五年级下长方体和正方体奥数.doc
/*一、上节课回顾及作业检查知识点回顾,规律公式二、新授重点内容在数学中,有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:1,必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;2,依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;3,求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。三、例题讲解及讲练结合例题1 一个零件形状大小如下图:算一算,它的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?(单位:厘米)分析 (1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是1042=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10(62)2=80(立方厘米),整个零件的体积是802=160(立方厘米);(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此,此零件的表面积就是(10610422)2=232(平方厘米)。想一想:你还能用别的方法来计算它的体积吗?练习一 1,一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积和体积各是多少? 2,把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。例题2 有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?(单位:厘米)分析 (1)先求出长方体的体积,856=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了222=8(立方厘米),这个零件的体积是2408=232(立方厘米);(2)长方体完整的表面积是(858665)2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(22)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(22)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236224=252(平方厘米)。练习二1,有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。(单位:厘米)。2,有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少?例题3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米?分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是504=12.5(平方厘米)。正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.56=75(平方厘米)。练习三1, 把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米?2, 把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少多少平方分米?例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。分析 要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知,a=12,b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大长方体的长是122=24厘米,宽12厘米,高是83=11厘米,表面积就不难求了。练习四1, 一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?2, 有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成几种不同的长方体?用图画出来。例题5 一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少?分析 长方体的前面和上面的面积是长宽长高=长(宽高),由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数,所以有209=1119=11(172),即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。练习五1, 有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?2,一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是96立方厘米,求它的表面积。例题6 有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米;乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)水面的高度。这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:403220=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:40323024=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。练习六1, 有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。问水面高多少?2,有一个长方体水箱,从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米?例7 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。分析 因为正方体的六个面都相等,而54=69=6(33),所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长:96=6(44),棱长是4厘米;150=6(55),棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积,这个大正方体的体积就等于它们的体积和。练习七1, 有三个正方体铁块,它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体,求这个大正方体的体积。2,将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体,已知这个长方体的长是13厘米,宽7厘米,求它的高。例题8 有一个长方体容器,从里面量长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中,水面上升多少分米?分析 铁块的体积是222=8(立方分米),把它浸入水中后,它就占了8立方分米的空间,因此,水上升的体积也就是8立方分米,用这个体积除以底面积(54)就能得到水上升的高度了。练习八1, 有一个小金鱼缸,长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块假山石浸入水中后,水面上升0.8分米。这块假山石的体积是多少立方分米?2,有一个正方体容器,边长是24厘米,里面注满了水。有一根长50厘米,横截面是12平方厘米的长方形的铁棒,现将铁棒垂直插入水中。问:会溶出多少立方厘米的水?例题4 有一个长方体容器(如下图),长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝左竖起来,里面的水深应该是多少厘米?分析 首先求出水的体积:30206=3600(立方厘米)。当容器竖起来以后,水流动了,但体积没有变,这时水的形状是一个底面积是2010=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。练习九1, 有两个长方体水缸,甲缸长3分米,宽和高都是2分米;乙缸长4分米、宽2分米,里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸,水在甲缸里深几分米?2,有一块边长2分米的正方体铁块,现把它煅造成一根长方体,这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形,求它的长。例题5 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米?分析 长方体不同的三个面的面积分别是长宽、长高、宽高得来的。因此,15106=(长宽高)(长宽高),而15106=900=3030。所以,这个长方体的体积是30立方厘米。练习十1, 一个长方体,不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米,这个长方体的体积是多少立方厘米?2,一个长方体,不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米,且长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少立方厘米?四、拓展延伸及作业布置1,有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体(如图),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?2,如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积和表面积各是多3,一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?4,一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。5,一个长方体和一个正方体的棱长之长相等,已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米,求正方体体积。6,一段钢材长15分米,横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋,求这根据钢筋的长。7,把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体,这个大正方体的表面积是多少平方分米?8,有一块边长是5厘米的正方体铁块,浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁后,水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米?9,像例题中所说,如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下,这时的水深又是多少厘米?10,一个长方体的体积是48立方厘米,并且长、宽、高是三个连续的偶数。这个长方体的表面积是多少平方厘米?五、课堂小结本节课我们学到了什么?
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长方体
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正方体
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一、上节课回顾及作业检查
知识点回顾,规律公式
二、新授重点内容
在数学中,有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:
1,必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;
2,依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;
3,求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。
三、例题讲解及讲练结合
例题1 一个零件形状大小如下图:算一算,它的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?(单位:厘米)
分析 (1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是1042=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10(6-2)2=80(立方厘米),整个零件的体积是802=160(立方厘米);
(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此,此零件的表面积就是(106+104+22)2=232(平方厘米)。
想一想:你还能用别的方法来计算它的体积吗?
练习一
1,一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积和体积各是多少?
2,把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。
例题2 有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?(单位:厘米)
分析 (1)先求出长方体的体积,856=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了222=8(立方厘米),这个零件的体积是240-8=232(立方厘米);
(2)长方体完整的表面积是(85+86+65)2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(22)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(22)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236+224=252(平方厘米)。
练习二
1,有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。(单位:厘米)。
2,有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少?
例题3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米?
分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是504=12.5(平方厘米)。正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.56=75(平方厘米)。
练习三
1, 把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米?
2, 把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少多少平方分米?
例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。
分析 要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知,a=12,b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是122=24厘米,宽12厘米,高是8+3=11厘米,表面积就不难求了。
练习四
1, 一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?
2, 有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成几种不同的长方体?用图画出来。
例题5 一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少?
分析 长方体的前面和上面的面积是长宽+长高=长(宽+高),由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数,所以有209=1119=11(17+2),即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习五
1, 有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?
2,一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是96立方厘米,求它的表面积。
例题6 有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米;乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?
分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)水面的高度。这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:403220=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:4032+3024=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。
练习六
1, 有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。问水面高多少?
2,有一个长方体水箱,从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米?
例7 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。
分析 因为正方体的六个面都相等,而54=69=6(33),所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长:96=6(44),棱长是4厘米;150=6(55),棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积,这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
练习七
1, 有三个正方体铁块,它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体,求这个大正方体的体积。
2,将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体,已知这个长方体的长是13厘米,宽7厘米,求它的高。
例题8 有一个长方体容器,从里面量长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中,水面上升多少分米?
分析 铁块的体积是222=8(立方分米),把它浸入水中后,它就占了8立方分米的空间,因此,水上升的体积也就是8立方分米,用这个体积除以底面积(54)就能得到水上升的高度了。
练习八
1, 有一个小金鱼缸,长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块假山石浸入水中后,水面上升0.8分米。这块假山石的体积是多少立方分米?
2,有一个正方体容器,边长是24厘米,里面注满了水。有一根长50厘米,横截面是12平方厘米的长方形的铁棒,现将铁棒垂直插入水中。问:会溶出多少立方厘米的水?
例题4 有一个长方体容器(如下图),长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝左竖起来,里面的水深应该是多少厘米?
分析 首先求出水的体积:30206=3600(立方厘米)。当容器竖起来以后,水流动了,但体积没有变,这时水的形状是一个底面积是2010=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
练习九
1, 有两个长方体水缸,甲缸长3分米,宽和高都是2分米;乙缸长4分米、宽2分米,里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸,水在甲缸里深几分米?
2,有一块边长2分米的正方体铁块,现把它煅造成一根长方体,这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形,求它的长。
例题5 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米?
分析 长方体不同的三个面的面积分别是长宽、长高、宽高得来的。因此,15106=(长宽高)(长宽高),而15106=900=3030。所以,这个长方体的体积是30立方厘米。
练习十
1, 一个长方体,不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米,这个长方体的体积是多少立方厘米?
2,一个长方体,不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米,且长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少立方厘米?
四、拓展延伸及作业布置
1,有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体(如图),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?
2,如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积和表面积各是多
3,一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?
4,一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。
5,一个长方体和一个正方体的棱长之长相等,已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米,求正方体体积。
6,一段钢材长15分米,横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋,求这根据钢筋的长。
7,把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体,这个大正方体的表面积是多少平方分米?
8,有一块边长是5厘米的正方体铁块,浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁后,水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米?
9,像例题中所说,如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下,这时的水深又是多少厘米?
10,一个长方体的体积是48立方厘米,并且长、宽、高是三个连续的偶数。这个长方体的表面积是多少平方厘米?
五、课堂小结
本节课我们学到了什么?
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