2014中考数学分类汇编：圆的垂径定理.doc

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1、2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）. A. B. C. D. 答案：D考点:垂径定理与勾股定理.点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.2、(2013年黄石)如右图，在中，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为CADBA. B. C. D. 答案：C解析：由勾股定理得AB5，则sinA，作CEAD于E，则AEDE，在RtAEC中，sinA，即，所以，CE，AE，所以，AD3、(2013河南省)如图，CD是的直径，弦于点G，直线与相

2、切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】（A） （B） （C）ADBC （D）【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：，又因为，所以，即（B）一定正确。因为所对的弧是劣弧，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。【答案】C4、（2013泸州）已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm考点：垂径定理；勾股定理专题：分类讨论分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解答：解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=

3、OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键5、（2013广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）AcmB5cmC4cmDcm考点：垂径定理；勾股定理3718684分析：连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x3，根据勾股

4、定理即可求得x的值解答：解：连接AO，半径OD与弦AB互相垂直，AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x3，在RtACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x3）2，解得：x=，故半径为cm故选A点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般6、（2013绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A4mB5mC6mD8m考点：垂径定理的应用；勾股定理3718684分析：连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，

5、最后根据AB=2AD即可得出答案解答：解：连接OA，桥拱半径OC为5m，OA=5m，CD=8m，OD=85=3m，AD=4m，AB=2AD=24=8（m）；故选；D点评：此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理7、（2013温州）如图，在O中，OC弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）ABCD考点：垂径定理；勾股定理分析：根据垂径定理可得AC=BC=AB，在RtOBC中可求出OB解答：解：OC弦AB于点C，AC=BC=AB，在RtOBC中，OB=故选B点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容8、（2

6、013嘉兴）如图，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A2B8C2D2考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理专题：探究型分析：先根据垂径定理求出AC的长，设O的半径为r，则OC=r2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知ABE=90，在RtBCE中，根据勾股定理即可求出CE的长解答：解：O的半径OD弦AB于点C，AB=8，AC=AB=4，设O的半径为r，则OC=r2，在RtAOC中，AC=4，OC=r2，OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r2）2，解得r=5，AE=2r=10，连接BE，AE是O

7、的直径，ABE=90，在RtABE中，AE=10，AB=8，BE=6，在RtBCE中，BE=6，BC=4，CE=2故选D点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键9、（2013莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）ABCD考点：圆锥的计算分析：过O点作OCAB，垂足为D，交O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求A=30，同理可得B=30，在AOB中，由内角和定理求AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用

8、勾股定理求得其高即可解答：解：过O点作OCAB，垂足为D，交O于点C，由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在RtAOD中，A=30，同理可得B=30，在AOB中，由内角和定理，得AOB=180AB=120弧AB的长为=2设围成的圆锥的底面半径为r，则2r=2r=1cm圆锥的高为=2故选A点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断关键是由折叠的性质得出含30的直角三角形10、（2013徐州）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P若CD=8，OP=3，则O的半径为（）A10B8C5D3考点：垂径定理；勾股定理专题：探究型分析：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根

9、据勾股定理即可得出OC的长解答：解：连接OC，CDAB，CD=8，PC=CD=8=4，在RtOCP中，PC=4，OP=3，OC=5故选C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4 B. 5 C. 6 D. 812、（2013宜昌）如图，DC 是O直径，弦ABCD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）ABAF=BFCOF=CFDDBC=90考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理分析：根据垂径定理可判断A、B，

10、根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案解答：解：DC是O直径，弦ABCD于F，点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；X Kb1. Co mD、DBC=90，正确，故本选项错误；故选C点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般13、（2013毕节地区）如图在O中，弦AB=8，OCAB，垂足为C，且OC=3，则O的半径（）A5B10C8D6考点：垂径定理；勾股定理专题：探究型分析：连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在RtOB

11、C中利用勾股定理即可得出OB的长度解答：解：连接OB，OCAB，AB=8，BC=AB=8=4，在RtOBC中，OB=故选A点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键14、（2013南宁）如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，BAC=BOD，则O的半径为（）A4B5C4D3考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理3718684专题：探究型分析：先根据BAC=BOD可得出=，故可得出ABCD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论解答：解：BAC=BOD，=，ABCD，AE=CD=8，DE=CD=4，设OD=r，则OE=AEr

12、=8r，在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8r，OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8r）2，解得r=5故选B点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.D.分析：过点O作ODAB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在RtBOD中，利用勾股定理即可得出OD的长解：如图所示：过点O作ODAB于点D，OB=3，AB=3，ODAB，BD=AB=4=2，在RtBOD中，OD=故选C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，

13、利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A3cmB4cmC5cmD6cm考点：垂径定理的应用；勾股定理分析：过点O作ODAB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，利用勾股定理即可求r的值解答：解：如图所示：过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，AD=AB=8=4cm，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r2）2+42，解得r=5cm故选C点评：

14、本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键17、（2013内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx3k+4与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24考点：一次函数综合题分析：根据直线y=kx3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案解答：解：直线y=kx3k+4必过点D（3，4），最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，点D的坐标是（3，4），OD=5，以原点

15、O为圆心的圆过点A（13，0），圆的半径为13，OB=13，BD=12，BC的长的最小值为24；故答案为：24点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）A、当弦PB最长时，APC是等腰三角形。 B、当APC是等腰三角形时，POAC。C、当POAC时，ACP=300. D、当ACP=300，PBC是直角三角形。19、（2013宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的

16、面积和为10考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系专题：综合题分析：根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得BOD=90，BOD=90，过点O作OFBC于点F，OGCD于点G，在四边形OFCG中可得FCD=135，过点C作CNOF，交OG于点N，判断CNG、OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在RtOGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可解答：解：弦AB=BC，弦CD=DE，点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，BOD=90，过点O作OFBC于点F，OGCD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，FOG=45，在四边形OFCG中，

17、FCD=135，过点C作CNOF，交OG于点N，则FCN=90，NCG=13590=45，CNG为等腰三角形，CG=NG=2，过点N作NMOF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，OG=ON+NG=6，在RtOGD中，OD=2，即圆O的半径为2，故S阴影=S扇形OBD=10故答案为：10点评：本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大20、（2013宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm考点：垂径定理；勾股定理3718684分析：

18、通过作辅助线，过点O作ODAB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长解答：解：过点O作ODAB交AB于点D，OA=2OD=2cm，AD=cm，ODAB，AB=2AD=cm点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用21、（2013包头）如图，点A、B、C、D在O上，OBAC，若BOC=56，则ADB=28度考点：圆周角定理；垂径定理3718684分析：根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得ADB=BOC，继而得出答案解答：解：OBAC，=，ADB=BOC=28故答案为：28点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同

19、弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半22、（2013株洲）如图AB是O的直径，BAC=42，点D是弦AC的中点，则DOC的度数是48度考点：垂径定理分析：根据点D是弦AC的中点，得到ODAC，然后根据DOC=DOA即可求得答案解答：解：AB是O的直径，OA=OCA=42ACO=A=42D为AC的中点，ODAC，DOC=90DCO=9042=48故答案为：48点评：本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线23、（2013黄冈）如图，M是CD的中点，EMCD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 考点：垂径定理；勾股定理3481324专题：探究型分析：首先连接O

20、C，由M是CD的中点，EMCD，可得EM过O的圆心点O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：（8x）2+22=x2，解此方程即可求得答案解答：解：连接OC，M是CD的中点，EMCD，EM过O的圆心点O，设半径为x，CD=4，EM=8，CM=CD=2，OM=8OE=8x，在RtOEM中，OM2+CM2=OC2，即（8x）2+22=x2，解得：x=所在圆的半径为：故答案为：点评：此题考查了垂径定理以及勾股定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用24、（2013绥化）如图，在O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若O的半径为2，则弦AB的长为2考点：垂径定理；勾

21、股定理专题：计算题分析：连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长解答：解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=1，OCAB，D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=2故答案为：2点评：此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与O相切于点A，AC、CD是O的两条弦，且CDAB，若O 的半径为，CD=4，则弦AC的长为 考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。分析：本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅

22、助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。解答：连接OA,作OECD于E,易得OAAB,CE=DE=2，由于CDAB得EOA三点共线，连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=26、（2013张家界）如图，O的直径AB与弦CD垂直，且BAC=40，则BOD=80考点：圆周角定理；垂径定理3718684分析：根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得BOD=2BAC，继而得出答案解答：解：，O的直径AB与弦CD垂直，=，BOD=2BAC=80故答案为：80点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条

23、弧所对的圆心角的一半27、（2013遵义）如图，OC是O的半径，AB是弦，且OCAB，点P在O上，APC=26，则BOC=52度考点：圆周角定理；垂径定理3718684分析：由OC是O的半径，AB是弦，且OCAB，根据垂径定理的即可求得：=，又由圆周角定理，即可求得答案解答：解：OC是O的半径，AB是弦，且OCAB，=，BOC=2APC=226=52故答案为：52点评：此题考查了垂径定理与圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用28CABCGHEF第16题图、（2013陕西）如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、

24、H两点，若O的半径为7，则GE+FH的最大值为 考点：此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接OA，OB，因为ACB=30，所以AOB=60，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，所以EF=3.5，因为GE+FH=GHEF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.529、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象

25、限，与轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），的半径为，则点P的坐标为 _.分析：过点P作PDx轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案解：过点P作PDx轴于点D，连接OP，A（6，0），PDOA，OD=OA=3，在RtOPD中，OP=，OD=3，PD=2，P（3，2）故答案为：（3，2）点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.

26、4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。解析：（2013白银）如图，在O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E（1）若OC=5，AB=8，求tanBAC；（2）若DAC=BAC，且点D在O的外部，判断直线AD与O的位置关系，并加以证明考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理专题：计算题分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在RtAEC中根据正切的定义可得到tanBAC的值；（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到AOC=2BA

27、C，由于DAC=BAC，所以AOC=BAD，利用AOC+OAE=90即可得到BAD+OAE=90，然后根据切线的判定方法得AD为O的切线解答：解：（1）半径OC垂直于弦AB，AE=BE=AB=4，在RtOAE中，OA=5，AE=4，OE=3，EC=OCOE=53=2，在RtAEC中，AE=4，EC=2，tanBAC=；（2）AD与O相切理由如下：半径OC垂直于弦AB，AC弧=BC弧，AOC=2BAC，DAC=BAC，AOC=BAD，AOC+OAE=90，BAD+OAE=90，OAAD，AD为O的切线点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了勾股定理以及垂

28、径定理、圆周角定理31、（2013黔西南州）如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义专题：几何综合题分析：（1）要证明CBPD，可以求得1=P，根据=可以确定C=P，又知1=C，即可得1=P；（2）根据题意可知P=CAB，则sinCAB=，即=，所以可以求得圆的直径解答：（1）证明：C=P又1=C1=PCBPD；（2）解：连接ACAB为O的直径，ACB=90又CDAB，=，P=CAB，sinCAB=，即=，又知，BC=3，AB=5，直径为5点评：本题考查的

29、是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键32、（2013恩施州）如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30，CF=2，求GA的长考点：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质3718684专题：证明题分析：（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OCAE，而CGAE，所以CGOC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得ACB=90，B

30、=1，而CDAB，则CDB=90，根据等角的余角相等得到B=2，所以1=2，于是得到AF=CF；（3）在RtADF中，由于DAF=30，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AFCG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可解答：（1）证明：连结OC，如图，C是劣弧AE的中点，OCAE，CGAE，CGOC，CG是O的切线；（2）证明：连结AC、BC，AB是O的直径，ACB=90，2+BCD=90，而CDAB，B+BCD=90，B=2，AC弧=CE弧，1=B，1=2，AF=CF；（3）解：在RtADF中，D

31、AF=30，FA=FC=2，DF=AF=1，AD=DF=，AFCG，DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，AG=2点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定33、（2013资阳）在O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC=25，请直接写出DCA的度数考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）分析：（1）过点O作OEAC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再

32、根据翻折的性质可得OE=r，然后在RtAOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出ACB，根据直角三角形两锐角互余求出B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解解答：解：（1）如图，过点O作OEAC于E，则AE=AC=2=1，翻折后点D与圆心O重合，OE=r，在RtAOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=；（2）连接BC，AB是直径，ACB=90，BAC=25，B=90BAC=9025=65，根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，DCA=BA=6525=40点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键