九年级圆基础知识学习知识点,(圆讲义).doc

!- 一对一授课教案 学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年 月 日_ ___时 分至__ __时_ __分共 ___小时 老师签名 唐熠 学生签名 教学主题 圆 上次作业检查 完成很好 本次上课表现 本次作业 授课内容： 圆的相关概念，基础知识 板块一：圆的有关概念 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 二、弦和弧 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 三、圆心角和圆周角 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 板块二：圆的对称性与垂径定理 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题； 1.判断：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。（ ） （2）半圆是弧，弧是半圆。（ ） （3）等圆是半径相等的圆。（ ） （4）等弧是弧长相等的弧。（ ） （5）半径相等的两个半圆是等弧。（ ） （6）等弧的长度相等。（ ） 2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ） A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径 C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大 3．以已知点O为圆心作圆，可以作（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5、如下图， (1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径； 线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A=40，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______． 5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm． 6．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ． 7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20，∠BOC等于（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 8、如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长． 9．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）． A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD （5） (1) (2) (3) （4） 10．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 11．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ） A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C． D．PO=PD 12．如图4，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____． 13．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______． 14（、深圳南山区，3分）如图1－3－l，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60○ ，AC＝3，则△ABC的周长是____________. 15．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对 16（、大连，3分）如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30 则∠BOC的大小是（ ） A．60○ B．45○ C．30○ D．15○ 三、综合题 1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30，求弦CD长． 3、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18，求∠C及∠AOC的度数． 板块三：点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． 设的半径为，点到圆心的距离为，则有： 点在圆外；点在圆上；点在圆内. 如下表所示： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上. 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部. 二、确定圆的条件 1. 圆的确定 确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定点），确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定． 2. 过已知点作圆 ⑴经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个． ⑵经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个． ⑶过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． ⑷过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心． 3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 板块四：直线和圆的位置关系 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点. 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点. 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线. 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 二、切线的性质及判定 1. 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三、三角形内切圆 1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 1、 如图，中，，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。求证：是的切线。 2、 如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，过上点的直线，若且，则 。 3、 如图⊿ABC中∠A＝90，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是 ⊙O的切线。 8 如图，在中，是的中点，以为直径的交 的三边，交点分别是点．的交点为，且， ． E A D G B F C O M （1）求证：． （2）求的直径的长． 7 如图（18），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且， 以为直径的圆过点．若点的坐标为，，A、B两点的 横坐标，是关于的方程的两根． （1）求、的值； （2）若平分线所在的直线交轴于点，试求直线对应的一次函数解析式； （3）过点任作一直线分别交射线、（点除外）于点、．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． y x 图（18） N B A C O D M l 7 解：（1）以为直径的圆过点，，而点的坐标为， 由易知，， 即：，解之得：或．，， y x 图（3） N B A C O D M E F (0，2) l 即．由根与系数关系有：， 解之，． （2）如图（3），过点作，交于点， 易知，且， 在中，易得， ， ， 又，有，， ，则，即，易求得直线对应的一次函数解析式为：． 解法二：过作于，于，由，求得 又求得．即，易求直线解析式为：． （3）过点作于，于．为的平分线，． 由，有 由， 有， 即． 8 （1）连接 是圆直径，，即 ，． ．在中，． 2分 （2）是斜边的中点，，， 又由（1）知，． 又，与相似 4分 又， ，，设，，， 直径．（3）斜边上中线， 在中，， 设直线的函数表达式为， 根据题意得， 解得 直线的函数解析式为（其他方法参照评分） 9分 E A D G B F C O M