二次函数中以三角形为主的中考压轴题(等腰三角形,直角三角形,相似三角形)问答解析精彩编辑.doc

,. 二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角三角形、相似三角形）问题解析精选 【例1】．（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值． 考点： 二次函数综合题 分析： （1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标； （3）设P点坐标为（﹣1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90，同①可求出对应的t值． 解答： 解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； （2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0． ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4）， 设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（﹣1，0），AG=2． ∵直线AB的解析式为y=x+3， ∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2， ∴E点坐标为（﹣1，2）． ∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=22+2（m2+2m﹣3）﹣2（﹣1﹣m）=m2+3m， ∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3， 解得m1=，m2=（舍去）， 当m=时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=， ∴点F的坐标为（，）； （3）设P点坐标为（﹣1，n）． ∵B（0，3），C（1，0）， ∴BC2=12+32=10． 分三种情况： ①如图2，如果∠PBC=90，那么PB2+BC2=PC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2， 化简整理得6n=16，解得n=， ∴P点坐标为（﹣1，）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣=， ∵点P的速度为每秒1个单位长度， ∴t1=； ②如图3，如果∠BPC=90，那么PB2+PC2=BC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10， 化简整理得n2﹣3n+2=0，解得n=2或1， ∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3， ∵点P的速度为每秒1个单位长度， ∴t2=2，t3=3； ③如图4，如果∠BCP=90，那么BC2+PC2=PB2， 即10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2， 化简整理得6n=﹣4，解得n=﹣， ∴P点坐标为（﹣1，﹣）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4+=， ∵点P的速度为每秒1个单位长度， ∴t4=； 综上可知，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形． 点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理．综合性较强，难度适中．（2）中将△AEF的面积表示成S△AEG+S△AFG﹣S△EFG，是解题的关键；（3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进行分类讨论是解题的关键． 　 【例2】．（2013•大连）如图，抛物线y=﹣x2+x﹣4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME． （1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形； （2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标； 如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD=ME，问题得证； （2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标． （3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同． 解答： 解：（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4，令y=0， 即﹣x2+x﹣4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）． 如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点F． ∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE． 在△AMF与△BME中， ， ∴△AMF≌△BME（ASA）， ∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点， ∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形． （2）答：能． 抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+， ∴对称轴是直线x=3，M（3，0）； 令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）． △MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形： ①若DE⊥EM， 由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上， 而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上， 由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在； ②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM⊥DM，如答图2所示： 设直线PC与对称轴交于点N， ∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA． 在△ADM与△NEM中， ∴△ADM≌△NEM（ASA）， ∴MN=MA． 抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，故对称轴是直线x=3， ∴M（3，0），MN=MA=2， ∴N（3，2）． 设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，2），C（0，﹣4）在抛物线上， ∴，解得k=2，b=﹣4，∴y=2x﹣4． 将y=2x﹣4代入抛物线解析式得：2x﹣4=﹣x2+x﹣4， 解得：x=0或x=， 当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x﹣4=3． ∴P（，3）． 综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）． （3）答：能． 如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N． 与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M． ∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB． 在△DMN与△EMB中， ∴△DMN≌△EMB（ASA）， ∴MN=MB． ∴N（3，﹣2）． 设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，﹣2），C（0，﹣4）在抛物线上， ∴，解得k=，b=﹣4，∴y=x﹣4． 将y=x﹣4代入抛物线解析式得：x﹣4=﹣x2+x﹣4， 解得：x=0或x=， 当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x﹣4=． ∴P（，）． 综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）． 点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点，题目难度较大．第（2）（3）问均为存在型问题，且解题思路完全相同，可以互相借鉴印证． 　 【例3】．（2013凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长； （3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长； （3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状． 解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵A（3，0），点C（0，4）， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为y=﹣x+4． ∵点M的横坐标为m，点M在AC上， ∴M点的坐标为（m，﹣m+4）， ∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上， ∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）， ∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m， 即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）； （3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m． 若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM， 即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=． ∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90， ∴∠PCF+∠MCF=90，即∠PCM=90， ∴△PCM为直角三角形； ②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM， 即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM， ∴△PCM为等腰三角形． 综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形． 点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．　 【例4】．（2013•本溪）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标； （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值． 考点： 二次函数综合题 分析： （1）求出点A、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，关键是求出MG的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点M有2个，不要漏解； （3）△DPQ为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论： ①若PD=PQ，如答图2所示； ②若PD=DQ，如答图3所示； ③若PQ=DQ，如答图4所示． 解答： 解：（1）∵矩形ABCD，B（5，3）， ∴A（5，0），C（0，3）． ∵点A（5，0），C（0，3）在抛物线y=x2+bx+c上， ∴，解得：b=，c=3． ∴抛物线的解析式为：y=x2x+3． （2）如答图1所示， ∵y=x2x+3=（x﹣3）2﹣， ∴抛物线的对称轴为直线x=3． 如答图1所示，设对称轴与BD交于点G，与x轴交于点H，则H（3，0）． 令y=0，即x2x+3=0，解得x=1或x=5． ∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4． ∵tan∠ADB==，∴GH=DH•tan∠ADB=2=， ∴G（3，）． ∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6， ∴MG•DH+MG•AH=6， 即：MG2+MG2=6， 解得：MG=3． ∴点M的坐标为（3，）或（3，）． （3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，则BD=5，∴sinB=，cosB=． 以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则： ①若PD=PQ，如答图2所示： 此时有PD=PQ=BQ=t，过点Q作QE⊥BD于点E， 则BE=PE，BE=BQ•cosB=t，QE=BQ•sinB=t， ∴DE=t+t=t． 由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2， 即（t）2+（t）2=42+（3﹣t）2， 整理得：11t2+6t﹣25=0， 解得：t=或t=﹣5（舍去）， ∴t=； ②若PD=DQ，如答图3所示： 此时PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t， ∴t=7﹣t， ∴t=； ③若PQ=DQ，如答图4所示： ∵PD=t，∴BP=5﹣t； ∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3． 过点P作PF⊥AB于点F，则PF=PB•sinB=（5﹣t）=4﹣t，BF=PB•cosB=（5﹣t）=3﹣t． ∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t． 过点P作PE⊥AD于点E，则PEAF为矩形， ∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t，∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7． 在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2， 即：（t﹣7）2+（t）2=（7﹣t）2， 整理得：13t2﹣56t=0， 解得：t=0（舍去）或t=． ∴t=． 综上所述，当t=，t=或t=时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形． 点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、解直角三角形、勾股定理等知识点．分类讨论的数学思想是本题考查的重点，在第（2）（3）问中均有所体现，解题时注意全面分析、认真计算． 　 【例5】．（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形； ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 考点： 二次函数综合题 分析： （1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式； （2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解； ②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算． 解答： 解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k， ∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上， ∴， 解得：a=﹣1，k=4， ∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4． （2）①∵四边形OMPQ为矩形， ∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4， 整理得：t2+5t﹣3=0， 解得t=，由于t=＜0，故舍去， ∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形； ②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3． 若△AON为等腰三角形，有三种情况： （I）若ON=AN，如答图1所示： 过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=， ∴t=； （II）若ON=OA，如答图2所示： 过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x， 在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2， 即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去）， ∴x=，OD=1﹣x=， ∴t=； （III）若OA=AN，如答图3所示： 过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x， 在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2， 即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去）， ∴OD=1﹣x=1﹣， ∴t=1﹣． 综上所述，当t为秒、秒，（1﹣）秒时，△AON为等腰三角形． 点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算． 　 【例6】．已知函数（是常数） ⑴若该函数的图像与轴只有一个交点，求的值； ⑵若点在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数都是随的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围； ⑶设抛物线与轴交于两点，且，，在轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由。 解析： 解：(1)①当时，函数的图像与轴只有一个交点………………2分 ②当时，若函数的图像与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，即. 综上所述，若函数的图像与轴只有一个交点，则的值为0或………………..4分 （2）设反比例函数为， 则，即.所以，反比例函数为 要使该反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，则…..………….5分 二次函数的对称轴为，要使二次函数是随着的增大而增大，在的情况下，必须在对称轴的左边，即时，才能使得随着的增大而增大. …………………………………………..6分 ∴综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大， 且……………………………………………………………………………….7分 (3)∵抛物线与轴有两个交点，∴一元二次方程方程的判别式即 又∵∴， ∴或.又，∴..……………………………………………............8分 在轴上，设是满足条件的点，则，，∴.∴. .∴……………………..9分 ∴. ∴在轴上，存在点,使是直角三角形，的面积为…………………………………………………………………………………………10分 【例7】．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO； （4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用待定系数法求出直线解析式； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形； （4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度． 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小． 如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值． 解答： 解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）． 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将C（0，1），D（1，0）代入得：， 解得：b=1，k=﹣1， ∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1． （2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3， 将C（0，1）代入得：1=a（﹣2）2+3，解得a=． ∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1． （3）证明：由题意可知，∠ECD=45， ∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45， ∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称， ∴点E的坐标为（4，1）． 如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1）， ∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45． 又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45， ∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45， ∴△CEQ∽△CDO． （4）存在． 如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度． （证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′． 由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′； 而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″， 即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．） 如答图③所示，连接C′E， ∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形， ∴△QC′E为等腰直角三角形， ∴△CEC′为等腰直角三角形， ∴点C′的坐标为（4，5）； ∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）． 过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6， 在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===． 综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为． 点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键． 【例8】．（2013•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90．设点M的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式． （2）求点C在这条抛物线上时m的值． （3）将线段CN绕点N逆时针旋转90后，得到对应线段DN． ①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标． ②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值． （参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，）） 考点： 二次函数综合题 分析： （1）将A（﹣1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=x2﹣x﹣2，即可求出m的值； （3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，﹣2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标； ②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值． 解答： 解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（4，0）， ∴ 解得 ∴抛物线所对应的函数关系式为y=x2﹣x﹣2； （2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90， ∴CM=MN=2， ∴点C的坐标为（m，2）， ∵点C（m，2）在抛物线上， ∴m2﹣m﹣2=2， 解得m1=，m2=． ∴点C在这条抛物线上时，m的值为或； （3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90后，得到对应线段DN， ∴∠CND=90，DN=CN=CM=MN， ∴CD=CN=2CM=2MN， ∴DM=CM=MN，∠DMN=90， ∴点D的坐标为（m，﹣2）． 又∵抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，点D在这条抛物线的对称轴上， ∴点D的坐标为（，﹣2）； ②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况： 如果E点在E1的位置时， ∵点D的坐标为（m，﹣2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0）， ∴点E1的（m﹣2，0）， ∵点E1在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上， ∴m﹣2=，解得m=； 如果E点在E2的位置时， ∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0）， ∴点E2的（m+2，﹣4）， ∵点E2在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上， ∴m+2=，解得m=﹣； 如果E点在E3的位置时， ∵点D的坐标为（m，﹣2）， ∴点E3的（m，2）， ∵点E3在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上， ∴m=； 如果E点在E4的位置时， ∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0）， ∴点E4的（m+4，﹣2）， ∵点E4在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上， ∴m+4=，解得m=﹣； 综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=﹣或m=﹣或m=或m=． 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键． 【例9】．（2013•济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t， ①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标； ②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题．3793881 分析： （1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式； （2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90时，当∠CFE=90时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论． 解答： 解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3， ∴OB=3OA=3． ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90而得到的， ∴△DOC≌△AOB， ∴OC=OB=3，OD=OA=1， ∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）． 代入解析式为 ， 解得：． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； （2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3， ∴对称轴l=﹣=﹣1， ∴E点的坐标为（﹣1，0）． 如图，当∠CEF=90时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）； 当∠CFE=90时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP． ∴， ∴MP=3EM． ∵P的横坐标为t， ∴P（t，﹣t2﹣2t+3）． ∵P在二象限， ∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t， ∴﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t）， 解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去）， ∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2（﹣2）+3=3． ∴P（﹣2，3）． ∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴直线CD的解析式为：y=x+1． 设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1）， ∴NM=t+1． ∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2． ∵S△PCD=S△PCN+S△PDN， ∴S△PCD=PM•CM+PN•OM =PN（CM+OM） =PN•OC =3（﹣t2﹣+2） =﹣（t+）2+， ∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为． 点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点．