线性代数知识点总结第、章上课讲义.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料线性代数学问点总结（第1、2 章）（一）行列式概念和性质1、逆序数： 全部的逆序的总数2、行列式定义： 不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（ 1）行列互换（转置） ，行列式的值不变（ 2）两行（列）互换，行列式变号（ 3）提公因式：行列式的某一行（列）的全部元素都乘以同一数k，等于用数 k乘此行列式（ 4）拆列安排：行列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（ 5）一行（列）乘k 加到另一行（列），行列式的值不变。（ 6）两行成比例

2、，行列式的值为0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值 等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace绽开式：（A 是 m 阶矩阵， B 是 n 阶矩阵），就7、n 阶（ n2）范德蒙德行列式数学归纳法证明仅供学习与参考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料 8、对角线的元素为a，

3、其余元素为 b 的行列式的值：（三）按行（列）绽开9、按行绽开定理：（ 1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（ 2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（ 1） |kA|=k n|A|（ 2） |AB|=|A|B|（ 3） |A T|=|A|（ 4） |A -1|=|A|-1（ 5） |A*|=|A|n-1（ 6）如 A 的特点值 1、2、n ，就（7 ）如 A 与 B 相像，就 |A|=|B|（五）克莱姆法就11、克莱姆法就：（ 1 ） 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 行

4、 列 式 不 为0 ， 那 么 方 程 为 唯 一 解（ 2）假如非齐次线性方程组无解或有两个不同解，就它的系数行列式必为0（ 3）如齐次线性方程组的系数行列式不为0，就齐次线性方程组只有0 解。如仅供学习与参考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料果方程组有非零解，那么必有D=0。（六）矩阵的运算12、矩阵乘法留意事项：（ 1）矩阵乘法

5、要求前列后行一样。（ 2）矩阵乘法不满意交换律。 （因式分解的公式对矩阵不适用，但如B=E,O,A-1，A*,fA时，可以用交换律）（ 3） AB=O不能推出 A=O 或 B=O。13、转置的性质（ 5 条）（ 1）（A+B） T=AT+BT（ 2）（kA）T=kAT（ 3）（AB）T=BTAT（ 4） |A| T=|A|（ 5）（AT） T=A（七）矩阵的逆14、逆的定义： AB=E或 BA=E成立，称 A 可逆， B 是 A 的逆矩阵，记为B=A-1 注： A 可逆的充要条件是 |A| 015、逆的性质：（5 条）（ 1）（kA）-1=1/k A-1 k0（ 2）（AB）-1=B-1A-1

6、（ 3） |A -1|=|A|-1（ 4）（AT） -1=（A-1）T（ 5）（A-1）-1=A16、逆的求法：（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解（ 2） A 为数字矩阵：（A|E）初等行变换 （ E|A-1）（八）矩阵的初等变换17、初等行（列）变换定义：（ 1）两行（列）互换。仅供学习与参考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资

7、料（ 2）一行（列）乘非零常数c（ 3）一行（列）乘k 加到另一行（列）18、初等矩阵： 单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵。19、初等变换与初等矩阵的性质：（ 1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（ 2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij -1=Eij（i，j 两行互换）。Ei-1（ c） =Ei（1/c）（第 i 行（列）乘 c） Eij-1（k）=Eij（-k）（第 i 行乘 k 加到 j）（九）矩阵的秩20、秩的定义： 非零子式的最高阶数注：（ 1） r（A）=0 意味着全部元素为0，即 A=O（ 2） r（An n）=n（满秩） |A| 0 A 可逆。 r（ A） n

8、|A|= 0A 不行逆。（ 3） r（A）=r（r=1、2、 n-1） r 阶子式非零且全部r+1 子式均为 0。21、秩的性质：（7 条）（ 1） A 为 m n 阶矩阵，就 r（A） min（m,n）（ 2） r（AB） r（ A）（ B）（ 3） r（AB） minr （ A），r（B）（ 4） r（kA）=r（A）（k0）（ 5） r（A）=r（AC）（C 是一个可逆矩阵）（ 6） r（A）=r（AT）=r（ ATA）=r（AAT）（ 7）设 A 是 mn 阶矩阵， B 是 ns 矩阵， AB=O，就 r（ A） +r（B） n 22、秩的求法：（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求

9、解。（ 2）A 为数字矩阵： A初等行变换 阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为 0），就 r（A）=非零行的行数（十）相伴矩阵仅供学习与参考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料23、相伴矩阵的性质： （8 条）（ 1） AA*=A*A=|A|E A*=|A|A -1（ 2）（kA）*=kn-1A*（ 3）（AB）*=B*A*（ 4） |A*|=|A|n-1（ 5）（AT） *=（A* ）T（ 6）（A-1）*=（ A*）-1=A|A| -1（ 7）（A* ）*=|A|n-2A（ 8）r（ A*）=n （r（ A）=n）。 r（ A*）=1（r（ A） =n-1）。 r（ A*）=0（r（ A） n-1）（十一）分块矩阵24、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同。25、分块矩阵求逆：仅供学习与参考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载