等比数列知识点总结与典型例题-.docx

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1、精品名师归纳总结等比数列学问点总结与典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、等比数列的定义：anan 1q q0n2, 且nN *, q 称为公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa qn 1a1 qnA Bnaq0, A B0 ,首项：a 。公比： q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n111qn mn manan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推广： anamqqqn mamam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等比中项：（1） ）假如a, A,

2、 b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与b 的等差中项,即： A 2ab 或 Aab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 同号的 两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）数列a是等比数列a 2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n 14、等比数列的前 n 项和 Sn 公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当 q1 时, Snna1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 q1 时, Sna1 1qn

3、1qa1anq1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a1qn1q1qAA BnA BnA （A, B, A, B 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、等比数列的判定方法：（1） ）用定义：对任意的 n ,都有aqa 或 an 1q q为常数, a0 a 为等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列（2） 等比中项： a 2aaaa0 a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品名师归纳总结nn 1 n 1n 1 n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 通项公式： annA BA B0 an 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、等比数列的证明方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据定义：如 anq q0n2, 且nN *或 aqa a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm7、等比数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 对任何m, nN*,在等比数列 an 中,有aa qn m 。可

5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 如mnstm ,n ,s ,tN ,就an amas at 。特殊的,当 mn2k 时,得 anamak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*2注： a1 ana2an 1a3 an 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差和等比数列比较：等差数列等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义an 1anda n 1aqq0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递推公式通项公a nan 1d 。 a na m nmdanannm1 q 。 an

6、aqn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana1式 n1 dana1qn1 （ a1 , q0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中项Aan kan k2（ n, kN * , nk0 ）Gan k ank ank an k0 （n, kN * , nk0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Snn a1an nna1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前n 项和2nn1S na1 1qa1a n q q2可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结Snna1d21q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重要ama na paqamana paq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质m, n,p, qN * , mnpq m, n, p, qN * , mnpq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型一：等比数列的通项公式经典例题透析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 等比数列 an 中, a1a964,a3a720 , 求a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载

8、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨： 由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于a1 和 q 的二元方程组,解出a1 和 q ,可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 a11 。或留意到下标 1937 ,可以利用性质可求出a3 、 a7 ,再求a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一： 设此数列公比为 q ,就a1 a98a1 a1q641可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa q 2a q 6202可

9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由2 得：11 a10 .a q213711q4203可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1 得：a q4 264 ,a q48 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 4 得：1q4q2205,82可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 2q45q20 , 解得q2 或q212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2101当 q22时, a10aaq2, 11164 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 q 21 时, a2132, a11a1 q1 .可编辑资料 - - -

10、欢迎下载精品名师归纳总结法二： a1a9a3 a764 , 又 a3a720 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 、 a 为方程x220 x640 的两实数根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结37a316或a742a 34a 716a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aaa, a71或 a64 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a311711113总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以削减运算量。解题过程中详细求解时,要设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法（除式不为零） .举

11、一反三：【变式 1】a n 为等比数列, a1=3, a9=768,求 a6。【答案】 9688法一： 设公比为 q,就 768=a1q ,q =256, q= 2, a6= 96。2法二： a5 =a1a9a5= 48q= 2, a6= 96。【变式 2】a n 为等比数列, an0,且 a1a89=16,求 a44 a45a46 的值。2【答案】 64。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a1a89a4516 ,又 an 0, a45=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a a aa344 45464564 。可

12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n3 n【变式 3】已知等比数列 an ,如 a1a2a37 , a1a2a38 ,求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 an2或 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 32法一： a aa2 ,a a aa231 2328 , a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a3从而a1a345, 解之得a11, a34 或a14 , a31可

13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a11时, q2 。当 a14 时, q1 。1n23 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31故 an2或 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二 ：由等比数列的定义知a2a1q ,aa q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入已知得aa qa q27111111aa q a q28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 11a 3 q3qq 2 7,8a11a1qqq27, 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

14、将 a12代入（ 1）得q2q25q20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 q2 或 q12a1a14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 2）得1或q2q1,以下同方法一。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型二：等比数列的前n 项和公式例 2 设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.解析： 如 q=1,就有 S3=3a1, S6=6a1,S9=9a1.因 a1 0,得 S3+S6 2S9,明显 q=1 与题设冲突,故 q 1.a 1 q3 a

15、1q6 2a 1q9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 SS2S 得,111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3691q1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结363整理得 q 2q -q -1=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6由 q 0,得 2q -q3-1=0 ,从而 2q3+1q3-1=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3因 q 1,故q 3123 4,所以 q。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

16、名师归纳总结举一反三：1,【变式 1】求等比数列1 13 9的前 6 项和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 364 。243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a11, q1 , n63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结331 6364可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S611123。3243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 2】已知： a n 为等比数列, a1a2a3=27, S3=13,求 S5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

17、结【答案】121或 121 。9a 13q31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a327a3 , 131q3或q,就 a1=1 或 a1=9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13591 135121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S5121或S513.1 193可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】在等比数列 an 中, a1an66 , a2an 1128, Sn126 ,求 n 和 q 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

18、载精品名师归纳总结【答案】 q1或 2, n6 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2an 1a1 an ,a1an128可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组a1an128,得a164a12或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1an66an2an64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a164n将代入 Sa1anq ,得 q1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an21q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

19、总结1由 aa qn,解得 n6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1a12将代入 Sa1anq ,得 q2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nan641q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由 aa qn,解得 n6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n q121或 2, n6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型三：等比数列的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.等比数列 an解析：中,如 a5a69 , 求 log3 a1log 3 a2.log3 a10 .可编辑资料 - - -

20、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 是等比数列,a1a10a2 a9a3 a8a4 a7a5 a69可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55 log alogalogalog aaaalog aa log 910可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31323103123103563可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：【变式 1】正项等比数列 an 中,如 a1a100=100;就 lga 1+lga 2+ +lga 100=.【答案】 100。 lga 1+lga 2+lga 3+ +lga 100=lg

21、a 1 a2 a3 a100而 a1 a100=a2 a99=a3 a98= =a50 a51原式 =lga1 a10050=50lga 1 a100=50 lg100=100 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 2】在 8 和 27之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32【答案】 216。法一： 设这个等比数列为 an ,其公比为 q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 a, a27a q 48 q 4 ,q481 , q 29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1

22、51323164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aaaa q a q2a q3a3q633348963216。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2341111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： 设这个等比数列为 a ,公比为 q ,就 a8 , a27 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1352可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加入的三项分别为a2 , a3 , a4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意a , a , a 也成等比数列,a 2

23、82736 ,故 a6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1353323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aaaa2 aa3216 。234333类型四：等比数列前n 项和公式的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 在等比数列 an 中,已知 Sn48 , S2n60 ,求S3n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前k 项和, 第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和,第 n 个 k 项和仍旧成等比数列。解析：法一： 令 b1=Sn=48,

24、b 2=S2n-S n=60-48=12 , b3=S3n -S2n观看 b1=a1+a2+ +an,nb2=an+1+an+2+ +a2n=q a 1+a2+ +an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b =a+a+ +a=q2na +a + +a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32n+12n+23n122b2n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易知 b1,b 2,b 3 成等比数列,b33, b148 S3n=b3+S2n=3+60=63.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： S2na2Sn , q1 ,1qn 可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知得11a1 1148qq2 n 60q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 1qn5 ,即 qn144可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入得a11q64 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S3na11q3n 164163。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法三： an为等比数列,Sn ,

26、S2nSn ,S3nS2n 也成等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 SS 2S SS ,2nnn3n2 n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S3n S2nSn SnS2n60486063 。48可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：【变式 1】等比数列 an【答案】 17。中,公比 q=2, S 4=1, 就 S8=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44444444S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q +a2q +a3q +a4q =S4+q a 1+a2+a3+a4=S4+q S4=S41+q =1

27、1+2 =17【变式 2】已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40, 求： S30=？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 130。2法一： S10, S20-S 10, S30-S 20 构成等比数列,S20-S 10即 30 =10S 30 -40, S30=130.=S10 S30 -S20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2法二： 2S10 S20, q1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S10 1q10a1111q10 q10 ,S20aa111q20 q40 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载

28、精品名师归纳总结1q20, q103 , 1541q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S30a1 11q30 q 5133130 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】等比数列 an的项都是正数,如Sn=80, S 2n=6560,前 n 项中最大的一项为54,求 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 Sn S2n80, q65601 否就Sn1 S2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Sna1 11qn q=80 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2na1 11q2n q=6560.2,可编

29、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn2 1 得： 1+q =82, q =81.3该数列各项为正数,由3 知 q1 a n 为递增数列, an 为最大项 54.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an=a1qn-1=54, a qn =54q,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 81a1=54q.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5422 a1qq 代入 1 得q 181801q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结813 q=3, n=4.【变式 4】等比数列 an【答案】 4。3中,如 a1+a2=324, a 3+a

30、4=36,就 a5+a6=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24令 b1=a1+a2=a11+q , b2=a3+a4=a1q 1+q,b3=a5+a6=a1q 1+q,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2易知： b1, b 2, b 3 成等比数列, b3=2b1362=324=4,即 a5 +a6=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 5】等比数列 an【答案】 448。中,如 a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56,求 a7+a8+a9 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

31、名师归纳总结3 a n 是等比数列, a4+a5+a6=a1+a2+a33 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a7+a8+a9=a 4+a5+a6q=56 8=448.q ,q =8,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列,如前两项不变,第三项减去32,就成等差数列 . 如再将此等差数列的其次项减去 4,就又成等比数列 . 求原先的三个数 .思路点拨： 恰当的设元是顺当解方程组的前提. 考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式 .解析：法一： 设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.就 a-d, a, a+d+32成等比数列, a-d, a-4, a+d成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2aa42d a ad d a32. .1d . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由2 得 a= d8216 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1 得 32a=d +32d4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 代4 消 a,解得 d8或 d=8.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 d8 时, a326。当 d=8 时,a=109可编辑资料 - - - 欢迎下载