专业题材2极值点偏移问答利器极值点偏移判定定理-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(解析版).doc

.\ 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数的极值点； （2）构造一元差函数； （3）确定函数的单调性； （4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增 （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，证明：. ∵，∴，在上单调递增，∴，∴. ★函数与直线交于、两点. 证明：. ★已知函数，若，且，证明：. 【解析】由函数单调性可知：若，则必有。 所以，而， 令，则 所以函数在为减函数，所以， 所以即，所以，所以. ★已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：. 四、招式演练 ★已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数. （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若，证明：当，且时， . 【答案】(1) 当时， 无极值; 当时, 有极小值;(2)详见解析. 【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． 试题解析： （Ⅰ）的定义域为， 当时， 在时成立， 在上单调递增， 无极值. 当时， 解得，由 得；由 得，所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值. （Ⅱ）当时， 的定义域为， ， 由，解得.当变化时， ， 变化情况如下表： 0 0 + 单调递减 极小值 单调递增 ∵，且，则（不妨设） ★已知函数，其中 （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明： . 【答案】（1）;（2）见解析. （1）当时， 函数在上单调递增，不可能有两个零点 （2）当时， 0 - 极大值 的极大值为，由得； 因为，所以在必存在一个零点； 显然当时， ，所以在上必存在一个零点；