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三角函数、解三角形
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.任意角的概念
(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．
①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．
②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．
③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．
(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k360，k∈Z}．
(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.
象限角
轴线角
2．弧度制
(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1的角__.
(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.
(3)角度与弧度的换算：
360＝__2π__rad,1＝____rad,1rad＝(____)≈5718′.
(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|r__，面积S＝__|α|r2__＝__lr__.
3．任意角的三角函数定义
(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝____，cosα＝____，tanα＝____.
(2)三角函数在各象限的符号是：
sinα
cosα
tanα
Ⅰ
__＋__
__＋__
__＋__
Ⅱ
__＋__
__－__
__－__
Ⅲ
__－__
__－__
__＋__
Ⅳ
__－__
__＋__
__－__
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．
4．终边相同的角的三角函数
sin(α＋k2π)＝__sinα__，
cos(α＋k2π)＝__cosα__，
tan(α＋k2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，
即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
重要结论
1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．
2．确定(k∈N*)的终边位置的方法
(1)讨论法：
①用终边相同角的形式表示出角α的范围．
②写出的范围．
③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．
(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．
①等分：将每个象限分成k等份．
②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．
③选答：出现数字m的区域，即为所在的象限．
如判断象限问题可采用等分象限法．
二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__. (2)商数关系：__＝tanx__.
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
__－sinα__
__－sinα__
__sinα__
__cosα__
__cosα__
余弦
cosα
__－cosα__
__cosα__
__－cosα__
__sinα__
__－sinα__
正切
tanα
__tanα__
__－tanα__
__－tanα__
重要结论
1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinx＝tanxcosx，tan2x＋1＝，(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx等．
2．特殊角的三角函数值表
角α
0
30
45
60
90
120
150
180
270
角α的弧度数
0
π
sinα
0
1
0
－1
cosα
1
0
－
－
－1
0
tanα
0
1
－
－
0
3.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k＋α中，将α看成锐角时k＋α所在的象限．
4.sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系
sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
三、两角和与差的三角函数 二倍角公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝__2sinαcosα__；
(2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；
(3)tan2α＝____(α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z)．
3．半角公式(不要求记忆)
(1)sin＝；
(2)cos＝；
(3)tan＝＝＝.
重要结论
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．公式变形：tanαtanβ＝tan(αβ)(1∓tanαtanβ)．
＝tan(－α)；＝tan(＋α)
cosα＝，sin2α＝，cos2α＝，1sin2α＝(sinαcosx)2.
4．辅助角(“二合一”)公式：
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，
其中cosφ＝____，sinφ＝____.
5.三角形中的三角函数问题
在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.
三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin.
A>B⇔sinA>sinB⇔cosA
0)的图象
(1)列表：
X＝ωx＋φ
0
π
2π
x
__－__
__－__
__－__
__－__
__－__
sinx
0
1
0
－1
0
y
__0__
__A__
__0__
__－A__
__0__
(2)描点：__(－，0)__，__(－，A)__，(－，0)，(－，－A)__，(－，0)__.
(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．
(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象
2．由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞)的物理意义
(1)振幅为A. (2)周期T＝____.
(3)频率f＝____＝____. (4)相位是__ωx＋φ__. (5)初相是φ.
重要结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度 ”为.
2．“五点法”作图中的五个点：①y＝Asin(ωx＋φ)，两个最值点，三个零点；②y＝Acos(ωx＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y＝sinx向左平移个单位即得余弦曲线y＝cosx.
六、正弦定理、余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
__＝＝__＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝__b2＋c2－2bccosA__
b2＝__a2＋c2－2accosB__
c2＝__a2＋b2－2abcosC__
常见变形
①a＝__2RsinA__，b＝__2RsinB__，c＝__2RsinC__；
②sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____；
③abc＝__sinAsinBsinC__
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝____；
cosB＝____；
cosC＝____
解决解斜三角形的问题
(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求各角；
(2)已知两边一角，求第三边和其他两个角
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a< bsinA
a＝bsinA
bsinA< ab
a≤b
解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
3．三角形常用面积公式
(1)S＝aha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
重要结论
在△ABC中，常有以下结论
1．∠A＋∠B＋∠C＝π.
2．在三角形中大边对大角，大角对大边．
3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos，cos＝sin.
5．tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
6．∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA
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