七年级数学上册平面图形及其位置关系学习知识汇总.doc

/. 第四章 平面图形及其位置关系 一、基础知识梳理 （一）主要概念 1．线段、射线、直线 （1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段． 线段的特点：是直的，它有两个端点． （2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线． 射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸． （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论： （1）因为AM=BM=AB，所以M是线段AB的中点． （2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=AB或AB=2AM=2BM． 3．角 由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边． 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．平行线 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 平行的关系是相互的，如果AB∥CD，则CD∥AB，其中符号“∥”读作“平行”． 6．两条直线垂直 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，如直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD． 7．两点之间的距离 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 8．点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （二）主要性质 1．直线的性质 经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”． 2．线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短． 3．与平行线有关的一些性质 （1）平行公理． 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理的推论． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 4．垂线性质 （1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 二、典型例题 1．考查学生发现问题、解决问题的能力． 【例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（ ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）． 2．线段长度的计算，线段的中点 【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ） 3．角的度量与换算 【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（ ） A．70 B．75 C．85 D．90 4．七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆． 【例5】（2002年济南）如图1，用一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF于G，交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（ ）． （1） （2） A．8 B．6 C．4 D．5 三、解题方法与技巧 方法1：见比设元 【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长． 【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法． 【解】∵AB：BC：CD=2：4：3 ∴设AB=2K BC=4K CD=3K ∴AD=3K+2K+4K=9K ∵CD=9 ∴3K=9 ∴K=3 ∴AB=6 BC=12 AD=27 ∵M为AD中点， ∴MD= AD=27=13.5 ∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5 【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数． 方法2：利用线段的和差判断三点共线 【例2】判断以下三点A、B、C是否共线． （1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm； （2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm． 【解】（1）∵AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm， ∴AB=AC+CB ∴A、C、B三点在同一条直线上 （2）∵AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm， ∴AB≠AC+CB ∴A、C、B三点不共线 方法3：寻找规律 （一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n点一共可画条直线． （二）数n个人两两握手能握次． （三）数线段条数：线段上有n个点（包括线段两个端点）时，共有条线段． （四）数角的个数：以0为端点引n条射线，当∠AOD<180时，则（如图）小于平角的角个数为． （五）数交点个数：n条直线最多有个交点． （六）数对顶角对数：n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角． （七）数直线分平面的份数：平面内n条直线最多将平面分成1+个部分． 【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ） A．1条 B．4条 C．6条 D．1条或4条或6条 【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼． 【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；……若用n表示切的刀数，饼被最多分成S部分．则：n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11． 【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知： n=1时 S=1+1 n=2时 S=1+1+2 n=3时 S=1+1+2+3 n=4时 S=1+1+2+3+4 …… 则S=1+1+2+3+4+…+n=1+ ∴当n=7时，S=1+=29 答：当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼． 【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题． 方法4：钟表问题 【例5】钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合． 【分析】分针1分钟走（）=6，时针1分钟走（）=0.5（分针1小时走一圈，即60分钟走360，时针1小时走一格，即60分钟走30）．因此，分针速度是时针速度的12倍，故设分针走12x，时针走x时时针与分针首次重合，因为从1点整到1点15，分针走一圈的，此时时针走一格的，因此1点15分时时针与分针夹角（1+）30=52.5．列方程可求解． 【解】设时针走x时，时针与分针首次重合． 依题意，得： 12x-x=360-（30） 解得： x=， ∴12x==335 答：分针再转335度，时针与分针首次重合． 方法5：最优策略问题 直线上有两点（如图）A1和A2，要在直线上找一点P，使A1、A2到P的距离之和最小，则P点可放在A1、A2之间任意位置（包括A1和A2）．此时PA1+PA2=A1A2． 直线上有三点A1、A2、A3（如图）．要找到一点P，使PA1+PA2+PA3的和最小． 不妨设P在A1、A2之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2； 若P在A2、A3之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2； 若P在A1上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A1A2； 若P在A2上，则PA1+PA2+PA3=A1A3． 若P在A3上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A2+A3 结论：当P选在A2点时PA2+PA2+PA3的和最小，其最小值为A1A3． 不难发现，当直线上有四个点时，如图所示．P点选在A2A3上（包括端点）．可使P到A1、A2、A3、A4的距离之和最小．其最小值为A1A4+A2A3． 当直线上有五个点时，如图所示P点选在A3上，可使P到A1、A2、A3、A4、A5的距离之和最小，其最小值为A1A5+A2A4． 【规律总结】当直线上有偶数个点时，P应选在最中间两点之间（可与这两点重合）；当直线上有奇数个点时，P点与最中间的点重合，可使P到各点距离之和最小． 四、中考试题归类解析 （一）线段，角 【例1】（2003，青海），如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（ ） A．CD=AC-DB B．CD=AD-BC C．CD=AB-BD D．CD=AB 【例2】（2004，黑龙江）一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（ ） A．45 B．60 C．75 D．80 （二）平行 【例1】（2003，安徽）如图，已知AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2004，安徽）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80，∠CDE=140，则∠BCD=_______． 五、中考试题集萃 一、填空题 1．（2003年，青海）如图1，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经过两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ=________度． 2．（2003，长沙）如图2，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=70，则∠2=____度． （1） （2） （3） （4） 3．（2003，河南）如图3，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43则∠2=_______度． 4．（2003，福州）如图4，直线a、b被直线c所截，且a∥b，如果∠1=60，那么∠2=______度． 5．（2004，太原）如图5，Rt△ABC中，∠C=90，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_________． （5） （6） （7） （8） 6．（2004，福州）如图6，两条直线a、b被第三条直线C所截，如果a∥b，∠C=70，那么∠2=_______． 7．（2004，贵阳）如图7，直线a∥b，则∠ACB=_____度． 8．（2004，镇江）已知∠α=36，若∠β是∠α的余角，则∠β=______，sinβ=_______．（结果保留四个有效数字） 9．（2004．岳阳）已知一个角的余角为60，则这个角的补角为_________． 二、选择题 1．（2003，北京海淀区）若∠α=30，则∠α的补角是（ ） A．30 B．60 C．120 D．150 2．（2003，北京海淀区）如图8，直线c与a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2②∠1=∠3 ③∠3=6∠2中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2003，南通）已知：如图9，下列条件中，不能判断直线L1∥L2的是（ ） A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180 （9） （10） （11） （12） 4．（2003，湘潭）如图10，从A地到B地有多条道路，一般地，人 们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（ ） A．两点之间线段最短 B．两直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 5．（2004，台州）天安门广场上五星红旗的旗杆与地面的位置关系属于（ ） A．直线与直线平行 B．直线与直线垂直 C．直线与平面平行 D．直线与平面垂直 6．（2004，河南）如图11，从A地到C地，可供选择的方案是走水路，走陆路，走空中．从A地到B地有2条水路，2条陆路，从B地到C地有3条陆路可代选择，走空中从A地直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有（ ） A．20种 B．8种 C．5种 D．13种 7．（2004，南京）如果∠α=20，那么，∠α的补有等于（ ） A．20 B．70 C．110 D．160 8．（2004，日照）如图12，已知直线AB∥CD．当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED=∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是（ ） A．∠BED=∠ABE+∠CDE或∠BED=∠ABE-∠CDE B．∠BED=∠ABE-∠CDE C．∠BED=∠CDE-∠ABE或∠BED=∠ABE-∠CDE D．∠BED=∠CDE-∠ABE 三、解答题 1．（2003，山东）某市召集20名特级老师参加教研教改研讨会，与会的特级老师每两人之间都握手一次，那么他们之间一共握手________次． 2．（2003，天津）如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF=∠BDF． 3．（2003，青海）如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80，求∠MON的度数． 4．（2004，武汉）如图，已知AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD。 求证：∠AFC=∠AEC。 5．（2004，四川）如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP=OP′．需要添加以下条件中的某一个即可．请你写出所有可能结果的序号为________． ①∠OCP=∠OCP′ ②∠OPC=∠OP′C； ③PC=P′C ④PP′⊥OC 6．（2004，乌鲁木齐）某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图中作出体育中心的位置，（不要写作法，只保留作图痕迹） 答案 一、填空题： 1．60 2．110 3．133 4．120 5．30 6．110 7．78 8．54，0．8090 9．150 二、选择题： 1．D 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 三、解答题： 1．190． 2．证明：∵CE∥DF ∠EDF=∠DEC 又∵AC∥DE ∴∠DEC=∠ACE ∴∠ACE=∠EDF 又∵DF∥CE ∴∠FDB=∠ECB 又∵∠ACE=∠ECB ∴∠EDF=∠BDF． 3．解：∠MON=∠AOB-∠BOC =（∠AOB-∠BOC） =∠AOC =80=40 4．提示：∠AEC=∠EAB+∠ECD ∠AFC=∠FAB+∠FCD ∠AEC=∠FAB+∠FCD+∠EAF+∠ECF． 5．①或②或④． 6．体育中心应选在三条公路相交所构成的三角形角平分线的交点处．