三角函数的图像和性质教师讲义.doc

.\ 三角函数的图像和性质 1.诱导公式（把角写成形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ） Ⅱ） Ⅲ） Ⅳ） Ⅴ） Ⅵ） 2、三角函数公式　 1、两角和与差的三角函数： 　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 　　sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ 　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ 2、倍角公式： 　　sin(2α)=2sinαcosα=2/(tanα+cotα) 　　cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2　 　　tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： （2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系： 3、三角函数的图像与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 “五点法”描图 (1)y＝sin x的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为： (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)y＝cos x的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为： (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2.周期函数定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期。（并非所有函数都有最小正周期） 三角函数的图像和性质 函数性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 图像 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z) 对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心： 无对称轴 对称中心： 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间 ； 单调减区间 单调增区间 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 单调减区间 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间 奇偶性 奇 偶 奇 4．由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋)的图像一般有两个途径 利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图像向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图像。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图像。 3、形如的函数特点 （1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；—相位；―初相； （2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则＝_____（答：）； （3）函数图象的画法： ①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 （4）函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象； ③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。 例：以变换到为例 向左平移个单位 （左加右减） 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） 向左平移个单位 （左加右减） 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 分类解析 一　三角函数的周期 【例1】►求下列函数的周期： 　　； 二　三角函数的定义域与值域 【例2】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值． (1)求函数y＝的定义域；(2) (3)已知的定义域为，求的定义域. 三　三角函数的单调性 【例3】►求下列函数的单调递增区间． (1)，(2)，(3). 【训练3】 函数f(x)＝sin的单调减区间为_____ _． 四　三角函数的对称性 【例4】►(1)函数y＝cos图像的对称轴方程可能是(　　)． A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ (2)若0＜α＜，是偶函数，则α的值为________． 【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________. (2)函数y＝cos(3x＋φ)的图像关于原点成中心对称图形．则φ＝________. 五．综合题 3. 设函数，，，且以为最小正周期． （1）求； （2）求的解析式；（3）已知，求的值． 1. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由. 三 【习题讲与练】 1．函数图像的对称轴方程可能是（ ） A． B． C． D． 2．将函数的图像按向量平移后所得的图像关于点中心对称，则向量的坐标 可能为（ ） A． B． C． D． 3．函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，则的解析式为（　 　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．函数f(x)=cosx (xR)的图像按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f(x)的图像，则m的值可以为（ ） A. B. C.－ D. － 5. 已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如右： 那么ω=（ ） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 6. 将函数的图像F向右平移个单位长度得到图像F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间(，)内的图像大致是（ ） A B C D 8. 为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 9. 把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数=Acos()的图像如图所示，，则=（ ） A. B. C.- D. 11. 函数是上的偶函数，则的值是（ ）A. B. C. D. 12. 若则（ ） A. B. C. D. 13. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 14. 在函数、、、中，最小正周期为的函数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15.的图像中相邻的两条对称轴间距离为 （ ） A．3π B． C． D． 16. 函数的一条对称轴方程（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1. 关于的函数有以下命题： ①对任意，都是非奇非偶函数；②不存在，使既是奇函数，又是偶函数； ③存在，使是偶函数；④对任意，都不是奇函数. 其中一个假命题的序号是 ，因为当 时，该命题的结论不成立. 2. 函数的最大值为________. 3. 若函数的最小正周期满足,则自然数的值为______. 4. 满足的的集合为_________________________________. 5. 若在区间上的最大值是，则=________. 6．若，则 . 7．函数的最小正周期为 ． 8．函数（为常数，） 在闭区间上的图像如右图所示，则= . 三、解答题 1. 已知函数 （1）求的最小正周期及对称中心；（2）若，求的最大值和最小值. 2. 已经函数 (Ⅰ)函数的图像可由函数的图像经过怎样的变化得出？ （Ⅱ）求函数的最小值，并求使取得最小值的的集合。