三角函数及解三角形高考试题精彩编辑.doc

,. 三角函数与解三角形高考试题精选 　 一．解答题（共31小题） 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+． （Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值． 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C． （1）求tanC的值； （2）若a=，求△ABC的面积． 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=． （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB． 6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值． 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣． （Ⅰ）求a和sinC的值； （Ⅱ）求cos（2A+）的值． 8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积． 9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值． 10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=． （Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的长． 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小． 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2． （1）求tanC的值； （2）若△ABC的面积为3，求b的值． 13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值； （Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值． 14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值． 15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值． 16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2． （1）求C和BD； （2）求四边形ABCD的面积． 17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2． （1）求cosB； （2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b． 18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B； （2）若cosB=，求cosC的值． 19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求； （2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长． 23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90，且a=，求△ABC的面积． 24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC （Ⅰ） 求． （Ⅱ） 若∠BAC=60，求∠B． 25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC， （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣）的值． 26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c． （1）若sin（A+）=2cosA，求A的值． （2）若cosA=，b=3c，求sinC的值． 28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值 （2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值． 29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值． 30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求c的值． 　  三角函数与解三角形高考试题精选 参考答案与试题解析 　 一．解答题（共31小题） 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+． （Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：由得： ； ∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin（A+B）=sinA+sinB； 即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理，； ∴，带入（1）得：； ∴a+b=2c； （Ⅱ）a+b=2c； ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2； ∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号； 又a，b＞0； ∴； ∴由余弦定理，=； ∴cosC的最小值为． 　 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值． 【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA， 又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA， 两式作比得：，∴a=2b． 由，得， 由余弦定理，得； （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得． 由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角， ∴． 于是，， 故． 　 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC=， ∴C=； （Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•， ∴（a+b）2﹣3ab=7， ∵S=absinC=ab=， ∴ab=6， ∴（a+b）2﹣18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC的周长为5+． 　 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C． （1）求tanC的值； （2）若a=，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=， ∴sinA==， 又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC， 整理得：cosC=sinC， 则tanC=； （2）由tanC=得：cosC====， ∴sinC==， ∴sinB=cosC=， ∵a=，∴由正弦定理=得：c===， 则S△ABC=acsinB==． 　 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=． （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB． 【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=， ∴由正弦定理得：， ∴=， ∵sin（A+B）=sinC． ∴整理可得：sinAsinB=sinC， （Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=． sinA=，= +==1，=， tanB=4． 　 6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值． 【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣223=7， 所以BC=． （2）由正弦定理可得：，则sinC===， ∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2， ∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===． 因此sin2C=2sinCcosC=2=． 　 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣． （Ⅰ）求a和sinC的值； （Ⅱ）求cos（2A+）的值． 【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：， 可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8， ，解得sinC=； （Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==． 　 8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行， 所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0， 所以tanA=，可得A=； （Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3， △ABC的面积为：=． 　 9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值． 【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为， ∴=， ∴sinA=， 又∵sin2A+cos2A=1 ∴cosA=， 由余弦定理可得a==2或2． 　 10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=． （Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的长． 【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED， 在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE， 即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0， 解得CD=2或CD=﹣3，（舍去）， 在△CDE中，由正弦定理得， 则sinα=， 即sin∠CED=． （Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=， 而∠AEB=， ∴cos∠AEB=cos（）=coscosα+sinsinα=， 在Rt△EAB中，cos∠AEB=， 故BE=． 　 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB， ∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB ∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B） ∵A，B是三角形中的角， ∴B=A﹣B， ∴A=2B； （Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=， ∴bcsinA=， ∴2bcsinA=a2， ∴2sinBsinC=sinA=sin2B， ∴sinC=cosB， ∴B+C=90，或C=B+90， ∴A=90或A=45． 　 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2． （1）求tanC的值； （2）若△ABC的面积为3，求b的值． 【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2， 又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得， ∴a2=b2﹣=，即a=． ∴cosC===． ∵C∈（0，π）， ∴sinC==． ∴tanC==2． 或由A=，b2﹣a2=c2． 可得：sin2B﹣sin2A=sin2C， ∴sin2B﹣=sin2C， ∴﹣cos2B=sin2C， ∴﹣sin=sin2C， ∴﹣sin=sin2C， ∴sin2C=sin2C， ∴tanC=2． （2）∵==3， 解得c=2． ∴=3． 　 13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值； （Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8， ∴c=8﹣（a+b）=， ∴由余弦定理得：cosC===﹣； （Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC， 整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC， ∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC， ∴sinA+sinB=3sinC， 利用正弦定理化简得：a+b=3c， ∵a+b+c=8， ∴a+b=6①， ∵S=absinC=sinC， ∴ab=9②， 联立①②解得：a=b=3． 　 14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ∴2b=a+c， 利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC， ∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， ∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ∴b2=ac， ∴cosB==≥=， 当且仅当a=c时等号成立， ∴cosB的最小值为． 　 15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ∴a+c=2b， 由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB， ∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， 则sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ∴b2=ac， 将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a， ∴由余弦定理得：cosB===． 　 16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2． （1）求C和BD； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2， 由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①， 在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π， 由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②， 由①②得：cosC=， 则C=60，BD=； （2）∵cosC=，cosA=﹣， ∴sinC=sinA=， 则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=12+32=2． 　 17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2． （1）求cosB； （2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b． 【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0， ∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB=； （2）由（1）可知sinB=， ∵S△ABC=ac•sinB=2， ∴ac=， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2 =a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 　 18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B； （2）若cosB=，求cosC的值． 【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB， ∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π）， ∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）． ∴A=2B． （II）解：cosB=，∴sinB==． cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==． ∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+=． 　 19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==， ∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A） 又B为钝角，∴+A∈（，π）， ∴B=+A，∴B﹣A=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0， ∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A） =sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2（sinA﹣）2+， ∵A∈（0，），∴0＜sinA＜， ∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤ ∴sinA+sinC的取值范围为（，] 　 20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=， sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=， 所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②， 由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0， 解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）； ②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=， 所以a=2c，又ac=2，所以c=1． 　 21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA． ∴=tanA， ∵由正弦定理：，又tanA=， ∴=， ∵sinA≠0， ∴sinB=cosA．得证． （Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA， ∴sin2B=， ∵0＜B＜π， ∴sinB=， ∵B为钝角， ∴B=， 又∵cosA=sinB=， ∴A=， ∴C=π﹣A﹣B=， 综上，A=C=，B=． 　 22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求； （2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长． 【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E， ∵==2 ∴BD=2DC， ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD中，=，∴sin∠B= 在△ADC中，=，∴sin∠C=； ∴==．…6分 （2）由（1）知，BD=2DC=2=． 过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴DM=DN， ∴==2， ∴AB=2AC， 令AC=x，则AB=2x， ∵∠BAD=∠DAC， ∴cos∠BAD=cos∠DAC， ∴由余弦定理可得：=， ∴x=1， ∴AC=1， ∴BD的长为，AC的长为1． 　 23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90，且a=，求△ABC的面积． 【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC， 由正弦定理可得：＞0， 代入可得（bk）2=2ak•ck， ∴b2=2ac， ∵a=b，∴a=2c， 由余弦定理可得：cosB===． （II）由（I）可得：b2=2ac， ∵B=90，且a=， ∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=． ∴S△ABC==1． 　 24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC （Ⅰ） 求． （Ⅱ） 若∠BAC=60，求∠B． 【解答】解：（Ⅰ）如图， 由正弦定理得： ， ∵AD平分∠BAC，BD=2DC， ∴； （Ⅱ）∵∠C=180﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60， ∴， 由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C， ∴tan∠B=，即∠B=30． 　 25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC， （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣）的值． 【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c， 代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c， ∴cosA===； （Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角， ∴sinA==， ∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=， 则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣+=． 　 26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=， ∴sinA==， ∵B=A+． ∴sinB=sin（A+）=cosA=， 由正弦定理知=， ∴b=•sinB==3． （Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞ ∴cosB=﹣=﹣， sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（﹣）+=， ∴S=a•b•sinC=33=． 　 27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c． （1）若sin（A+）=2cosA，求A的值． （2）若cosA=，b=3c，求sinC的值． 【解答】解：（1）因为， 所以sinA=， 所以tanA=， 所以A=60 （2）由 及a2=b2+c2﹣2bccosA 得a2=b2﹣c2 故△ABC是直角三角形且B= 所以sinC=cosA= 　 28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值 （2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值． 【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2； 代入3acosA=ccosB+bcosC； 得cosA=； （2）∵cosA= ∴sinA= cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③ 又已知 cosB+cosC= 代入 ③ cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立 解得 sinC= 已知 a=1 正弦定理：c=== 　 29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值． 【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB， ∵sinA≠0，∴sinB=cosB， B∈（0，π）， 可知：cosB≠0，否则矛盾． ∴tanB=，∴B=． （2）∵sinC=2sinA，∴c=2a， 由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB， ∴9=a2+c2﹣ac， 把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=， ∴． 　 30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求c的值． 【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A， 利用正弦定理可得 ，即=． 解得cosA=． （Ⅱ）由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣22c， 即 c2﹣8c+15=0． 解方程求得 c=5，或 c=3． 当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90，A=C=45， △ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去． 当c=5时，求得cosB==，cosA==， ∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件． 综上，c=5．