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/. 五年级暑期 第一讲 分数的乘除 1. 定义： 把单位 "1" 平均分成若干份，取其中的一份或几份，可以用分数表示。 其中的一份叫做 分数单位。 例： 4 =〉取其中的几份 7 =〉平均分成几份 三要素： 单位 "1" 量 表示大小、轻重、多少，大多数有单位。 率 表示两个数之间的关系，没有单位。 如：倍、份 对于分数、%(百分比)、比例的解题方法：列表格。 例： 部分 1 部分 2 全体 5 4 9 例： 男生比女生多1/4，女生比男生少多少？ 男 女 全体 4+1 4 9 女生比男生少 1/5。 2. 分数： 真分数：分子 < 分母 假分数：分子 >= 分母 带分数：整数(商) + 分数 (分子为余数) 3. 分数与除法： 被除数 除数 商 分子 分母 分数值 4. 最简分数：分子与分母互质 互质：两个数只有公因数 1 ，叫做这个两个数互质。 类型：相邻的两个整数互质； 相邻的两个奇数互质； 两个不等的质数互质。 5. 分数的基本性质 与除法的商不变性质相同。 分子、分母同时 缩小 相同的倍数，分数值不变。 =〉约分 分子、分母同时扩大 相同的倍数，分数值不变。 =〉通分 约分可分为：整体约分 和 连锁约分。 6. 分数的乘除计算： 乘法：分子 分子 分母 分母 化带为假，先约分，再计算。 除法：除以一个数等于乘这个数的倒数。 五年级暑期 第二讲 分数的加减 1. 通分：分子、分母同时扩大相同的倍数。 应用：比较大小 例：2/7 与 3/11 同分母：22/77 〉21/77 同分子：6/21 〉6/22 通分的三种情况： 一：两个分数分母互质。 二：两个分数分母不互质。 三：两个分数分母成倍数关系。 2. 同分母分数计算：分母不变，分子相加减。 3. 异分母分数计算：通分，转异为同。 4. 混合运算： 分数的四则运算； 分(数)小(数)混合运算； 分(数)小(数)四则混合运算; 质因数：因数中的质数部分。 分母中只包含质因数 2 和 5 的分数可以化为有限小数，否则只能为无限小数。 重点：约分、裂项 (裂和、裂差) 五年级暑期 第三讲 棋盘中的数学 棋盘是解决问“能否”问题的，是需要证明的。 此外，通过数的奇偶性，也可以解决“能否”问题。 1. 黑白交替染色 染色 位置问题 找矛盾：黑白数量、奇偶性是否一致 路线问题 杂题 覆盖 12的小格子 找矛盾：小图形与大图形黑白数量、奇偶性是否一致 T字形小格子 例6：(黑白交替染色) 染色后，黑色相邻的为白色，白色相邻的为黑色，交换座位即：黑→白，白→黑，所以如果符合要求黑色必须等于白色，利用这个规律找矛盾。 需要 染色 白→黑 黑→白 黑＝白 18黑≠17白 有矛盾 ∴否 (不能完全交换) 例5： (黑白交替染色) ③ 按照规律只能：黑→白→黑 …，所以奇数步为黑色，偶数步为白色。最后一个房间为第27步，应为黑色，而且出口也为黑色，所以不存在矛盾。由于是立体图形，可以采取切片法，分层来考虑。 1 2 3 4 … 27 走： 黑 白 黑 白 … 黑 无矛盾 染： 黑 黑 ∴可以 例1：(黑白交替染色) ② 分析小图形 大(图一) 大(图二) 大(图三) 1个：1黑1白 7个：7黑7白 7黑7白 8黑6白 8黑6白 无矛盾 有矛盾 有矛盾 ∴能 ∴不能 ∴不能 对于 (3黑1白) 和 (1黑3白) 黑白数量是不同的，使得无法通过黑白的数量进行判断，但是发现黑白的数量都是奇数，所以可以小图形和大图形黑白数量的奇偶性来判断。一个T字型染色为奇黑奇白，通过计算所有小图形的奇偶性来与大图形的奇偶性进行比较，从中查找是否矛盾。 对于小图形，设法制造奇黑奇白，其目的是与偶黑偶白制造矛盾。 例3 小图形 大图形 其他：偶黑偶白 ：奇黑奇白 奇黑奇白 偶黑偶白 有矛盾 ∴不能 2. 条形染色 (斑马染色) 主要用于：1黑1白、2黑1白、3黑1白，制造奇黑奇白。 图形： 保证该图形始终是3黑1白。 3. 混换染色 图形： 通过计算各个数字的个数，来查找矛盾。 4. 大方格染色 图形： 保证该图形始终是1黑3白。 5. 牙齿染色 该染色不同之处在于，大图形是奇黑奇白，通过多个小图形的和，得到偶黑偶白，从而查找矛盾。 注：所有染色的目的都是查找 奇黑奇白 和 偶黑偶白 之间存在的矛盾 6. 阶梯型标数法 要求：有先后限制，有大小(数量)限制，两个限制缺一不可，限制方用 ─，受限方用│表示。 例：有4个不同的脏碗上下摞在一起，甲洗碗，乙擦碗，问干净的碗有多少种摞法？ 14 分析：首先甲乙有先后的限制，甲先乙后，而且有数量的限制，乙的数量不可能超过甲，所以要有阶梯型标数法。 5 9 5 4 3 2 1 2 1 1 1 1 1 例：10人去公园，其中5人只有50元，另5人只有100元，公园门票50元，而且售票处开始时没有钱，问共有多少种买票的方法？ 分析：有100元钱的人受50元钱的人的限制，100元钱的人不可能多余50元钱的人，所以用阶梯型标数法。 425！5！ 五年级暑期 第四讲 枚举法进阶 1. 有序 从小到大 2. 分类 3. 板书 例4： 设△三边为a、b、c(由大到小)，则a＋b＞c，c－b＜a。 由 c－b＜a，可知c－b＜2、3、4。 a b c a b c b c a b c b c b c a b c b c a b c 2 3 4 3 4 5 4 6 4 5 6 5 7 5 8 5 6 7 6 8 6 7 8 4 5 5 6 5 7 6 7 6 8 7 8 5 6 6 7 6 8 7 8 6 7 7 8 7 8 例6： 飞飞必须站中间，所以2、5是等同的，3、4是等同的。 飞飞在2 (5) 位， 盛、东：1 3、1 4、1 5、1 6、3 5、3 6、4 6 剩下三人：6种 总共：7226 飞飞在3 (4) 位， 盛、东：1 4、1 5、1 6、2 4、2 5、2 6、4 6 剩下三人：6种 总共：7226 拓展： 5个药瓶，其中三个帖错了标签，问共有多少种错误方法？ C52(两个帖对的)2(全帖错) 五年级暑期 第五讲 排列组合初步 排列 组合 理解 都是不同元素 有序 交换位置后结果不一样。 关键在排 (先选再排) 全排列A55=5！阶乘 超过10的阶乘不用计算。 无序 交换位置结果一致，或本身不能交换位置。 关键在选 (只选不排) 计算 Anm = n(n-1)...(n-m+1) n! = 123... n n!(n+1) = (n+1)! 0! = 1 Cnm = Anmm! Cnm = Cnn-m Cn0 = Cnn = 1 Cn0＋Cn1＋Cn2＋...＋Cnn = 2n 应用： 1. 判断 有序(A) 或 无序(C) 2. 方法：捆绑法、插空法、挡板法、直排法 ... 3. 从 ... 中选 ... 个 例：11！＋ 22！＋ 33！＋ 44！＋ ... ＋ 20142014! =(2-1)1！＋ (3-1)2！＋ (4-1)3！＋ (5-1)4！＋ ... ＋ (2015-1)2014! =2!－1! ＋3! －2! ＋4! －3! ＋ ... ＋2015! －2014! =2015! －1 拓展：8人前后站两排，后面的人比前面的高，问有多少种排法。 五年级暑期 第五讲 质数与合数 1：既不是质数，也不是合数。 质数：只能分解成1和它本身2个因数。 合数：至少有3个因数。 2：偶质数、最小的质数。 明星质数：2、3、5 合数：分解质因数 → 短除法 (除数为质数)。 把合数分解成质数相乘的形式。 2 180 180 = 22335 = 223251 2 90 5 45 3 9 3 应用：