专业题材10函数的周期性与对称性2017年度原创精品之高级中学数学.doc

.\ I．题源探究黄金母题 例1 设， 求证：（1）；（2）. 【解析】（1） （2） 例2容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心。除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是? 你能用已学过的正弦函数性质解释上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题。 【解析】由周期函数的性质知，T=2π 所以对称中心为 ， 正弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 其对称轴方程纬。 对于余弦函数同样有类似的性质，因为cosA=sin(A+) 所以对称中心为，余弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 X=Kπ(K为整数) 正切函数同样有类似的性质，对称中心为(kπ/2,0)(K为 精彩解读 【试题来源】人教版A版必修一第44页A组第 8题 【母题评析】本题以为载体，考查函数奇偶性的证明、复合函数的运算问题，此类问题是高考常考的题型之一。 【思路方法】赋值法是解决复合函数、函数奇偶性的判断问题常用的解题方法之一，使用时要注意赋值的合理性。 精彩解读 【试题来源】人教版A版必修四第46页A组第 11题 【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点。 【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。 整数)但不是轴对称图形，而是中心对称图形。 例3 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求函数的周期； (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象； (3)你能写出函数y＝f(x)的解析式吗？ 考点：函数的图象,函数解析式的求解及常用方法 【解析】（1）从图象得知，x从0变化到1，函数经历个周期，即，故函数的周期T=2； （2）函数y=f（x+1）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f（x）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f（x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象： （3） 当-1≤x＜0时，f（x）=-x， 当0≤x＜1时，f（x）=x； 当2n-1≤x＜2n时，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x， 当2n≤x＜2n+1时，f（x）=f（x-2n）=x-2n， ∴（n为整数） 点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式，属于基础题． 精彩解读 【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第 3题 【母题评析】本题以y＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一。 【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”。 II．考场精彩真题回放 【例1】【2016年高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.，当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ） （A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2 【答案】D 【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D. 【例2】【2016高考新课标1卷】已知 为的零点,为 图像的对称轴,且在单调,则 的最大值为( ) （A）11（B）9（C）7（D）5 【答案】B 【解析】因为为的零点,为图像的对称轴,所以,即 ,所以,又因为在单调,所以,即,由此的最大值为9.故选B. 【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围.备考时应加强对这部分内容的训练. 【例3】【2016高考浙江理数】设函数 ，则的最小正周期（ ） A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 【答案】B 【解析】 ，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B． 【例4】【2016高考江苏卷】设是定义在上且周 期为2的函数，在区间上， (,若 ，则的值是 . 【答案】 【解析】 ，因此 【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力.这就要求学生对函数的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用。 分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. III．理论基础解题原理 考点一 函数的周期性 1.周期性：对任意的，都有，则叫做函数的周期. ①若，周期； ②若（相反），周期； ③若()（互倒），周期； ④若()（反倒），周期； ⑤若，周期； ⑥若，周期. 考点二 函数的称性 1.一个函数的对称关系：若函数满足，则关于直线对称，若函数满足，则关于直线对称。 2.两个函数的对称关系： 函数与函数的图像关于直线对称；（巧记：相等求） 函数与函数的图像关于点对称；（巧记：相等求） 考点三 周期与对称的关系： ①若的图像有两条对称轴和()，则为周期函数，为一个周期.（告知周期和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴.） ②若的图像有两个对称中心和 ()，则为周期函数，为一个周期.（告知周期和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心.） ③若的图像有一条对称轴和一个对称中心 ()，则为周期函数，为一个周期. 考点四、如何计算一般形式的周期和对称： 若()，则；（巧记：消去） 若，则的图像关于直线对称；（巧记：消去，相加除2） 若，则的图像关于点对称；（巧记：消去，相加除2） 若，则的图像关于点对称.（巧记：消去，相加除2，除2） IV．题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围.备考时应加强对这部分内容的训练. 【技能方法】 解决此类问题一般会在周期上设置障碍，要通过周期的定义或有关结论算出已知函数的周期，再进行求值等相关运算，若是抽象函数，要求能够熟练运用赋值法。函数对称性、周期性的考察，往往以三角函数为载体，考察其周期、对称轴、对称中心的求解，此类问题一般会在解析式上设置障碍，要求先对解析式进行化简变形，变形的过程就考察了三角函数的有关公式，化简常常借助辅助角公式把原函数解析式化为单一函数. 【易错指导】 （1）如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是； （2） 如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。 V．举一反三触类旁通 考向1 周期性与奇偶性相结合 【例1】【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= . 【答案】-2 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把和，利用奇偶性与周期性化为上的函数值即可． 考向2 对称性与单调性相结合 【例2】【2016河北衡水二调，理12】定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则．由，知，即，所 【例3】下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间上单调递增的是 （ ） （A） （B） （C） （D）[来源:学科网] 【答案】D. 【解析】对于，函数是关于原点对称且在和上单调递减；对于，函数是关于轴对称且在上单调递减；对于，函数无对称性且在上单调递增；对于，函数是关于对称且在上单调递增；故选. 考向3 周期性与命题的判断相结合 【例4】【2016高考上海理数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ） 、①和②均为真命题 、①和②均为假命题 、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】①不成立，可举反例, , 考向4 奇偶性、周期性与单调性 【例5】【2016黑龙江省大庆市调研】若偶函数对任意实数都有，且在上为单调递减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据f（x+2）=﹣f（x），判断函数为以4的周期函数，再通过周期性把分别转化成，进而根据函数在[﹣2，0]上单调递减进而得到答案．f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（x）是以4为周期的函数． f（x）在[-2，0]上单调递减， 故选：C 【例6】【2016浙江省高三联考】定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得函数的周期为2；由为偶函数且在上单调递增可得，函数在上单调递减.而，所以；因为 ，而，所以，因为 ，而，所以.综上，即.故选C. 考向5 周期性、对称性与单调性 【例7】【2016呼伦贝尔二模】已知函数满足，关于轴对称，当时，，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 考向6 三角函数与对称性、周期性相结合 【例8】【2016湖北咸宁】若函数的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,则＝________________； 【答案】3 【解析】∵函数f（x）的最大值为3,∴A+1=3,即A=2；∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,即,∴最小正周期T=π,∴ω=2,∴函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x-）+1； ． 【例9】【2016江苏无锡】将函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于轴对称,则的最小值是 【答案】 【解析】,所以向左平移个单位长度后变换为,由题意得因此的最小值是 【例10】 【2015天津卷文】已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ． 【解析】法一：因为的递增区间长度为半个周期,所以由在区间 解法二：由在区间内单调递增可得,当时， 恒成立,由,可得,且,解得,又函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,所以是的最大值,,由可得,