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考点梳理
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝.
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
② 如果B和C是两互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
考点自测
1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．
A. B. C. D.
解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
答案 A
2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．
A. B. C. D.
解析 所求概率P＝C13－1＝.
答案 A
3．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )．
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
解析 P＝0.9[1－(1－0.8)2]＝0.864.
答案 B
4．如果X～B，则使P(X＝k)取最大值的k值为( )．
A．3 B．4 C．5 D．3或4
解析 采取特殊值法．
∵P(X＝3)＝C312，P(X＝4)＝C411，P(X＝5)＝C510，
从而易知P(X＝3)＝P(X＝4)>P(X＝5)．
答案 D
5．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于( )．
A. B. C. D.
解析 法一 P(B|A)＝＝＝.
法二 A包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件为{正，正}，因此P(B|A)＝.
答案 A
考向一 条件概率
【例1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )．
A. B. C. D.
解析 P(A)＝＝＝，P(A∩B)＝＝.
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.
答案 B
【训练1】如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.
解析 圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝，根据条件概率的公式得P(B|A)＝＝＝.
答案
考向二 独立事件的概率
【例2】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解 (1)设“购买甲种保险”事件为A，“购买乙种保险”事件为B
由已知条件P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，
∴P(B)P()＝0.3，P(B)＝＝0.6，
因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为1－P( )＝1－P()P()
＝1－(1－0.5)(1－0.6)
＝0.8.
(2)一位车主两种保险都不购买的概率为P＝P( )＝0.2，
因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
C0.20.82＝0.384.
【训练2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
解 (1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.60.50.5＋0.60.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.55.
(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知F，E，D是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P()＝0.40.50.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(F)＋P(E)＋P(D)
＝0.40.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.35，
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.60.50.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
因此E(ξ)＝00.1＋10.35＋20.4＋30.15＝1.6.
考向三 独立重复试验与二项分布
【例3】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B.
所以X的分布列为
P(X＝k)＝Ck6－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.
(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.
其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．
P(Y＝k)＝k(k＝0,1,2,3,4,5)，
而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．
故其概率为P(Y＝6)＝6，
因此Y的分布列为：
Y
0
1
2
3
P
2
3
Y
4
5
6
P
4
5
6
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为
{X≥1}＝{X＝1或X＝2或…或X＝6}，
所以其概率为
P(X≥1)＝(X＝k)＝1－P(X＝0)
＝1－6＝.
【训练3】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．
解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.
所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P( )＝P()P()＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1.
∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布X～B(3,0.9)，
P(X＝k)＝C0.9k0.13－k，k＝0,1,2,3，
∴X的分布列是
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
课堂练习
一、选择题
1．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )．
A. B. C. D.
解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
答案 B
2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )．
A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88
解析 由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.
∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.
答案 D
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )．
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
解析 设事件A发生的概率为p，则Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.
答案 A
4．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则( )．
A．p1＝p2 B．p1
p2 D．以上三种情况都有可能
解析 p1＝1－10＝1－10
＝1－5，
p2＝1－5＝1－5
则p1
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