正弦定理、余弦定理及其应用.doc

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1、正弦定理、余弦定理及其应用考试要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形一、求解斜三角形中的根本元素是指两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等根本问题例1 中，BC3，那么的周长为 A BC D分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出bc，那么周长为3bc而得到结果 解：由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B)故三角形的周长为：3bc，应选(D)评注：由于此题是选择题也可取ABC为直角三角形时，即B，周长应为33，故排除(A)、(B)、(C)而选(D)例2(全国高考湖北卷) 在ABC中，AC边上的中线BD=，求s

2、inA的值分析：此题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：设E为BC的中点，连接DE，那么DE/AB，且，设BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，舍去故BC=2，从而，即又，故，二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例3 在中，那么一定是 A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB应选(B)解法2：由题意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，应选(B)评注：判断三角形形状，通常

3、用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法1)，统一化为边，再判断(如解法2)三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例4 在中，假设，那么的面积S_分析：此题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式SABACsinA即可解决解：由余弦定理，得cosA，解得AC3 SABACsinA ABACsinAACh，得hAB sinA，应选(A)四、求值问题例5 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值分析：此题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B.由条件，应用正弦定理解得从而五、正余

4、弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：一.测量问题图1ABCD例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题。二.遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/

5、小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。假设此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西北南东ABC3015图2解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30北的方向上。 在ABC中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC直线AB，垂足为C，那么SC=15sin30=7.5。这说明航线离灯塔的距离为，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：1准确理解题意，分清与所求，尤其要理解应用题中

6、的有关名词和术语；2画出示意图，并将条件在图形中标出；3分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。三.追击问题图3ABC北4515例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，假设甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=1804515=120。根据余弦定理，4t332t+9=0，解得t=，t=舍AC=28=21 n mile

7、，BC=20=15 n mile。根据正弦定理，得，又=120，为锐角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏东arcsin的方向用h可以追上乙船。点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，此题中的 ABC、AB边，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇例6ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，b，c成等比数列， 求cotA+cotC的值； 设，求ac的值.分

8、析：此题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等解：由由b2=ac及正弦定理得 那么 由，得cacosB，由B，可得ac2，即b22 由余弦定理b2=a2+c22ac+cosB，得a2+c2=b2+2accosB=5. 易错题解析例题1在不等边ABC中，a为最大边，如果，求A的取值范围。错解：。那么，由于cosA在0，180上为减函数且又A为ABC的内角，0A90。为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。正解：由上面的解法，可得A90。又a为最大边，A60。因此得A的取值范围是60，90。例题2在ABC中，假设，试判断ABC的形状。错解

9、：由正弦定理，得即。2A2B，即AB。故ABC是等腰三角形。辨析：由，得2A2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得，2A或。或。故ABC为等腰三角形或直角三角形。例题3在ABC中，A60，b1，求的值。错解：A60，b1，又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由可得。由正弦定理，得。例题4在ABC中，C30，求ab的最大值。错解：C30，AB150，B150A。由正弦定理，得，又。故的最大值为。辨析：错因是未弄清A与150A之间的关系。这里A与150A是相互制约的，不

10、是相互独立的两个量，sinA与sin(150A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。正解：C30，AB150，B150A。由正弦定理，得因此ab的最大值为。例题5在ABC中，a2，b，C15，求A。错解：由余弦定理，得。又由正弦定理，得而。辨析：由题意，。因此A150正解：同上，。例题6在ABC中，判断ABC的形状。错解：在ABC中，由正弦定理得AB且AB90故ABC为等腰直角三角形。辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或、“且的意义，导致结论错误。正解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180，AB或AB90。故ABC为等腰三角形或直角三角形。例题7假设a，b，c是

11、三角形的三边长，证明长为的三条线段能构成锐角三角形。错解：不妨设，只要考虑最大边的对角为锐角即可。由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有，即。长为的三条线段能构成锐角三角形。辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：三条边满足三角形边长关系；最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。正解：由错解可得又即长为的三条线段能构成锐角三角形。高考试题展示1、06湖北卷假设的内角满足，那么A. B C D解：由sin2A2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinAcosA0，又，应选A2、06安徽卷如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，那么A

12、和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形解：的三个内角的余弦值均大于0，那么是锐角三角形，假设是锐角三角形，由，得，那么，所以是钝角三角形。应选D。3、06辽宁卷的三内角所对边的长分别为设向量,假设,那么角的大小为(A) (B) (C) (D) 【解析】，利用余弦定理可得，即，应选择答案B。【点评】此题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。4、06辽宁卷等腰的腰为底的2倍，那么顶角的正切值是 解：依题意，结合图形可得，故，选D5、06全国卷I的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a、b、

13、c成等比数列，且，那么A B C D解：中，a、b、c成等比数列，且，那么b=a，=，选B.6、06山东卷在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，那么c=(A) 1 B2 C1 D解：由正弦定理得sinB，又ab，所以AB，故B30，所以C90，故c2，选B7、06四川卷设分别是的三个内角所对的边，那么是的A充要条件 B充分而不必要条件C必要而充分条件 D既不充分又不必要条件解析：设分别是的三个内角所对的边，假设，那么，那么， ，又， ， ，假设ABC中，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，所以是的充要条件，选A. 8、06北京卷在中，假设，那么的大小是_.解：

14、a:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小为.9、06湖北卷在ABC中，b4，A30，那么sinB .解：由正弦定理易得结论sinB。10、06江苏卷在ABC中，BC12，A60，B45，那么AC【思路点拨】此题主要考查解三角形的根本知识【正确解答】由正弦定理得，解得【解后反思】解三角形：两角及任一边运用正弦定理，两边及其夹角运用余弦定理11、06全国IIABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，那么边BC上的中线AD的长为 解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得。此

15、题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。12、06上海春在中，三角形面积为12，那么 .解：由三角形面积公式，得，即于是从而应填BDCA图313、06湖南卷如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.1证明 ;2假设AC=DC,求的值.解：(1)如图3， 即2在中，由正弦定理得由(1)得，即14、06江西卷在锐角中，角所对的边分别为，1求的值；2假设，求的值解：1因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，那么2，那么bc3。将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 15、06江西卷如图，ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC

16、上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（1） 试将AGM、AGN的面积分别记为S1与S2表示为a的函数2求y的最大值与最小值解：1因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG，MAG，由正弦定理得那么S1GMGAsina，同理可求得S2（2） y723cot2a，因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin21616、06全国卷I的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。.解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 当s

17、in = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为17、06全国II在,求1(2)假设点解：1由由正弦定理知2， 由余弦定理知18、06四川卷是三角形三内角，向量，且求角；假设，求解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。 即, 由题知，整理得 或而使，舍去 19、06天津卷如图，在中，1求的值；2求的值. 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等根底知识，考察根本运算能力及分析解决问题的能力.总分值12分.解： 由余弦定理， 那么，解：由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，

18、且，故. 20、07重庆理5在中，那么BC = A. B. C.2 D.【答案】：A【分析】：由正弦定理得： 21、07北京文12理11在中，假设，那么解析：在中，假设， A 为锐角，那么根据正弦定理=。22、07湖南理12在中，角所对的边分别为，假设，b=，那么 【答案】【解析】由正弦定理得，所以23、07湖南文12 在中，角A、B、C所对的边分别为，假设，那么A=.【解析】由正弦定理得，所以A=24、07重庆文13在ABC中，AB=1,BC=2,B=60，那么AC。【答案】：【分析】：由余弦定理得：24、07北京文理13在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为根底设计

19、的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，那么， 两条直角边的长分别为3，4，设直角三角形中较小的锐角为，cos=，cos2=2cos21=。25、07福建理17在中，求角的大小；假设最大边的边长为，求最小边的边长本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的根本知识以及推理和运算能力，总分值12分解：，又，边最大，即又，角最小，边为最小边由且，得由得：

20、所以，最小边26、07广东理16顶点的直角坐标分别为，1假设，求的值；2假设是钝角，求的取值范围解析： 1，假设c=5， 那么，sinA；2假设A为钝角，那么解得，c的取值范围是；27、07海南宁夏理17如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高解：在中，由正弦定理得所以在中，28、07湖北理16的面积为，且满足，设和的夹角为I求的取值范围；II求函数的最大值与最小值本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等根本知识，考查推理和运算能力解：设中角的对边分别为，那么由，可得，即当时，；当时，29、07全国卷

21、1理17设锐角三角形的内角的对边分别为，求的大小；求的取值范围解：由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得由为锐角三角形知，所以由此有，所以，的取值范围为30、07全国卷2理17在中，内角，边设内角，周长为1求函数的解析式和定义域；2求的最大值解：1的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，2因为 ，所以，当，即时，取得最大值31、07山东理20如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？北甲乙解法一：

22、如图，连结，由，又，是等边三角形，由，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里解法二：如图，连结，由，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里32、07山东文17在中，角的对边分别为1求；2假设，且，求解：1又解得，是锐角2，又33、07上海理17在中，分别是三个内角的对边假设，求的面积解： 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 34、07天津文17在中，求的值；求的值本小题考查同角三角函数的根本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查根本运算能力总分值12分解：在中，由正弦定理，所以解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，35、07浙江理18的周长为，且I求边的长；II假设的面积为，求角的度数解：I由题意及正弦定理，得，两式相减，得II由的面积，得，由余弦定理，得，所以36、07天津文理15 如图，在中，是边上一点，那么.【答案】【分析】法一：由余弦定理得可得，又夹角大小为，所以.法二：根据向量的加减法法那么有:,此时.