全国大学生数学竞赛试题.解答及其评分规范标准(非数学类).doc

\\ 全国大学生竞赛历年试题名师精讲 （非数学类） （2009——2013） 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类） 一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限. 解 因为……（2分）； 原式 ………………………………………………………………………………………(2分)；……(2分) 2.证明广义积分不是绝对收敛的 解 记，只要证明发散即可。……………………（2分） 因为。…………（2分） 而发散，故由比较判别法发散。……………………………………（2分） 3.设函数由确定，求的极值。 解 方程两边对求导，得 ………………（1分） 故，令，得或………（2分） 将代入所给方程得， 将代入所给方程得，…………………………………（2分） 又 ， 故为极大值，为极小值。…………………………（3分） 4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。 解 设切点A的坐标为，曲线过A点的切线方程为 ……………………………………………………………………………（2分）； 令，由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。 从而作图可知，所求平面图形的面积 ， 故A点的坐标为。……………………………………………………（4分） 二、（满分12）计算定积分 解 …………………………………（4分） ……………………（2分） ……………………………………………………………（4分） ………………………………………………… （2分） 三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且。证明 ：级数收敛。 解 由于在处可导必连续，由得 …………………………………………（2分） …………………………………… （2分） 由洛必塔法则及定义 ………………… （3分） 所以 …………………………… （2分） 由于级数收敛，从而由比较判别法的极限形式收敛。……（3分） 四、（满分12分）设，证明 解 因为，所以在上严格单调增，从而有反函数………………………………………………………………………………（2分）。 设是的反函数，则……… （3分） 又，则，所以…（3分） ………………… （2分） 五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。 解 记围成的立体为V，由高斯公式 ……………（3分） 为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域，即 取 ，曲面 …… （3分） 为求最小值，作变换，则， 从而 ……………………………………（4分） 使用球坐标计算，得 …………………… （4分） 六、（满分14分）设，其中为常数，曲线C为椭圆，取正向。求极限 解 作变换（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线C变为平面上的椭圆（实现了简化积分曲线），也是取正向 …（2分） 而且（被积表达式没变，同样简单！）， ……………………………………………………………… （2分） 曲线参数化，则有， … （3分） 令，则由于，从而 。因此当时或时………（2分） 而 …（3分） 。故所求极限为 …………… （2分） 七（满分14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。 解 （1）记 因为充分大时 …………（3分） 所以，而收敛，故收敛…（2分） （2）记 ，则 = ……………… （2分） = …………………（2分） = ………………………（2分） 因为，所以，从而， 故。 因此。（也可由此用定义推知级数的收敛性）……………（3分） 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类） 一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。） （1）.求； 解：方法一（用两个重要极限）： 方法二（取对数）： （2）.求； 解：方法一（用欧拉公式）令 其中，表示时的无穷小量， 方法二（用定积分的定义） （3）已知，求。 解： 二．（本题10分）求方程的通解。 解：设，则 是一个全微分方程，设 方法一：由得 由得 方法二： 该曲线积分与路径无关 三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。 证明：由极限的存在性： 即，又，① 由洛比达法则得 由极限的存在性得 即，又，② 再次使用洛比达法则得 ③ 由①②③得是齐次线性方程组的解 设，则， 增广矩阵，则 所以，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意， 且。 四．（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。 解：设上任一点，令， 则椭球面在上点M处的法向量为： 在点M处的切平面为： 原点到平面的距离为，令 则， 现在求在条件，下的条件极值， 令 则由拉格朗日乘数法得： ， 解得或， 对应此时的或 此时的或 又因为，则 所以，椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： ， 五．（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取上侧，是S在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示S的正法向的方向余弦。计算： （1）；（2） 解：（1）由题意得：椭球面S的方程为 令则， 切平面的法向量为， 的方程为， 原点到切平面的距离 将一型曲面积分转化为二重积分得：记 (2)方法一： 方法二（将一型曲面积分转化为二型）： 记，取面向下，向外， 由高斯公式得： ，求该三重积分的方法很多，现给出如下几种常见方法： ① 先一后二： ②先二后一： ③广义极坐标代换： 六．（本题12分）设f(x)是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：绝对收敛。 证明： 由拉格朗日中值定理得：介于之间，使得 ，又得 级数收敛，级数收敛，即绝对收敛。 七．（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满足， ？请说明理由。 解：假设存在，当时，由拉格朗日中值定理得： 介于0，x之间，使得， 同理，当时，由拉格朗日中值定理得： 介于x，2之间，使得 即 ， 显然， ，又由题意得 即， 不存在，又因为f(x)是在区间上的连续可微函数，即存在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类） 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令，则，， （*） 令，则 ，，， 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 解: 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解: 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知， 即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面 平行平面 的切平面方程是。 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________. 解: 方程的两边对求导，得 因，故，即，因此 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 解 :因 故 因此 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 解 : 由和函数连续知， 因，故， 因此，当时，，故 当时， ， 这表明在处连续. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）； （2）. 证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知 （1） 而关于和是对称的，即知 因此 （2）因 故 由 知 即 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解 设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程 的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是 因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和 ， 知， 二阶常系数线性非齐次微分方程为 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 解 因抛物线过原点，故，于是 即 而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 ， 得 即 因此 ,,. 七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和. 解 ， 即 由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，， 于是 下面求级数的和： 令 则 即 由一阶线性非齐次微分方程公式知 令，得，因此级数的和 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量. 解 令，则因当，时，，故 在上严格单调减。因此 即 ， 又 ， ， 所以，当时, 与等价的无穷大量是。