专业题材1-排列,组合高考复习资料题.doc

^. 专题1：排列、组合 姓名： 年级： 教 师：李 生 【第一部分 高考考点分析】 本章从内容到方法都是比较独特的，是进一步学习概率论的基础知识. 其中分类计数原理和分步计数原理是本章的基础，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识.在对应用题的考查中，经常要运用分类计数原理或分步计数原理对问题进行分类或分步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键. 从两个原理上，完成一件事的“分类”和“分步”是有区别的，因此在应用上，要注意将两个原理区分开. 排列、组合也是本章的两个主要概念.定义中从n个不同元素中，任取M（M≤n）个元素“按一定的顺序排成一列”与不管怎样的顺序“并成一组”是有本质区别的.只有准确、全面把握这两个概念，才能正确区分是排列问题，还是组合问题.具体解决手段：只要取出2个元素交换看结果是否有变化. 【第二部分 历年上海高考真题汇集】 一、选择题： 1、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ） A.42 B.30 C.20 D.12 1.答案：A 解析：这是一个插空问题，应分两类：第一类，新增的两个节目连在一起；第二类，两个新增节目不连在一起，而原来的5个节目可看做分出6个空位.第一类则有2种不同的插法，第二类则有种不同的插法.应用分类计数原理，共有12+30=42种不同的插法. 【总结】该题是应用问题，内容贴近学生，有一定的综合性、灵活性、考查分析，解决问题及逻辑思维的能力.同时应有周密的思维习惯. 2、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ） A.6 B.12 C.15 D.30 2.答案：D 解析：见第1题. 3、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ） A.280种 B.240种 C.180种 D.96种 3.答案：B 解析：因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作.因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有种，再从余下的5人中选3人从事导游、导购、保洁有种.因此=240. 4、若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（ ） A.180种 B.360种 C.15种 D.30种 4.答案：B 解析：=360. 5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 5.答案：B 解析：联想以空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即；也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即：. 6、 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（ ） A.480 B.240 C.120 D.96 6、答案：B 解析：先把5本书中的两本捆起来（），再分成四份（），∴分法种数为=240（种）. 7、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ） A.种 B.3种 C.种 D.种 7、答案：A 解析：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口，即：. 8、等于（ ） A.0 B.2 C. D. 8、答案：D 解析：原式＝ ∴ 9、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ） A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 9、答案：A 解析：设该队胜x场，平y场，则负（15－x－y）场，由题意得3x+y=33， ∴y=33－3x≥0 ∴x≤11，且x+y≤15，（x，y∈N） 因此，有以下三种情况： 【总结】本题利用不定方程及穷举法解决排列、组合问题. 10、从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“ｑu”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ） A.120个 B.480个 C.720个 D.840个 10、答案：B 解析：＝480． 11、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ） A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 11、答案：C 解法一：由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种； 买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种，故共有1＋2＋4＝7种不同的选购方式，答案为C. 解法二：先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘、再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿解法一可知选C. 【总结】本题主要考查分类计数原理、分类讨论思想.背景简单，但无现成模式可用，对分析解决问题的能力有较高要求. 12、 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1 名医生和2名护士.不同的分配方法共有（ ） A.90种 B.180种 C.270种 D.540种 12、答案：D 解析：设计让3所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有种，再由学校乙挑选，有种，余下的到学校丙只有一种，于是不同的方法数共有＝540种，答案为D. 【总结】设计一个程序是解答排列组合应用题的常见解法. 二、填空题 1、（2013上海春，9）8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有_____场比赛. 1、答案：16 解析：分两组比赛，每组有场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，三、四名比赛，冠亚军比赛，共有2+2+2=16（场） 2、（2012上海文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天. 2、答案：11 解析：要完成某项工序，必须先完成它的紧前工序且在紧前工序完成的条件下，若干件工序可同时进行，因而工程总时数为：3+2+5+1=11（天）. 3、正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_____个（用数字作答）. 3、答案： 32 解析：7个点任取3点的组合数＝35，其中三点在一线上不能组成三角形的有3个，故组成三角形的个数为35－3＝32个. 【总结】本题是有限制条件的组合应用题，背景采用几何图形，对逻辑思维能力要求较高.易出现不排除不构成三角形的情况的错误. 4、（2009上海，7）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种．（结果用数值表示） 4、答案：7 解析：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有＝10（种） 选择方式至少为200种，设素菜为x种，∴≥200 ≥20，x（x－1）≥40，x≥7 ∴至少应为7种素菜. 5、圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 . 5、答案：2n（n－1） 解析：先在圆上找一点，2n个点因为是等分点，所以过圆心的直径应有n，减去过这点的直径，剩下的直径n－1个都可以与这个点形成直角三角形，∴一个点可以形成n－1个直角三角形，这样的点有2n个. ∴一共为2n（n－1）. 6、已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能（用数字作答）. 6、答案：4900 解析：完成这件事可分为两步： 第一步：从甲组8人中抽取4个，有种方法； 第二步：从乙组8人中抽取4人，有种方法. 因此，比赛人员的组成共有=4900种可能. 【总结】本题考查分步计数原理、组合的概念以及组合数的运算，考查分析问题、解决问题的能力. 7、有n（n∈N*）件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则n=_____. 7、答案：5 解析：由＝48，得＝24，∵＝24，∴n＝5. 8、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）. 8、答案：252 解析：＝252． 9、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种（用数字作答）. 9、答案：12 解析：先考虑A种植在左边的情况，有三类：A种植在最左边一垄上时，B有三种不同的种植方法；A种植在左边第二垄上时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄上时，B只有一种种植方法.又B在左边种植的情况与A时的相同，故共有2（3＋2＋1）＝12种不同的选垄方法. 【总结】本题主要考查两个基本原理、分类讨论思想，对分析解决问题的能力有较高要求. 10、从集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得经过坐标原点的直线有_____条（结果用数值表示）. 10、答案：30 解析：因过原点的直线常数项为0知c=0，从集合中任取两个非零元素作系数A、B有种，所以适合条件的直线有＝30条. 【第三部分 课时总结】 【第四部分 家庭作业】 1、四个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____种.（用数字作答） 1、答案：144 解法一：考虑用分配的数学模型来解. 若1号盒空，2号盒放2个球，3号盒和4号盒各放一个球有＝12种放法. 若1号盒空，3号盒放2个球，4号盒和2号盒各放一个球时仍有＝12种放法. 若1号盒空，4号盒放2个球，2号盒和3号盒各放一个球同样有＝12种放法. 即1号盒空共有312＝36种放法. 同理2号盒空有36种放法，3号盒空有36种放法，4号盒空有36种放法. 故按题中要求恰有一个空盒的放法共有436＝144种放法. 解法二：先将4个球分成3组每组至少1个，分法有6种.然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组.则恰有一个空盒的放法种数为6＝144种. 【总结】本题是一道排列组合综合题，运用先分组，后排列的方法较好. 2、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有_____种.（结果用数值表示）. 2、答案：350 解析：选法是原装取2台组装取3台，原装取3台组装取2台.故不同的选取法有＝350种. 3、有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_____种（结果用数字表示）. 3、答案： 1440 解析：将数学书与外文书分别捆在一起与其他3本书一起排，有＝120种排法，再将3本数学书之间交换有＝6种，2本外文书之间交换有＝2种，故共有＝1440种排法. 4、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种 4、答案：D 解析：先各看成整体，但水彩画不在两端，则为，然后水彩画与国画各全排列，所以共有． 5、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ） A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5040种 5、答案：C 解法一：从10人中选派4人有种，进而对选出的4人具体分派任务，有种，由分步计数原理得不同的选派方法为＝2520种，答案为C. 解法二：据分步计数原理，不同选法种数为＝2520种. 【总结】本题主要考查组合和分步计数原理，答数较大，对组合数的计算要求较高.方法一用的是先选后派方法是处理排列组合应用题的基本方法. 6、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A.24个 B.30个 C.40个 D.60个 6、答案：A 解法一：其中2在个位的三位数有个，4在个位的三位数有个，故没有重复数字的三位偶数共有2＝24个，故选A. 解法二：先排个位有种，再排十位、百位有种，于是合乎要求的三位偶数共有＝24个.故选A. 【总结】本题为有特殊要求的排列问题，考查排列基础知识和逻辑推理能力. 7、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ） A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 7、答案：D 解法一：10个点任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任意4点都共面，从这6点中任取4点有种，同理在其余3个面内也有种，又每条棱与相对棱中点共面有6种，各棱中点中4点共面的有3种，故10个点中取4点，不共面的取法共有＝141种. 解法二：四面体记之为A—BCD，设平面BCD为α，那么从10个点中取4个不共面的点的情况共有四类：（1）恰有3个点在α上，有4（）＝68种取法；（2）恰有2个点在α上，可分两种情况：该2个点在四面体的同一条棱上时有3＝27种，该2个点不在同一条棱上，有（）（－1）＝30种；（3）恰有1个点在α上，可分两种情况，该点是棱的中点时有33＝9种，该点是棱的端点时有32＝6种；（4）4个点全不在α上，只有1种取法.根据分类计数原理得，不同的取法共有68＋27＋30＋9＋6＋1＝141种． 【总结】本题对空间想象能力要求较高，对观察能力和思维能力要求也高.在应用背景及其限制条件下合理分类是解题的关键. 8、四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上， 不同的取法有（ ） A.30种 B.33种 C.36种 D.39种 8、答案：B 解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面，点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有3个组合，点A在6条棱的三条棱上，每条棱上有3个点，这3点与对棱的中点共面，所以与点A共面的四点组合共有3+3=33（个） 【总结】本题考查组合的知识和空间想象能力.对考生的观察能力和思维能力有较高要求，考生失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算入内. 9、 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 9、答案：C 解析：把甲、乙两人看作1个人，这样6个人看作5个人，5个人的全排列有种，甲、乙两个人还有顺序问题，所以排法总数为=240（种） 【总结】这是一道有限制条件的排列题，考查排列的概念和排列数公式.“相邻问题”是一个常见的典型问题. 10、（2015年上海春季高考题）规定，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n的一种推广）. （1）（文）求的值； （理）求的值； （2）（文）设x＞0，当x为何值时，取最小值？ （理，文2）组合数的两个性质： ①. ②. 是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由. （3）（理）已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z. 【解析】（1）（文）解：. （理）解：. （2）（文）解：. ∵x＞0，x+≥2. 当且仅当x=时，等号成立. ∴当x=时，取得最小值. （理，文3）解：性质①不能推广.例如当x=时，有定义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是，x∈R，m是正整数，事实上 当m=1时，有， 当m≥2时， . （3）（理）证明：当x≥m时，组合数∈Z. 当0≤x＜m时，=0∈Z. 当x＜0时，∵－x+m－1＞0， ∴ ∈Z.