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*-第三章 不等式3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质（对称性）（传递性）（可加性）（同向可加性）（异向可减性）（可积性）（同向正数可乘性）（异向正数可除性）（平方法则）（开方法则）（倒数法则）2、几个重要不等式,（当且仅当时取号）. 变形公式：（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.变形公式： （也可用柯西不等式）用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.（当且仅当时取到等号）.（当且仅当时取到等号）.（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.绝对值三角不等式3、几个著名不等式平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： 幂平均不等式：二维形式的三角不等式：二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立.三维形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和）当且仅当或时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如将分子或分母放大（缩小），如 等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当时,当时, 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当时, 当时, 规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：平方法：同解变形法，其同解定理有：规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论与0的大小；讨论与0的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当时 当时不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当时当时恒成立恒成立恒成立恒成立15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数为常数）的最值： 法一：角点法：如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值法二：画移定求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.常见的目标函数的类型：“截距”型：“斜率”型：或“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化. 基础练习一 选择题1设Mx2，Nx1，则M与N的大小关系是()AMNBMNCM0，MN.2(2013辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若abB2a2bC|a|b|D()a()b答案B解析ab，y2x单调递增，2a2b，故选B3已知a0，1babab2Babaab2Cab2abaDabab2a答案D解析1bb20b1，即bb2ab2a.故选D4如果a、b、c满足cba，且acacBbcacCcb2ab2Dac(ac)0答案C解析cba，且ac0，c0，bcac(ba)c0，ac(ac)0，A、B、D均正确b可能等于0，也可能不等于0.cb2bcBacbCcabDcba答案B解析0lge1，b(lge)2a2a，clglgeaa.又b(lge)2lglgelgec，bc2xC1Dx2答案C解析A中x0；B中x1时，x212x；C中任意x，x211，故1；D中当x1y，下列不等式不成立的是()Ax11yBx1y1Cxy1yD1xyx答案A解析特殊值法令x2，y1，则x1211(1)1y，故A不正确8设a100.1, b0.110，clg0.1，则a，b，c的大小关系是()AabbcCbacDcab答案B解析100.1100，100.11.又0.1100.10，00.1101.lg0.1lg1，lg0.11,0b1，cbc，选B9设ab0，则()Aa2abb2Bb2aba2Ca2b2abDabb2a2答案A解析ab0，0ab，a2abb2.10已知a2a0，那么a，a2，a，a2的大小关系是()Aa2aa2aBaa2a2aCaa2aa2Da2aaa2答案B解析a2a0，0a2a2a，aa2a2a，故选B点评可取特值检验，a2a0，即a(a1)，即aa2a2a，排除A、C、D，选B11设a，bR，则(ab)a20是ab的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由(ab)a20得a0且ab；反之，由ab，不能推出(ab)a20.即(ab)a20是a1，则a3a2，1，loga0，MN，若0a1，则0a3a2，0a31a21，00，MN，故选A13(2014江西文，2)设全集为R，集合Ax|x290，Bx|1x5，则A(綂RB)()A(3,0)B(3，1)C(3，1D(3,3)答案C解析本题主要考查集合的运算，Ax|x290x|3x5，A綂RBx|30，Nx|x24，则MN()A(1,2)B1,2)C(1,2D1,2答案C解析本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算Mx|x1，Nx|2x2，所以MNx|1x2(1,218(2013广东东莞市第五高级中学高二期中测试)不等式x22x30的解集为()Ax|x1或x3Bx|1x3Cx|x3或x1Dx|3x1答案C解析由x22x30，得(x3)(x1)0，x3或x1，故选C19(北京学业水平测试)不等式(x1)(2x1)0的解集是()Ax|1x2Bx|x2Cx|x1Dx|x1答案D解析方程(x1)(2x1)0的两根为x11，x2，所以(x1)(2x1)0的解集为x|x1，选D20设集合Mx|0x2，Nx|x22x30，则MN等于()Ax|0x1Bx|0x2Cx|0x1Dx|0x2答案D解析Nx|x22x30x|1x3，Mx|0x2，MNx|0x2，故选D21若x|2x3为x2axb0的解集为()Ax|x3Bx|2x3Cx|xDx|x答案D解析由x2axb0的解集为x|2x0，即6x25x10，解集为x|x，故选D22不等式0的解集为()Ax|1x2或2x3Bx|1x3Cx|2x3Dx|1x3答案A解析原不等式等价于解得1x0B3x02y00C3x02y08答案D解析3121830.28图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为()ABCD答案A解析取原点O(0,0)检验满足xy10，故异侧点应为xy10，排除B、DO点满足x2y20，排除C选A29不等式x2y20表示的平面区域是()答案B解析将(1,0)代入均满足知选B30不等式组表示的平面区域是一个()A三角形B直角梯形C梯形D矩形答案C解析画出直线xy50及xy0，取点(0,1)代入(xy5)(xy)40，知点(0,1)在不等式(xy5)(xy)0表示的对顶角形区域内，再画出直线x0和x3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形31目标函数z2xy，将其看成直线方程时，z的意义是()A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的纵截距的相反数D该直线的横截距答案C解析z2xy可变化形为y2xz，所以z的意义是该直线在y轴上截距的相反数，故选C32若x0，y0，且xy1，则zxy的最大值为()A1B1C2D2答案B解析可行域为图中AOB，当直线yxz经过点B时，z最小从而z最大zmax1.33已知x、y满足约束条件，则z2x4y的最小值为()A5B6C10D10答案B解析可行域为图中ABC及其内部的平面区域，当直线y经过点B(3，3)时，z最小，zmin6.34若x、yR，且，则zx2y的最小值等于()A2B3C5D9答案B解析不等式组表示的可行域如图所示：画出直线l0：x2y0，平行移动l0到l的位置，当l通过点M时，z取到最小值此时M(1,1)，即zmin3.35设x、y满足约束条件，则目标函数zxy()A有最小值2，无最大值B有最大值3，无最小值C有最小值2，最大值3D既无最小值，也无最大值答案A解析画出不等式组表示的平面区域，如下图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值故选A36(2013四川文，8)若变量x、y满足约束条件，且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是()A48B30C24D16答案C解析本题考查了线性规划中最优解问题作出不等式组表示的平面区域如图作直线l0：yx，平移直线l0.当l0过点A(4,4)时可得zmax16，a16.当l0过点B(8,0)时可得zmin8，b8.ab16(8)24.37若变量x、y满足约束条件，则zx2y的最大值为()A4B3C2D1答案B解析先作出可行域如图作直线x2y0在可行域内平移，当x2yz0在y轴上的截距最小时z值最大当移至A(1，1)时，zmax12(1)3，故选B38设变量x、y满足约束条件，则目标函数z3xy的取值范围是()A，6B，1C1,6D6，答案A解析本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想根据约束条件，画出可行域如图，作直线l0：3xy0，将直线平移至经过点A(2,0)处z有最大值，经过点B(，3)处z有最小值，即z6.39设zxy，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为()A1B1C3D3答案A解析作出可行域如图中阴影部分直线zxy即yxz.经过点A(2,1)时，纵截距最大，z最小zmin1.40变量x、y满足下列条件，则使z3x2y最小的(x，y)是()A(4,5)B(3,6)C(9,2)D(6,4)答案B解析检验法：将A、B、C、D四选项中x、y代入z3x2y按从小到大依次为A、B、D、C然后按ABDC次序代入约束条件中，A不满足2x3y24，B全部满足，故选B41已知x、y满足约束条件，则zxy的最大值是()ABC2D4答案B解析画出可行域为如图阴影部分由，解得A(，)，当直线zxy经过可行域内点A时，z最大，且zmax.42(2014广东理，3)若变量x，y满足约束条件，且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A5B6C7D8答案B解析作出可行域如图，由得A(1，1)；由得B(2，1)；由得C(，)作直线l：y2x，平移l可知，当直线y2xz，经过点A时，z取最小值，当ymin3；当经过点B时，z取最大值，zmax3，m3，n3，mn6.43下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()AxBx21C2x2x Dx(1x)答案：C44已知a、bR，且ab0，则在ab；2；ab2；2这四个不等式中，恒成立的个数有()A1个 B2个C3个 D4个答案：C45某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()Ax BxCx Dx解析：依题意有A(1x)2A(1a)(1b)，1x(1a)(1b)1x.故选B.答案：B46若x0，则函数yx()A有最大值2 B有最小值2C有最大值2 D有最小值2解析：x0，x2.x2.当且仅当x1时，等号成立，故函数yx有最大值2.答案：A47数列an的通项公式an，则数列an中的最大项是()A第9项 B第8项和第9项C第10项 D第9项和第10项解析：ann2，且nN*，当n9或10时，n最小，an取最大值故选D.答案：D48lg 9lg 11与1的大小关系是()Alg 9lg 111 Blg 9lg 11 1Clg 9lg 111 D不能确定 解析：lg 9lg 111，故选C.答案：C49已知a，bR，且ab1，则ab的最小值为()A2 B.C. D不存在解析：a，bR，ab1，0ab.令tab，则f(t)t在上单调递减，f(t)的最小值为f4，故选C.答案：C50某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()A大于10 g B小于10 gC大于等于10 g D小于等于10 g解析：设两臂长分别为a，b，两次放入的黄金数是x，y，依题意有ax5b，by5a，xy25.，xy10，又ab，xy.xy10.即两次所得黄金数大于10克，故选A.答案：A51函数f(x)的最大值为()A. B. C. D1解析：当x0时，f(0)0；当x0时，x120，f(x)，当且仅当x1时等号成立故函数f(x)的最大值为.答案：B二 填空题1若ab，则a3与b3的大小关系是_答案a3b32若x(a3)(a5)，y(a2)(a4)，则x与y的大小关系是_答案xy解析xy(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，xy.3已知ab0，且cd0，则与的大小关系是_答案解析cd0，0，ab0，0，.4若a、b、c、d均为实数，使不等式0和ad0知，a、b同号，c、d同号，且0.由adbc，得adbc0，所以bd0.所以在取(a，b，c，d)时只需满足以下条件即可：a、b同号，c、d同号，b、d异号；ad0，b0，c0，d0，不妨取a2，b1，c1，则d，取d2，则(2,1，1，2)满足要求5(2013广东理，9)不等式x2x20的解集为_答案x|2x1解析由x2x20，得(x2)(x1)0，2x1，故原不等式的解集为x|2x16不等式0x22x35的解集为_答案x|2x1或3x5解析由x22x30得：x1或x3；由x22x35得2x4，2x1或3x4.原不等式的解集为x|2x1或3x47关于x的不等式：x2(2m1)xm2m0的解集是_答案x|mxm1解析解法一：方程x2(2m1)xm2m0的解为x1m，x2m1，且知mm1.二次函数yx2(2m1)xm2m的图象开口向上，且与x轴有两个交点不等式的解集为x|mxm1解法二：注意到m2mm(m1)，及m(m1)2m1，可先因式分解，化为(xm)(xm1)0，mm1，mxm1.不等式的解集为x|mxm18若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_答案0a4解析若a0，则10不成立，此时解集为空若a0，则00，b0且ab，试比较aabb与abba的大小解析根据同底数幂的运算法则aabbba()ab，当ab0时，1，ab0，则()ab1，于是aabbabba.当ba0时，01，ab1，于是aabbabba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabbabba.2已知a0，b0，ab，nN且n2，比较anbn与an1babn1的大小解析(anbn)(an1babn1)an1(ab)bn1(ba)(ab)(an1bn1)，(1)当ab0时，an1bn1，(ab)(an1bn1)0，(2)当0ab时，an1bn1，(ab)(an1bn1)0，对任意a0，b0，ab，总有(ab)(an1bn1)0.anbnan1babn1.3如果30x42,16y24.分别求xy、x2y及的取值范围解析46xy66；482y32，18x2y10；30x0的解集为(，)，求cx22xa0的解集解析由ax22xc0的解集为(，)，知a0，即2x22x120.解得2x0的解集为x|2x0；(2)0，x.故原不等式的解集为x|x(2)0ax(x1)0时，ax(x1)0x(x1)01x0，解集为x|1x0；当a0时，原不等式的解集为；当a0时，ax(x1)0x0或x0，或x0.解析原不等式可化为(xa)(xa2)0.则方程x2(aa2)xa30的两根为x1a，x2a2，由a2aa(a1)可知，(1)当a1时，a2a.原不等式的解集为xa2或xa.(2)当0a1时，a2a或x0，x0.(4)当a1时，原不等式为(x1)20，x1.综上可知：当a1时，原不等式的解集为x|xa2；当0a1时，原不等式的解集为x|xa；当a0时，原不等式的解集为x|x0；当a1时，原不等式的解集为x|x1.8画出不等式组表示的平面区域解析不等式xy60表示在直线xy60上及右上方的点的集合，xy0表示在直线xy0上及右下方的点的集合，y3表示在直线y3上及其下方的点的集合，x5表示直线x5左方的点的集合，所以不等式组 表示的平面区域为如图阴影部分9经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)、B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解析由题意知直线l斜率存在，设为k.则可设直线l的方程为kxy10，由题知：A、B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有：(k1)(2k2)01k1.10求z3x5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.解析作出可行域为如图所示的阴影部分目标函数为z3x5y，作直线l0：3x5y0.当直线l0向右上平移时，z随之增大，在可行域内以经过点A(，)的直线l1所对应的z最大类似地，在可行域内，以经过点B(2，1)的直线l2所对应的z最小，zmax17，zmin11，z的最大值为17，最小值为11.11某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解析设A、B两种金属板分别取x张、y张，用料面积为z，则约束条件