明，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选

20、- - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次章矩阵（一）矩阵的定义1矩阵的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 mn 个数aij i1,2, m; j1,2, n 排成的一个m 行 n 列的数表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21Aa12 a 22a1n a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

21、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为一个m 行 n 列矩阵或 mn 矩阵am1a m2amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 mn 时，称 Aaij为 n 阶矩阵或n 阶方阵n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Om n 或 O 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 3 个常用的特殊方阵： n 阶对角矩阵是指形如a11 0A00a 220的矩阵可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n 阶单位方阵是指形如00100010Enann的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n 阶三角矩阵是指形如a11 00a12 a 2201a1n a 2n,a11 a 2100a 220的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00anna n1an 2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最终结果为一个数，因而矩阵与行列式是两

23、个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号 “ * ”与矩阵记号 “ *”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1矩阵的同型与相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设有矩阵Aaij mn ， Bbij k，如 mk ， n，就说 A 与 B 是同型矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

24、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结阵.如 A 与 B 同型 ,且对应元素相等，即aijbij，就称矩阵A 与 B 相等，记为AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2矩阵的加、减法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A aij m n ， Bbij mn 是两个同型矩阵就规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABaijbij m nABaijbij m n留意：只有A 与 B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加表达为元素的相加，因而与一般数的加法运算有相同的

25、运算律.3数乘运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A aij mn ， k 为任一个数，就规定kAkaij m n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故数 k 与矩阵 A 的乘积就是A 中全部元素都乘以k，要留意数k 与行列式D 的乘积，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有一般数的乘法所具有的运算律.4乘法运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 Aaij mk ， Bbij kn ，就规定ABcij m n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 c

26、ijai1 b1 jai 2 b2 jaik bkji1,2, m;j1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行数， AB 的列数为B 的列数， 而矩阵 AB 中的元素是由左矩阵A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与一般数的乘法有所不同，一般的：不满意交换律，即ABBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 AB0 时，不能推出A0 或 B0 ，因而也不满意消去律.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方阵 .特

27、殊，如矩阵A 与 B 满 足 ABBA ，就称 A 与 B 可交换，此时A 与 B 必为同阶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵乘法满意结合律，安排律及与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A 为 n 阶方阵，就规定AmAAAm个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊 A0E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如 f xa xmaxm 1a xa ，就规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mm1mm 110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f Aam Aam 1 Aa1

28、 Aa0 E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -称 f A 为 A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6矩阵的转置设 A 为一个 mn 矩阵，把A 中行与列互换，得到一个nm 矩阵，称为A 的转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

29、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结置矩阵，记为AT ，转置运算满意以下运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A TA ， ABTATBT， kATkAT， AB TB T AT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A 为一个 n 阶方阵，如 A 满意 AT就称 A 为反对称矩阵.7方阵的行列式A ，就称 A 为对称矩阵， 如 A 满意 ATA ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵与行列式是两个完全不同的

30、概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 Aaij 为一个 n 阶方阵， 就由 A 中元素构成一个n 阶行列式a ij，称为方阵n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的行列式，记为A方阵的行列式具有以下性质：设A， B 为 n 阶方阵， k 为数，就 ATA 。 kAk n A ABAB（三）方阵的逆矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1可逆矩阵的概念与性质设 A 为一个 n 阶方阵，如存在另一个n 阶方阵 B，使满意 ABBAE ，就把 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 A 的逆矩阵

31、， 且说 A 为一个可逆矩阵，意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把 A 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结逆矩阵 B 记为A 1 ，从而 A 与 A1 第一必可交换，且乘积为单位方阵E.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结逆矩阵具有以下性质：设A， B 为同阶可逆矩阵，k0 为常数，就 A 1 是可逆矩阵，且 A 1 1A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AB 是可逆矩阵，且 AB 1B 1 A 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kA 是可逆矩阵，且kA11 A 1T11

32、Tk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A T 是可逆矩阵，且 A A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 P 为可逆矩阵，就PAPB2相伴矩阵ABAPBPAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 Aaij 为一个n 阶方阵，Aij为 A 的行列式Aaij中元素naij的代数余子可编辑资料 - - - 欢迎下载