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/. 中考数学专题复习 相似图形 【基础知识回顾】 一、 成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们 的比，即：= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果= 那么四条线段叫做同比例线段，简称 3、比例的基本性质：=<＝> 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关 即比值没有单位。】 二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边 ⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于 1、 判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似 ⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似 ⑶两角 的两三角形相似 ⑷三组对应边的比 的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角 对应边 ⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、 位似： 1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】 【典型例题解析】 考点一：比例线段 例1 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号） 考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值； 过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值． 点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解． 对应训练 2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　） A． B． C． D． 考点二：相似三角形的性质及其应用 例2 已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 9：1 ． 对应训练 2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 8 ． 考点三：相似三角形的判定方法及其应用 例3 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 考点：相似三角形的判定；正方形的性质． 例4（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）； （2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB； 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质． 对应训练 3.如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理． 4. 在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 专题：几何综合题． 分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数； （2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积； （3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值． 解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45，..…（2分） ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45+45=90． （2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1， ∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1， ∴∠ABA1=∠CBC1， ∴△ABA1∽△CBC1． ∴， ∵S△ABA1=4， ∴S△CBC1=； （3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上， 在Rt△BCD中，BD=BCsin45=， 当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2； ②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7． 点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系． 考点四：位似 例5 如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（　　） A． B． C． D． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的 对应训练 5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　） A．（，0） B．（ C． D． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 【聚焦中考】 1．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　） A． B． C． D．2 考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）． 2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（　　） A．（-2，3） B．（2，-3） C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3） 考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质． 3.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是（　　） A． B． C． D． 考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质． 4.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组F 考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用． 5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 （3，4）或（0，4） ． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）． 考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定． 【备考真题过关】 一、选择题 1．已知 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　） A． B． C． D． 考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质． 4．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（　　） A．FG B．FH C．EH D．EF 考点：相似图形． 5.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（　　） A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL 6.下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A． B． C． D． 7.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D． 考点：相似三角形的判定． 8．如图，在△ABC中，EF∥BC， ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（　　） A．9 B．10 C．12 D．13 考点：相似三角形的判定与性质． 9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　） A． B． C． D． 考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理． 10．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点O D．点P 11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（　　） A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1） 考点：位似变换；坐标与图形性质． 二、填空题 14.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2． 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质． 15.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 。 考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 16.如图，E是▱ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4， ，则CF的长为 2 ． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 17.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 2 ． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义． 18．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 12 m． 19.如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 3.42 米． 考点：相似三角形的应用． 20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5 m． 考点：相似三角形的应用． 21.如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 12 ． 考点：位似变换． 三、解答题 22．己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G． （1）求证：BE=DF； （2）当 时，求证：四边形BEFG是平行四边形． 考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质． 23．如图，在△ABC中，∠C=90，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E． 求证：△ABC∽△MED． 考点：相似三角形的判定． 24．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O． （1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM的长度． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质． 25.如图，在△ABC中，∠C=90，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒． （1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？ （2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值． 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．