椭圆典型例题整理教师版.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1： 已知椭圆的焦点是F10 ， 1、 F20,1， P 是椭圆上一点，并且PF 1PF 2 2F1F 2，求椭圆的标准方程。解： 由 PF1PF2 2F1F2224，得 2a4.又 c 1，所以 b23.y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以椭圆的标准方程是4 3 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知椭圆的两个焦点为F 1 1,0， F2 1,0，且 2a 10，求椭圆的标准方程可编辑

2、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解： 由椭圆定义知c 1， b5 124. 椭圆的标准方程为二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。x225y224 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 椭圆的一个顶点为A 2，0，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）当 A 2，0 为长轴端点时，ax2y 22 ， b1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆的标准方程为：1 。41可编辑资料 -

3、- - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 A 2，0 为短轴端点时，bx2y 22 ， a4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆的标准方程为：1 。416三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例求过点 3,2且与椭圆9 4 1 有相同焦点的椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y29c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由于4 94 5，所以设所求椭圆的标准方程为2a2a2 5 1. 由点 3,2 在椭圆上知x2y2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品名师归纳总结a21，所以 a5 15. 所以所求椭圆的标准方程为15 1.10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线xy10 交于 A 、 B 两点， M 为 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由题意，设椭圆方程为y21，a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy12由x22ya0，得 11a 2 x22a 2 x0 ，可编辑资料 - - -

5、欢迎下载精品名师归纳总结 xx1x21a 21， y1x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M2a2MM1a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yMkOMxM112， aa 24x24 ，4y21 为所求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、求椭圆的离心率问题。例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率a 2113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：2c2 3c2a 2 ， e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c333x2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 已知椭圆1 的离心率e，求

6、 k 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k892可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2k8 ， b 29 ，得c 2k1由 e1 ，得 k4 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当椭圆的焦点在y 轴上时， a29 ， b 2k8 ，得 c21k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

7、 - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11k由 e，得291 ，即 k5 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结满意条件的k4或 k5 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例： 1.如 ABC 的两个顶点坐标A4,0， B4,0， ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。22解： 顶点 C 到两个定点 A， B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a10，所以 a 5,2c8，所以 c4，所以 b2a2c29，故顶点 C 的轨迹方程为可编辑

8、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy2259y21.又 A、B、C 三点构成三角形， 所以 y0.所以顶点 C 的轨迹方程为 x25x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 9 1y 0答案：1y 0925可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知椭圆的标准方程是a2251 a5 ，它的两焦点分别是F1，F 2，且 F1F28，弦 AB 过点 F 1，求 ABF2 的周长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 F1F28，即即所以 2c8，即 c4，所以 a22516 41，即 a41，

9、所以 ABF2 的周长为 4a441.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3设 F 1、F2 是椭圆9 4 1 的两个焦点 ,P 是椭圆上的点，且PF 1: PF2 2: 1，求 PF 1F 2 的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由椭圆方程，得a3，b2，c5， PF1PF2 2a6.又 PF1 PF221， PF14，2PF1PF2244.2PF2 2，由 22 42252 可知 PF1F2 是直角三角形，故 PF1F2 的面积为 11七、直线与椭圆的位置问题x211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 已知椭圆2y21 ，求过点

10、 P，22且被 P 平分的弦所在的直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一： 设所求直线的斜率为k ，就直线方程为y12kx12代入椭圆方程，并整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12k 2 x 22k 22k x2 k 21 k 2k30 222k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由韦达定理得x1x212k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P 是弦中点，x1x21故得 k1 2可编辑资料 - - - 欢

11、迎下载精品名师归纳总结所以所求直线方程为2 x4 y30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二： 设过 P11的直线与椭圆交于A x ， y、 B x ， y，就由题意得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，112222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y1121，2x2y2221，2x1x21，y1y21.学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx22得122220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy12将、代入得y1y2x1x2所求直线方程为2x4 y31 ，即直线的斜率为1 220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2直线 l ：kx y k0 与椭圆4 2 1 的位置关系是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 相交B相离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

13、结C相切D不确定解析： kx y k 0， y kx 1 ，即直线过定点1,0，而 1,0点在相交答案： Ax2y24 2 1 的内部，故l 与椭圆x2y24 2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.如直线 y x 2 与椭圆m 3 1 有两个公共点，就m 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. ， 0 1， B. 1,3 3 ， C. ， 3 3,0 D. 1,3y x 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 此题考查直线与椭圆的位置关系由x2y2消去 y，整理得 3 m

14、x2 4mxm 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 m3如直线与椭圆有两个公共点，3 m0，就解得 4m 2 4m 3m 0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 3，x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 1 表示椭圆知， m0 且 m3.综上可知， m 的取值范畴是m1 且 m 3，应选 B.m1.m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： Bx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 2021郑州外国语学校月考 已知椭圆3 2 1 的左、右焦点分别为F 1， F2，过 F1 且倾斜角为45的直线l可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与椭圆相交于A，B 两点1 求 AB 的中点坐标。2 求 ABF 2 的周长与面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载x2y2解： 1由 3 2 1，知 a3， b2， c 1. F1 1,0，F 21,0， l 的方程为y x 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x

16、2联立3y 1，22消去 y 得 5x2 6x 3 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y x 1，设 Ax1， y1， Bx2， y2， AB 中点 M x0， y0，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6x1 x2，x3x11x2，x0x2y1 y2 3，y0 x1 1 x2 1x1 x212或 y0 x0 131 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55252中点坐标为M 3222555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ， 55|1 0 1|2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由题意知， F2 到直线 AB

17、的距离 d12 122，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212 2 4x1 283 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|AB|1kl x xx 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 SABF 2 1|AB|d 1 832 462255 ， ABF 2 的周长 4a 43.5已知椭圆4x2 y2 1 及直线 y x m.1 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范畴。2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 4x2 y21，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1由y x m，可编辑资

18、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 5x2 2mx m2 1 0.由于直线与椭圆有公共点， 所以 4m2 20m2 1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得52m5.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 设直线与椭圆交于Ax1，y1、Bx2，y2， 由 1知， 5x2 2mxm2 1 0，5由根与系数的关系得x1 x2 2m，1x1x2 m2 15设弦长为d，且 y1 y2 x1 m x2 m x1 x2， dx1 x2 2 y1 y2 22 x1 x2 22 x1 x2 2 4x1x24m2422255 m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

19、师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 210 8m2.学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 m 0 时， d 最大，此时直线方程为y x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结八、椭圆中的最值问题x2y2例 椭圆1 的右焦点为F ，过点A 1， 3，点 M 在椭圆上，当AM2 MF为最小可编

20、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1612值时，求点M 的坐标1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由已知： a4 ， c2 所以e，右准线2l： x8 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过 A 作 AQl ，垂足为 Q ，交椭圆于M ，故MQ2 MF明显AM2 MF的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AQ ，即 M 为所求点，因此y M3 ，且 M 在椭圆上故xM23 所以 M23， 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

21、师归纳总结7设 P 为椭圆4 9 1 上的任意一点，F 1， F 2 为其上、下焦点，就|PF 1|PF 2|的最大值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由已知 a 3， |PF 1|PF 2| 2a 6，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 |PF1 | |PF 2| |PF 1| |PF 2|22 9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 |PF 1| |PF 2| 3 时，式中等号成立 故 |PF1 | |PF 2|的最大值为9.答案： 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载