人教出版2018-2019年度学年八年级(上)第一次月考数学试卷(含内容规范标准答案).doc

2018-2019学年八年级（上）第一次月考数学试卷 　 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1．下面图案中是轴对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．点P与点Q关于直线m成轴对称，则PQ与m的位置关系（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．不确定 3．下列图形：①两个点；②线段；③角；④长方形；⑤两条相交直线；⑥三角形，其中一定是轴对称图形的有 （　　） A．5个 B．3个 C．4个 D．6个 4．在下列给出的条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．两边一角分别相等 B．两角一边分别相等 C．直角边和一锐角分别相等 D．三边分别相等 5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF 6．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　） A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，若BC=5，AD=4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 8．将一正方形纸片按图中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.） 9．已知△ABC与△A′B′C′关于直线L对称，∠A=40，∠B′=50，则∠C=　　． 10．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=5，EF=4，AC=　　． 11．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24，∠2=36，则∠3=　　． 12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　　块． 13．如图，已知在△ABC中，∠A=90，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=20cm，则△DEB的周长为　　cm． 14．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件： ①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE． 其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有　　个． 15．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=　　． 16．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为　　cm． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=　　度． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=　　时，△ABC和△PQA全等． 　 三、解答题（本大题共10小题，共76分.） 19．作图题：画出△ABC关于直线AC对称的△A′B′C′． 20．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF． 22．如图，AD是△ABC一边上的高，AD=BD，BE=AC，∠C=75，求∠ABE的度数． 23．已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE， （1）试说明：∠EAC=∠BAD． （2）若∠BAD=42，求∠EDC的度数． 24．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线（如图1），方法如下： 作法： ①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE． ②分别以DE为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以做角平分线（如图2），方法如下： 步骤： ①用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON． ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P． ③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线． 根据以上情境，解决下列问题： ①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　　． ②小聪的作法正确吗？请说明理由． 25．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90）绕着顶点B顺时针旋转60，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 26．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG． （1）求证：AD=AG； （2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由． 27．如图1，在△ABC中，∠BAC为直角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如图1，则∠　　 （2）若AB=AC，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，问CF、BD有怎样的关系？并说明理由． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论． 28．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm． （1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， ①CP的长为　　cm（用含t的代数式表示）； ②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？ 　  八年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1．下面图案中是轴对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【解答】解：第1，2个图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形， 故轴对称图形一共有2个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 　 2．点P与点Q关于直线m成轴对称，则PQ与m的位置关系（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．不确定 【考点】轴对称的性质． 【分析】点P与点Q关于直线m成轴对称，即线段PQ关于直线m成轴对称；根据轴对称的性质，有直线m垂直平分PQ． 【解答】解：点P和点Q关于直线m成轴对称，则直线m和线段QP的位置关系是：直线m垂直平分PQ． 故选：B． 【点评】此题考查了对称轴的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 　 3．下列图形：①两个点；②线段；③角；④长方形；⑤两条相交直线；⑥三角形，其中一定是轴对称图形的有 （　　） A．5个 B．3个 C．4个 D．6个 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：①两个点；②线段；③角；④长方形；⑤两条相交直线一定是轴对称图形； ⑥三角形不一定是轴对称图形． 故选A． 【点评】本题考查轴对称图形的知识，要求掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 　 4．在下列给出的条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．两边一角分别相等 B．两角一边分别相等 C．直角边和一锐角分别相等 D．三边分别相等 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析． 【解答】解：A、两边一角分别相等的两个三角形不一定全等，故此选项符合题意； B、两角一边分别相等可用AAS、ASA定理判定全等，故此选项不合题意； C、两角一边对应相等，可用SAS或AAS定理判定全等，故此选项不合题意； D、三边分别相等可用SSS定理判定全等，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF 【考点】全等三角形的判定． 【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可． 【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、∵在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、∵BC∥EF， ∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选B． 【点评】本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 　 6．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　） A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC． 【解答】解：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，BC=CD， ∴AC平分∠BCD，EB=DE， ∴∠BCE=∠DCE， 在Rt△BCE和Rt△DCE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）， 故选：C． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 　 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，若BC=5，AD=4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【考点】轴对称的性质． 【分析】根据题意，观察可得：△ABC关于AD轴对称，且图中阴影部分的面积为△ABC面积的一半，先求出△ABC的面积，阴影部分的面积就可以得到． 【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为三角形面积的一半， ∵S△ABC=BC•AD=45=10， ∴阴影部分面积=10=5． 故选A． 【点评】考查了轴对称的性质，根据轴对称得到阴影部分面积是解题的关键． 　 8．将一正方形纸片按图中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（　　） A． B． C． D． 【考点】剪纸问题． 【专题】压轴题． 【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从正方形的上面那个边剪去一个长方形，左下角剪去一个正方形，展开后实际是从大的正方形的中心处剪去一个较小的正方形，从相对的两条边上各剪去两个小正方形得到结论． 故选：B． 【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力． 　 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.） 9．已知△ABC与△A′B′C′关于直线L对称，∠A=40，∠B′=50，则∠C=　90　． 【考点】轴对称的性质． 【分析】根据成轴对称的两个图形全等求得未知角即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线L对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B=∠B′=50， ∵∠A=40， ∴∠C=180﹣∠B﹣∠A=180﹣50﹣40=90， 故答案为：90． 【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意掌握如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 　 10．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=5，EF=4，AC=　3　． 【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF=4， ∵△ABC的周长为12，AB=5， ∴AC=12﹣5﹣4=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的周长的定义，熟记性质是解题的关键． 　 11．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24，∠2=36，则∠3=　60　． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】常规题型． 【分析】易证△AEC≌△ADB，可得∠ABD=∠2，根据外角等于不相邻内角和即可求解． 【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE， ∴∠CAE=∠1， ∵在△AEC和△ADB中，， ∴AEC≌△ADB，（SAS） ∴∠ABD=∠2， ∵∠3=∠ABD+∠1， ∴∠3=∠2+∠1=60． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证AEC≌△ADB是解题的关键． 　 12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　2　块． 【考点】全等三角形的应用． 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 　 13．如图，已知在△ABC中，∠A=90，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=20cm，则△DEB的周长为　20　cm． 【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形． 【分析】先根据ASA判定△ACD≌△ECD得出AC=EC，AD=ED，再将其代入△DEB的周长中，通过边长之间的转换得到，周长=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以为20cm． 【解答】解：∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠ECD ∵DE⊥BC于E， ∴∠DEC=∠A=90 在△ACD与△ECD中， ∵， ∴△ACD≌△ECD（ASA）， ∴AC=EC，AD=ED， ∵∠A=90，AB=AC， ∴∠B=45 ∴BE=DE ∴△DEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=20cm． 故答案为：20． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 14．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件： ①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE． 其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有　4　个． 【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质． 【分析】根据题目所给条件可得∠ODF=∠OEF=90，再加上添加条件结合全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E， ∴∠ODF=∠OEF=90， ①加上条件OF是∠AOB的平分线可利用AAS判定△DOF≌△EOF； ②加上条件DF=EF可利用HL判定△DOF≌△EOF； ③加上条件DO=EO可利用HL判定△DOF≌△EOF； ④加上条件∠OFD=∠OFE可利用AAS判定△DOF≌△EOF； 因此其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有4个， 故答案为：4． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 15．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=　135　． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题． 【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE， ∴∠1=∠DBE， 又∵∠DBE+∠3=90， ∴∠1+∠3=90． ∵∠2=45， ∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90+45=135． 故填135． 【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力． 　 16．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为　12　cm． 【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 【分析】根据已知条件，先证明△DBE≌△ABE，再根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）来求DE的长度． 【解答】解：连接BE． ∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E， ∴∠A=∠BDE=90， ∴在Rt△DBE和Rt△ABE中， BD=AB（已知），BE=EB（公共边）， ∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL）， ∴AE=ED， 又∵AE=12cm， ∴ED=12cm． 故填12． 【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定（HL）以及全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）．连接BE是解决本题的关键． 　 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=　45　度． 【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45． 【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E ∴∠EAF+∠AFE=90，∠DBF+∠BFD=90， 又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等） ∴∠EAF=∠DBF， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴BD=AD， 即∠ABC=∠BAD=45． 故答案为：45． 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 　 18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=　5或10　时，△ABC和△PQA全等． 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可． 【解答】解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等， 理由是：∵∠C=90，AO⊥AC， ∴∠C=∠QAP=90， ①当AP=5=BC时， 在Rt△ACB和Rt△QAP中 ∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL）， ②当AP=10=AC时， 在Rt△ACB和Rt△PAQ中 ∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL）， 故答案为：5或10． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL． 　 三、解答题（本大题共10小题，共76分.） 19．作图题：画出△ABC关于直线AC对称的△A′B′C′． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至点B′，使DB′=DB，连接AB′，CB′即可． 【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求． 【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 　 20．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P． 【解答】解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求， 此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等． P和P1都是所求的点． 【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹． 　 21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可． 【解答】证明：∵FB=CE， ∴FB+FC=CE+FC， ∴BC=EF， ∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE， ∵在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AC=DF． 【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 　 22．如图，AD是△ABC一边上的高，AD=BD，BE=AC，∠C=75，求∠ABE的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据HL推出Rt△BDE≌Rt△ADC，推出∠C=∠BED=75，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABD=∠BAD=45，∠EBD=15，即可求出答案． 【解答】解：∵AD是△ABC一边上的高， ∴∠BDE=∠ADC=90， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）， ∴∠C=∠BED=75， ∵∠BDE=90，AD=BD， ∴∠ABD=∠BAD=45，∠EBD=15， ∴∠ABE=∠ABD﹣∠EBD=45﹣15=30． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出△BDE≌△ADC，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 　 23．已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE， （1）试说明：∠EAC=∠BAD． （2）若∠BAD=42，求∠EDC的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）利用“边边边”求出△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAE，然后都减去∠CAD即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠ADE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠EDC=∠BAD，从而得解． 【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（SSS）， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD， 即：∠EAC=∠BAD； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B=∠ADE， 由三角形的外角性质得，∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B， ∴∠EDC=∠BAD， ∵∠BAD=42， ∴∠EDC=42． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． 　 24．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线（如图1），方法如下： 作法： ①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE． ②分别以DE为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以做角平分线（如图2），方法如下： 步骤： ①用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON． ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P． ③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线． 根据以上情境，解决下列问题： ①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　SSS　． ②小聪的作法正确吗？请说明理由． 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定． 【分析】①根据全等三角形的判定即可求解； ②根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断． 【解答】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS． 故答案为SSS； ②小聪的作法正确． 理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON， ∴∠OMP=∠ONP=90， 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠MOP=∠NOP， ∴OP平分∠AOB． 【点评】本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大． 　 25．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90）绕着顶点B顺时针旋转60，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得∠DHF=∠CBF=60，从而求解． 【解答】（1）证明：∵在△CBF和△DBG中， ， ∴△CBF≌△DBG（SAS）， ∴CF=DG； （2）解：∵△CBF≌△DBG， ∴∠BCF=∠BDG， 又∵∠CFB=∠DFH， 又∵△BCF中，∠CBF=180﹣∠BCF﹣∠CFB， △DHF中，∠DHF=180﹣∠BDG﹣∠DFH， ∴∠DHF=∠CBF=60， ∴∠FHG=180﹣∠DHF=180﹣60=120． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键． 　 26．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG． （1）求证：AD=AG； （2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB=∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF=∠CHE，所以∠ABD=∠ACG．再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD=AG， （2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED=∠GAD=90，即AG与AD垂直． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠HFB=∠HEC=90，又∵∠BHF=∠CHE， ∴∠ABD=∠ACG， 在△ABD和△GCA中 ， ∴△ABD≌△GCA（SAS）， ∴AD=GA（全等三角形的对应边相等）； （2）位置关系是AD⊥GA， 理由为：∵△ABD≌△GCA， ∴∠ADB=∠GAC， 又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE， ∴∠AED=∠GAD=90， ∴AD⊥GA． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 　 27．如图1，在△ABC中，∠BAC为直角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如图1，则∠　CAF　 （2）若AB=AC，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，问CF、BD有怎样的关系？并说明理由． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】（1）根据∠BAD+∠DAC=90，∠CAF+∠DAC=90，即可解题； （2）易证∠BAD=∠CAF，即可证明△BAD≌△CAF，可得CF=BD，即可解题； （3）易证∠BAD=∠CAF，即可证明△BAD≌△CAF，可得CF=BD，即可解题． 【解答】证明：（1）∵∠BAD+∠DAC=90，∠CAF+∠DAC=90， ∴∠BAD=∠CAF； （2）①∵∠BAD+∠DAC=90，∠CAF+∠DAC=90， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF，（SAS） ∴CF=BD； ②∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90+∠CAD，∠CAF=∠CAD+∠DAF=90+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF，（SAS） ∴CF=BD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAF是解题的关键． 　 28．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm． （1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， ①CP的长为　10﹣4t　cm（用含t的代数式表示）； ②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？ 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）①根据正方形边长为10cm和点P在线段BC上的速度为4cm/秒即可求出CP的长； ②分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况进行解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）①PC=BC﹣BP=10﹣4t； ②当△BPE≌△CPQ时， BP=PC，BE=CQ， 即4t=10﹣4t，at=6， 解得a=4.8； 当△BPE≌△CQP时， BP=CQ，BE=PC， 即4t=at，10﹣4t=6， 解得a=4； （2）当a=4.8时， 由题意得，4.8t﹣4t=30， 解得t=37.5， ∴点P共运动了37.54=150cm， ∴点P与点Q在点A相遇， 当a=4时，点P与点Q的速度相等，∴点P与点Q不会相遇． ∴经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇． 【点评】本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．