矩阵论在电气项目工程中的应用.doc

-/ 题 目: 矩阵论在电气工程中的应用 指导老师: xxx 学生姓名： xxx 所属院系： 电气工程学院 专 业： 电气工程 学 号： xxx 完成日期： 20xx年x月x日 矩阵论在电气工程中的应用 摘 要 电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。 关键词 ： 电路分析 矩阵法 网络拓扑 ABSTRACT： Circuit analysis is an essential ability of professional personnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit analysis calculation with the knowledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so we introduced matrix theory, combined with good support analysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of network topology in circuit, and to give the solution. KEY WORDS：circuit analysis；matrix method；network topology 0 前言 矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等方面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。当运行这些程序时，能迅速地得到较准确的计算结果。在电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析后形成线性方程组，求未知解是电路分析的一项基本技能。而求解线性方程组使用矩阵理论优势十分明显。 例如某电路网孔法求网孔电流ia，ib，ic，其中电阻供电电压为已知网孔方程为： （1） 上述方程（1），在求解过程中相对简单，但如果未知量继续增多，则利用初等代数方法求解线性方程组就比较困难，相当繁杂，借助矩阵理论可将方程式变换为如下矩阵形式 矩阵形式方程（2），可表述为为AI=BuS。（A表示方程组系数矩阵，I表示网孔电流列向量，BuS表示网孔电源列向量） 1、网络拓扑性质的矩阵表示 当电路结构比较简单时直接利用或网络的各种方法，列出必要的方程并不十分困难。但当电路结构比较复杂时，前述方法就显得很不适应。特别是如何在计算机上把输入的数据自动地转换为所需要的方程，就需要利用网络拓扑和矩阵代数的概念去完成这一任务。网络图论又称为网络拓扑学，适应用图的理论（教学领域的一个分支），对电路的结构及其连接性质进行分析和研究。 在网络分析中，列写网络方程的主要问题是如何正确地选择其独立变量，“网络图论”的基本概念为选取这种独立变量提供了理论依据。 网络图论的基本概念包括支路(btanch)，节点(node)，图(graph)，树(tree)，回路(loop)，割集(cut)等。在网络图论中，图所涉及的仅表明网络中各支路的联接情况，而不涉及元件的性质，即它只是用以表示网络的几何结构或拓扑结构的图形。 1.1关联矩阵 关联矩阵描述支路与节点的关联性质。 图1所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4，支路数b=5。 关联矩阵中行对应于节点，列对应于支路。取值1、-1表示支路与节点关联，并体现出流出或流入节点，取值0表示不关联。 其中KCL方程：AI=0;KVL方程：U=AV。其中A为关联矩阵；I为支路电流列向量；U为支路电压列向量；V为n-1个独立节点电压列向量。 图1 关联矩阵有向连通拓扑图图 图2 回路有向连通拓扑图 1．2 回路矩阵 回路矩阵：描述支路与回路的关联性质。具有独立回路如图2 所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4、支路数b=6；树支数n-1=3，连支数b-(n-1)=3。若选定支路b1、b2、b3 为树支，则b4、b5、b6 为连支。行对应一回路，列对应一支路。 1．3 割集矩阵 割集矩阵：描述支路与割集的关联性质。具有割集状态如图3 所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4、支路数b=6;树支数n-1=3，连支数b-(n-1)=3。若选定支路b1、b2、b3 为树支，则b4、b5、b6 为连支。基本割集为单树支割集如3 所示C1，C2，C3。 割集矩阵C 中行对应于基本割集， 列对应于支路。KCL：CI=0；KVL：U=CTUx。Ux 为割集电压列向量。 图3 割集矩阵有向拓扑图 图4 基本电路结构 1．4 A、B、C 与节点法、回路法的关系 根据关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵C 基本知识，分析图4 所示电路结构可得如下关系： （1）标准支路伏安关系： （2）矩阵支路伏安关系： （其中Yb 为支路导纳矩阵，等于阻抗的倒数） （3）支路电压与节点电压关系： （4）支路电流关系： （5）节点电压关系： （其中，） 2 利用节点法求解电路具体实例 图5 电路结构图 2.1 节点法求电路各支路电流、支路电压 （1）图5 所示左图为电路结构，右图为其拓扑图。选定地点作为参考点，对其余节点分别编号为①、②、③； （2）拓扑图支路分别编号为1、2、3、4、5 并按图中所示选定支路方向。 （3）列出相关矩阵。 （4）求解矩阵参数， （5）计算结果。 由此可知：①点电压为0.68V；②点电压为0.04V；③点电压为-0.48V。 2.2 利用MATLAB 实现计算机程序求解 A=［1 0 0 1 0；-1 1 1 0 0；0 -1 0 0 1］； Yb=［1 0 0 0 0；0 1 0 0 0；0 0 3 0 0；0 0 0 2 0；0 0 0 0 1］； Us=［0 0 0 -1 0］； Is=［0 0 0 0 -1］； Yn=A*Yb*A’； In=A*Is-A*Yb*Us； Un=inv（Yn）*In； 3 结束语 通过对电路的矩阵论分析，充分展现出了数学所发挥的优势。在实际应用当中，网络拓扑理论既达到了优化电路求解的目的，又实现了数学的学科转移，真正做到了学以致用。实践证明，基于矩阵的网络拓扑分析和电路求解的完美结合，使电路分析趋于简单。 参考文献 [1]周琰,周步祥,邢义. 基于邻接矩阵的图形化网络拓扑分析方法[J]. 电力系统保护与控制,2009,17:49-52+56. [2]许志海. 空间网络图的表示、量测与分析[D].解放军信息工程大学,2007. [3]姚玉斌,王丹,吴志良,徐维克. 方程求解法网络拓扑分析[J]. 电力自动化设备,2010,01:79-83. [4]叶爽利. 基于稀疏矩阵技术的网络拓扑分析[D].大连海事大学,2012. [5]姚玉斌,叶爽利,吴志良,王丹. 稀疏矩阵法网络拓扑分析[J]. 电力系统保护与控制,2011,23:1-5+10. [6]杨雄平. 电力系统网络拓扑结构分析及运行方式组合研究[D].华中科技大学,2007. [7]于锟. 网络拓扑分析算法的研究与设计[D].大连海事大学,2008. [8]鲁斌. 几类复杂网络度量性质和拓扑性质的研究[D].华南理工大学,2013. [9]张伟,周步祥. 基于有向支路的配电网络拓扑分析方法[J]. 电力系统自动化,2004,22:38-41+82.