高中数学第一章空间几何体空间几何体的表面积与体积学案新人教版必修.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1.3空间几何体的表面积与体积1 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本P2327，摸索并完成以下问题 1棱柱、棱锥、棱台的表面积如何运算？2圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图分别是什么？3圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ 新知初探 1柱体、锥体、台体的表面积公式图形表面积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是绽开图的面积可编辑资料 - -

2、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆柱旋圆锥转体圆台底面积： S 底 r2侧面积： S 侧 2 rl表面积： S 2rl 2 r 22底面积： S 底 r侧面积： S 侧 rl22表面积： S rl r 2 上底面面积：S上底 r 下底面面积：S下底 r侧面积：

3、S 侧 l r r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2表面积： S r r rl 2 r l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V Sh S为底面面积，h 为高 。1锥体的体积公式V 3Sh S 为底面面积，h 为高 。1台体的体积公式V 3 SSS S h. 点睛 1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系： 小 试 身 手 1判定以下命题是否正确 正确的打“”，错误的打“”(1) 锥体的体积等于底面面积与高之积(2) 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差答案： 1 2 2

4、侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33 2A. 4a3B. a24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33 263 2C. 2aD.4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -23 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：选 A侧面

5、都是等腰直角三角形，故侧棱长等于2 a， S表 4 a 3 22 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结233 24a .3如圆锥的底面半径为3，母线长为5，就圆锥的体积是 解析：由已知圆锥的高h 4，12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 V圆锥 34 12 . 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 12柱、锥、台的表面积 典例 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9 和 15， 高是5，求该直四棱柱的侧面积 解如图，设底面对角线AC a， BD b，交点为 O，对角线A1C 15，B1D 9，222222a 5 15 ， b 5

6、9 ， a2200， b2 56.该直四棱柱的底面是菱形，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22AC AB2BDa2 b2224200 564 64， AB8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直四棱柱的侧面积S485 160.(1) 求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体绽开求其 绽开图的面积进而得表面积(2) 结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确的观看三视图，把它仍原为直观图，特殊要留意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面

7、积公式 求解 活学活用 1 陕西高考 一个几何体的三视图如下列图，就该几何体的表面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A 3B 4C 2 4D 3 4解析：选D由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如下列图12表面积为222 2 1 12 4 3 .2圆台的上、 下底面半径和高的比为14 4，如母线长为10，就圆台的表面积为 A

8、81B 100C 168D 169解析：选 C先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解圆22台的轴截面如下列图，设上底面半径为r ，下底面半径为R，就它的母线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2长为 l h R r8.rr25r 10，所以 r 2， R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 S侧 R r l 8 2 10 100 ，S22表 S 侧 r R 100 4 64 168 .柱体、锥体、台体的体积 典例 一空间几何体的三视图如下列图，就该几何体的体积为A 2 23B 4 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23C 2323D 4 3可编

9、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为 2，体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 2 ，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为1 232323，所以该几何体3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -23的

10、体积为2 3. 答案 C空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1) 求简洁几何体的体积如所给的几何体为柱体、锥体或台体， 就可直接利用公式求解(2) 求以三视图为背景的几何体的体积应先依据三视图得到几何体的直观图，然后依据条件求解 活学活用 1已知某圆台的上、下底面面积分别是 ， 4，侧面积是6 ，就这个圆台的体积是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析：设圆台的上、下底面半径分别为r 和 R，母线长为l ，高为 h，就 S 上 r ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2122下 R 4 ， r 1，R 2，S 侧 r R l 6 ， l 2， h3， V

11、3 1 27312 33 .73答案：32. 如某几何体的三视图如下列图，就此几何体的体积等于 解析：依据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得到的，体积V13452112 433 24.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 24几何体体积的求法题点一：等积变换法1. 如下列图，正方体ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 1，E为线段 B1C上的一点，就三棱锥A- DED1 的体积为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： V 三棱锥 A- DED1V 三棱锥 E- DD1A11321111

12、6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1答案：62. 如下列图，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两相互垂直，又PA2， PB 3， PC 4，求三棱锥P- ABC的体积 V.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1解：三棱锥的体积V3Sh，其中S 为底面积， h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作

13、为底面，所以此题可把B看作顶点， PAC作为底面求解111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 V3S PACPB 3243 4.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题点二：分割法3. 如图，在多面体 ABCDE中F ，已知面 ABCD是边长为 4 的正方形， EF AB，EF 2，EF 上任意一点到平面 ABCD的距离均为 3，求该多面体的体积解：如图，连接EB， EC. 四棱锥 E- ABCD的体积V12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四棱锥 E- ABCD43 16.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

14、下载精品名师归纳总结AB 2EF，EF AB， SEAB 2SBEF.1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 V 三棱锥 F- EBC V 三棱锥 C- EFB 2V三棱锥 C- ABE 2V三棱锥 E- ABC22V四棱锥 E- ABCD 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多面体的体积V V 四棱锥 E- ABCD V 三棱锥 F- EBC 16 4 20.题点三：补形法4如图，一个底面半径为2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积2解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，就圆柱的体积为

15、25 20，故所求几何体的体积为10 .5已知四周体ABCD中， AB CD13， BC AD 25， BD AC5，求四周体 ABCD的体积解：以四周体的各棱为对角线仍原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x，y， z，就 x2y2 13，y2 z2 20，x2 z2 25， x 3，y 2，z 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 VD- ABE 3DES ABE1V 长方体 ，6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1同理， VC- ABFVD- ACG VD- BCH 6V 长方体 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 -

16、 - - - - - - - - -第 6 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 V 四周体 ABCD V长方体 41V 长方体 613V 长方体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 V长方体 234 24， V 四周体 ABCD 8.(1) 三棱锥又称为四周体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法 或称等积法 (2) 当所给几何体外形不规章时，无法直接利用体积公式求解，这时

17、可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易运算体积的几何体，从而求出原几何体的体积层级一学业水平达标 1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，就该长方体的表面积为 A 22B 20C 10D 11解析：选A所求长方体的表面积S21 2 21 3 22 3 22. 2如某圆锥的高等于其底面直径，就它的底面积与侧面积之比为 A 12B 13C 15D.322解析：选 C设圆锥底面半径为r ，就高 h 2r ，其母线长l 5r . S侧 rl 5 r ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S 底 r2， S底 S 侧 15.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

18、3. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2 的等腰三角形，俯视图是半径为1 的半圆，就该几何体的体积是433A.3B.6 13C. 2D. 3 11解析：选B由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1336 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，母线长为3，圆台的侧面积为84 ，就该圆台较小底面的半径为A 7B 6C 5D 3解析：选A设圆台较小底面的半径为r ，就另一底面的半径为3r . 由 S 侧3 r 3r 可编辑资料 - - - 欢迎下载

19、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 84，解得 r 7.5. 如图， ABC- A B C是体积为1 的棱柱，就四棱锥C- AAB B 的体积是 11A. 3B. 223C. 3D. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：选CVC- A B C 1VABC- AB C 112.， VC- AA BB 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3

20、3336棱长都是3 的三棱锥的表面积S 为 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由于三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S44 3 93.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 937如圆锥的侧面绽开图为一个半径为2 的半圆，就圆锥的体积是 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：易知圆锥的母线长l 2，设圆锥的底面半径为r ，就 2 r 2 2， r 1， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆锥的高hl r 3，就圆锥的体积V 3 r h 3 .可编辑资料 - -

21、- 欢迎下载精品名师归纳总结3答案：3 8如图是一个几何体的三视图，如它的体积是33，就 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由三视图， 可知几何体为一个放倒的直三棱柱，就该几何体的体积V312 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 33，所以 a3.答案：39如图，在四边形ABCD中， DAB90， ADC135， AB 5， CD 22， AD 2，如四边形ABCD绕 AD旋转一周成为几何体(1) 画出该几何体的三视图。(2) 求出该几何体的表面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - -

22、-第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解： 1 如下列图2 过 C 作 CE垂直 AD延长线于E点，作 CF垂直 AB于 F 点由已知得： DE2， CE2， CF4， BF 5 2 3.22 BCCFBF 5.下底圆面积S1 25 ，台体侧面积S2 2 5 5 35 ，锥体侧面积S3 22 2 42 ，故表面积SS1 S2 S3 60 42 .10. 如图，已知正三棱锥S- ABC的侧面积是底面积的2 倍，正三棱锥的高 SO 3，求此正三棱锥的

23、表面积解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作 OE AB，与 AB交于点 E，连接 SE，就 SE AB，SE h. S 侧2S 底，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 3a h32a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24 a3h.22222 SOOE， SO OE SE.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 32363h h .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 h 23， a3h 6.3 232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S 底4 a 4 6 93， S 侧 2S 底 183.可编辑资料 -

24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S 表S 侧 S 底 183 93 273.层级二应试才能达标 1正方体的表面积为96，就正方体的体积为 A 486B 64C 16D 96可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析：选B设正方体的棱长为a，就 6a 96， a4，故 Va334 64.可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知高为3 的棱柱 ABC- A1B1C1 的底面是边长为1 的正三角形， 如图， 就三棱锥 B- AB1C 的体积为 11A. 4B. 233C. 6D. 41133解析：选DVB- AB1C VB1- ABC 3SABC h 3 4 3 4 .3圆柱的一个底面积是S，侧面绽开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 A 4SB 2 S23C SD.3 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：选A底面半径是积是 2 S 24 S.S ，所以正方形的边长是2S 2 S，故圆柱的侧面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.

26、 一个几何体的三视图如下列图，就该几何体的体积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结53A.353C.643B.3D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：选A由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如下列图，其3213253可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中底面三角形的边长为2，故所求的体积为22 434 213.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5已知一个长方体的三个面的面积分别是2， 3， 6，就这个长方体的体积为 解 析 ： 设 长 方 体 从 一 点 出 发 的 三 条 棱 长 分 别 为a ， b ， c ， 就 ab2

27、，ac3，bc6，三式相乘得 abc 2 6，故长方体的体积V abc6.答案：66用一张正方形的纸把一个棱长为1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，就所需纸的最小面积是 解析：如图为棱长为1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - -

28、 - - - - - - - - -答案： 87如下列图，已知某几何体的三视图如下 单位： cm(1) 画出这个几何体 不要求写画法 。(2) 求这个几何体的表面积及体积解： 1 这个几何体如下列图2 这个几何体可看成是正方体AC1 及直三棱柱B1C1Q- A1D1P 的组合体由 PA1 PD12， A1D1 AD2，可得 PA1 PD1.212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求几何体的表面积S52 222 2 2 2 22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结242cm ，3123所求几何体的体积V 2 2 2 2 10cm 8一个圆锥的底面半径为2 cm ，

29、高为 6 cm，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱(1) 求圆锥的侧面积(2) 当 x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值解： 1 圆锥的母线长为62 22210cm ，2圆锥的侧面积S1 22 10 410 cm 2 画出圆锥的轴截面如下列图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

30、纳总结设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知r6 x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 x262222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r 3，圆柱的侧面积S22 rx 3 x 6x 3 x 39 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x 3 时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6 cm2.1 3.2球的体积和表面积预习课本P2728，摸索并完成以下问题 1球的表面积公式是什么？2球的体积公式是什么？ 新知初探 1球的表面积2设球的半径为R，就球的表面积S 4 R，即球的表面积等于它的大圆面积的4 倍2球的体积43可编辑资料 - - - 欢迎

31、下载精品名师归纳总结设球的半径为R，就球的体积V R . 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 小 试 身 手 1判定以下命题是否正确 正确的打“”，错误的打“”(1) 两个球的半径之比为1 3，就其表面积之比为1 9(2) 经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径答案： 1 2 2如球的过球心的圆面圆周长是C，就这个球的表面积是2C2C2C2A. 4B. 2C. D 2 CCC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：选C由 2 R C，得 R2 ， S 4 R2.球面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33如一个球的直径是10 cm，就它的体积为 c

32、m .1043435003可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由题意知其半径为R2 5cm ，故其体积为V 3 R 3 5 3 cm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：5003 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结球的体积与表面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 典例 1 球的体积是323，就此球的表面积是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 12B 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16C.3D.64 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 一个空间几何体的三视图如下列图，其中正视图和侧视图都是半径为1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，就这个几何体的表面积为 4332 解析 1 设球的半径为R，就由已知得 R ，解得 R 2.332故