八年级几何证明题整理汇编及其解答值得收藏.doc

.\ 八年级几何全等证明题归纳 1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF． 求证：CF=AB+AF． 证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH， ∵BD⊥CD，BE⊥CE， ∴∠EBF+∠EFB=90，∠DFC+∠DCF=90， ∵∠EFB=∠DFC， ∴∠EBF=∠DCF， ∵DB=CD，BA=CH， ∴△ABD≌△HCD， ∴AD=DH，∠ADB=∠HDC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC=45， ∴∠HDC=45，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45， ∴∠ADB=∠HDB， ∵AD=HD，DF=DF， ∴△ADF≌△HDF， ∴AF=HF， ∴CF=CH+HF=AB+AF， ∴CF=AB+AF． 2.如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G．判断CF与ED的位置关系，并说明理由． 解：垂直． 理由：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD=∠CBD，AB=BC， ∵BF=BF， ∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠BCF， ∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC， ∴RT△ABE≌△DCE， ∴∠BAE=∠CDE， ∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90， ∴∠BCF+∠DEC=90， ∴DE⊥CF． 3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90，AB＝AD，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，连接EF．证明：CF＝EF 解： 过D作DG⊥BC于G． 由已知可得四边形ABGD为正方形， ∵DE⊥DC ∴∠ADE+∠EDG=90=∠GDC+∠EDG， ∴∠ADE=∠GDC． 又∵∠A=∠DGC且AD=GD， ∴△ADE≌△GDC， ∴DE=DC且AE=GC． 在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，∴△EDF≌△CDF， ∴EF=CF 4.已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。 证明： 过点C作CG⊥CA交AF延长线于G ∴∠G+∠GAC=90…………① 又∵AE⊥BD ∴∠BDA+∠GAC=90…………② 综合①②，∠G=∠BDA 在△BDA与△AGC中， ∵ ∠G=∠BDA ∠BAD=∠ACG=90 BA=CA ∴△BDA≌△AGC ∴DA=GC ∵D是AC中点，∴DA=CD ∴GC=CD 由∠1=45，∠ACG=90，故∠2=45=∠1 在△GCF与△DCF中， ∵ GC=CD ∠2=45=∠1 CF=CF ∴△GCF≌△DCF ∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA ∴∠ADB=∠FDC 5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中点，E是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，求证：OE=OF 提示： 由条件知△BCD为等腰Rt△，连接OC，可证△OCK≌△ODH(AAS)，得OK=OH，再证△FOH≌△EOK(AAS)，得OE=OF 6.如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90， 又∵CN⊥DM交AB于N， ∴∠NCM+∠CMD=90， 而∠CMD+∠CDM=90， ∴∠NCM=∠CDM， ∴△DCM≌△CBN， ∴CM=BN， 再根据四边形ABCD是正方形可以得到 OC=OB，∠OCM=∠OBN=45， ∴△OCM≌△OBN． ∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90， ∴∠BON+∠MOB=90． ∴∠MON=90． ∴OM与ON之间的关系是OM=ON；OM⊥ON． 7.如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N． 探究：线段MD、MF的关系，并加以证明． 证明：根据题意，知AD∥BC． ∴∠EAD=∠AEN（内错角相等）， ∵∠DMA=∠NME（对顶角相等）， 又∵M是线段AE的中点， ∴AM=ME． ∴△ADM≌△ENM（ASA）． ∴AD=NE,DM=MN．（对应边相等）． 连接线段DF，线段FN， 线段CE是正方形的对角线，∠DCF=∠NEF=45， 根据上题可知线段AD=NE， 又∵四边形CGEF是正方形， ∴线段FC等于FE． ∴△DCF≌△NEF（SAS）． ∴线段FD=FN． ∴△FDN是等腰三角形． ∴线段MD⊥线段MF． 8.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明． 证明：BM+CN=NM 延长AC至E，使CE=BM，连接DE， ∵△BDC是顶角∠BDC=120的等腰三角形，△ABC是等边三角形， ∴∠BCD=30， ∴∠ABD=∠ACD=90， ∵DB=DC，CE=BM， ∴△DCE≌△BMD， ∵∠MDN=∠NDE=60 ∴DM=DE（上面已经全等） ∴DN=ND（公共边） ∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM 9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15．E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE； 证明：∵AC=BC，∠ACB=90， ∴∠CAB=∠ABC=45． ∵∠CAD=∠CBD=15， ∴∠BAD=∠ABD=30． ∴AD=BD． 在DE上截取DM=DC，连接CM， ∵AD=BD，AC=BC，DC=DC， ∴△ACD≌△BCD． ∴∠ACD=∠BCD=45． ∵∠CAD=15， ∴∠EDC=60． ∵DM=DC， ∴△CMD是等边三角形． ∴∠CDA=∠CME=120． ∵CE=CA， ∴∠E=∠CAD． ∴△CAD≌△CEM． ∴ME=AD． ∴DA+DC=ME+MD=DE． 即AD+CD=DE． 10.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD． 证明：∵AF平分∠DAE，∠D=90，FH⊥AE， ∴∠DAF=∠EAF，FH=FD， 在△AHF与△ADF中， ∵AF为公共边，∠DAF=∠EAF，FH=FD（角平分线上的到角的两边距离相等）， ∴△AHF≌△ADF（HL）． ∴AH=AD，HF=DF． 又∵DF=FC=FH，FE为公共边， ∴△FHE≌△FCE． ∴HE=CE． ∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE， ∴AE=EC+CD． 11.已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O． 求证：AB+CD=2BE． 证明：过D作DM∥AC交BA的延长线于M． ∵梯形ABCS中，AD=BC， ∴BD=AC． 又∵CD∥AM，DM∥AC， ∴四边形CDMA为平行四边形． ∴DM=AC，CD=AM． ∵MD∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD， ∴DM⊥BD，DM=BD， ∴△DMB为等腰直角三角形． 又∵DF⊥BM， ∴DF=BF． ∴BM=2DF=2BF ∴AM+AB=2BF． ∵CD=AM， ∴AB+CD=2BF． ∵AC=BD=AB， ∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD． ∴BE=BF． ∵AB+CD=2BF， ∴AB+CD=2BE． 12.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 求证：AD=DE． 证明：（1）∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF=∠DCF． 在△BFC和△DFC中， ∴△BFC≌△DFC． ∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB． 连接BD． ∵DF∥AB， ∴∠ABD=∠FDB． ∴∠ABD=∠FBD． ∵AD∥BC， ∴∠BDA=∠DBC． ∵BC=DC， ∴∠DBC=∠BDC． ∴∠BDA=∠BDC． 又BD是公共边， ∴△BAD≌△BED． ∴AD=DE． 13.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E． 求证：CF=CG； 证明：连接AC， ∵DC∥AB，AB=BC， ∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2； ∵∠ADC=∠AEC=90，AC=AC， ∴△ADC≌△AEC， ∴CD=CE； ∵∠FDC=∠GEC=90，∠3=∠4， ∴△FDC≌△GEC， ∴CF=CG． 14.如图，已知P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA于C，PA=PB，求证AO+BO=2CO 证明：过点P作PQ⊥OB于Q，则∠PQB=90 ∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PQ⊥OB ∴PC=PQ 在Rt△POC与Rt△POQ中， ∵PC=PQ PO=PO ∴Rt△POC≌Rt△POQ（HL） ∴OC=OQ ∴2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ 在Rt△PCA与Rt△PQB中， ∵PC=PQ PA=PB ∴Rt△PCA≌Rt△PQB（HL） ∴CA=QB 又2OC=OC+OB+BQ ∴2OC=OC+OB+CA=OA+OB 15.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．求证：BG=FG； 证明: ∵∠ABC=90，DE⊥AC于点F， ∴∠ABC=∠AFE． ∵AC=AE，∠EAF=∠CAB， ∴△ABC≌△AFE ∴AB=AF． 连接AG， ∵AG=AG，AB=AF， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG． ∴BG=FG 16.如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，连接CE、CF，求证：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△ 解：∵△ABE、△ADF是等边三角形 ∴FD=AD，BE=AB ∵AD=BC，AB=DC ∴FD=BC，BE=DC ∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE ∴∠CDF=∠EBC ∴△CDF≌△EBC， ∵AF=FD，AE=DC，EF=CF ∴△EAF≌△CDF ∴∠CDF=∠EAF， ∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC，∠AFE+∠EFD=60 ∴∠AFC-∠DFC=60 ∴∠AFE=∠DFC ∴∠EFC=60 同理，∠FEC=60 ∵CF=CE ∴△ECF是等边三角形 17.已知正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，过F点作EF⊥BA于E，G为DF中点，连接EG，CG．求证：EG=CG； 证明： 延长CG至M，使MG=CG， 连接MF，ME，EC， 在△DCG与△FMG中， ∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG≌△FMG． ∴MF=CD，∠FMG=∠DCG， ∴MF∥CD∥AB， ∴EF⊥MF． 在Rt△MFE与Rt△CBE中， ∵MF=CB，EF=BE， ∴△MFE≌△CBE ∴∠MEF=∠CEB． ∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90， ∴△MEC为直角三角形． ∵MG=CG， ∴EG= MC， ∴EG=CG． 18.如图，在△ABC中，∠ABC=60，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD． 解：在AC上取AF=AE，连接OF， 则△AEO≌△AFO（SAS）， ∴∠AOE=∠AOF； ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB， ∴∠ECA+∠DAC= （180-∠B）=60 则∠AOC=180-∠ECA-∠DAC=120； ∴∠AOC=∠DOE=120， ∠AOE=∠COD=∠AOF=60， 则∠COF=60， ∴∠COD=∠COF， 又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO， ∴△FOC≌△DOC（ASA）， ∴DC=FC， ∵AC=AF+FC， ∴AC=AE+CD． 19.已知：如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；说明：AD+BC=AB． 解：如图，在AB上截取AF=AD， ∴AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠FAE， ∵AF=AD，AE=AE， ∴△DAE≌△FAE， ∴∠D=∠AFE，∠DEA=∠FEA， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180， ∵AE⊥BE， ∴∠BAE+∠ABE=90， ∴∠DAE+∠CBE=90， ∴∠ABE=∠CBE， 同理，∠FEB=∠CEB， ∵BE=BE， ∴△BEF≌△BEC， ∴BF=BC， ∴AB=AF+FB=AD+BC． 20.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90，BC与DE相交于点F，连接CD，EB． 求证：CF=EF． 证明： ∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD， ∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB． 即∠CAD=∠EAB． ∴△CAD≌△EAB， ∴CD=EB，∠ADC=∠ABE． 又∵∠ADE=∠ABC， ∴∠CDF=∠EBF． 又∵∠DFC=∠BFE， ∴△CDF≌△EBF． ∴CF=EF． 21.将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90，∠A=∠D=30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． 求证：AF+EF=DE 证明： 连接BF ∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE，AC=DE． ∵∠ACB=∠DEB=90， ∴∠BCF=∠BEF=90． ∵BF=BF， ∴Rt△BFC≌Rt△BFE． ∴CF=EF． 又∵AF+CF=AC， ∴AF+EF=DE． 初二几何全等证明题集锦（二） 1.（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC． 求∠AEB的大小； E 图2 （2）如图2，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小. 2．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． （2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值． 3.如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90． ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90，点D在线段BC上运动． 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） CF相交于点P，求线段CP长的最大值． 4.已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB． 5.如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F。 求证：PM = QM。 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC－BD，则∠B∶∠C的值为多少？ 7、如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，BD＝CF，CD＝BE，G为EF中点，连结DG，问DG与EF之间有何关系?证明你的结论。 8.已知：三角形ABC和CDE为等腰直角三角形，点F、G分别为BE和AD的中点，连接FG和GC， 求证：FG和GC的关系。 9.如图1，已知△ABC，∠ACB=90，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，BE=EC，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE交AB于点F，试探究线段DF与EF的数量关系，并加以证明。 10.已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形． 11.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 12.如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点． 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半． 13如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF． 14、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF． 15、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF． D 16、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB ＝∠PCB． 17.如图2-1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90，∠BAC=60， （1）将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90，得到Rt△ACB，直线BB交直线CC于点D，连接AD. 探究：AD与BB之间的关系，并说明理由。 （2）如图2-2，若将Rt△ABC绕点A逆时针旋转任意角度，其他条件不变，还有（1）的结论吗？为什么？ 18.在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90，BC=DE，AC=BE，M.N分别是AB.BD的中点，连接MN交CE于点K （1）如图3-1，当C.B.D共线，AB=2BC时，探究CK与EK之间的数量关系，并证明； （2）如图3-2，当C.B.D不共线，AB≠2BC时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将题目中的条件“∠ABC=∠BDE=90，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一个条件，写出一个类似的对一般三角形都成立的问题（画出图形，写出已知和结论，不用证明） 19.如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。 20.填空或解答：点B．C．E在同一直线上，点A．D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。 （1）如图①，若∠BAC＝60，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90，则∠AFB＝_________； （2）如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________（用含α的式子表示）； （3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A．B重合），得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。 20.已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点． （1）求证：①；②是等腰三角形． （2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； 2１.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG 求证： 22.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG。若O为EG的中点 求证:BC=2AO 23. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，OA的延长线交BC于点H 求证：AH⊥BC 24. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若AH⊥BC，HA的延长线交EG于点O 求证：O为EG的中点 25. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG 求证： （1）BE=CG （2）BE⊥CG 26. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG 作FM⊥BC，交CB的延长线于点M，作DN⊥BC，交BC的延长线于点N 求证：FM+DN=BC 27. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG、FD O是FD中点，OP⊥BC于点P 求证：BC=2OP 28. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点 求证：四边形MNPQ是正方形 29. 如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？ 30. 如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。问： （1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。 （2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。 31.