人教出版数学必修二线面角与线线角.doc

.- 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 线面角与线线角 【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：；（2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：；（3）求法； 3、一些常见模型中的角之间的关系。 【典型例题】 例1：（1）在正方体中，下列几种说法正确的是 （ ） A、 B、 C、与成角 D、与成角 答案：D。解析：A1C1与AD成45，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为。 （2）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为 （ ） A、2个 B、4个 C、6个 D、8个 答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。 （3）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧 面对角线E1D与BC1所成的角是 （ ） A．90 B．60 C．45 D．30 答案：B。解析将BC1平移到E1F即可。 （4）在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是 。 答案：AC⊥BD。解析：过A作AH⊥平面BCD，垂足为H，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，从而BD⊥CH，可得BD⊥AC。 （5）点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成的角，则AB的长等于__ ___. 答案：16或64。解析：分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。 例2：．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。 　　（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于 A、D的任意一点，证明EF⊥FC1； （II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E 点能否使EF与平面BB1C1C成60角，为什么？证明你的结论。 答案：（I）连结DF，DC 　∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， 　　∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC 　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C 　　∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影， 　　在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2， 　　＝B1F2＋＝5a2，　∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1 FC1⊥EF 　　（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角 　　在△EDF中，若∠EFD＝60，则ED＝DFtg60＝＝， A B C D P 　　∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上 　　故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60角。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD的底面是AB=2, BC =的矩形, 侧面PAB是等边三角形, 且侧面 PAB⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小; 答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB⊥底面ABCD, 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在矩形ABCD中, BC⊥AB，.∴BC⊥侧面PAB. (Ⅱ)证: 在矩形ABCD中, AD∥BC, BC⊥侧面PAB, ∴AD⊥侧面PAB. 又AD平面PAD, ∴侧面PAD⊥侧面PAB. (Ⅲ)解: 在侧面PAB内, 过点P做PE⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, PE⊥AB, ∴PE⊥底面ABCD. 于是EC为PC在底面ABCD内的射影. ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角. 在△PAB和△BEC中, 易求得PE=, EC=.在Rt△PEC中, ∠PCE=45. 例4：设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小. 答案： 【课内练习】 1．若平面外的直线与平面所成的角为，则的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D） 答案：D。解析：a和α平行，a和α斜交。 2．在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC 的中点，则直线OM ( ) A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直 答案：A 。解析：易证OM⊥AC，OM⊥MN。 3．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是 （ ） A．30 B．45 C．60 D．90 答案：C 。解析：连AC、BD交于O，连OE，则OE//SC. 4．异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为，这样的直线L有 条。 答案：三条。解析：如换成50，70呢。 5．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且 ∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。 答案：600 。解析：以PD为对角线构造长方体 6．正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相 等，试写出满足条件的一个截面____________ 答案：面AD1C。解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C， 7．如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45，∠SBC=60，M为AB的中点，求： （1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成角的正弦值。 解析：（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，∴SC⊥平面SAB。 于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角，为60。 （2）联结SM，CM，∵在Rt△SAB中，∠SBA=45，∴SM⊥AB，∴AB⊥平面SCM。 作SH⊥CM于H，则AB⊥SH，故SH⊥平面ABC，所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角。 设SA=a，则SB=a，SC=，SM=。 在Rt△CSM中，， 。 即SC与平面ABC所成角的正弦值为。 8．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F， ⑴求证：A1C⊥平面BDE； ⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。 答案：⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE ⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则， ，∴， ∴ 设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角， ∴ 9．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB⊥CD； （Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值. 答案：（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD. 取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD. （Ⅱ）由CD⊥平面ABM，则平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角. 在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60，. 在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60，∴△ACD是正三角形，AM=. 在Rt△BCM中，BC=，CM=1， . 10．已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。 答案：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影， ∴PCO是PC与面ABC所成的角。∵ PA = PB = PC， ∴点P在底面的射影是DABC的外心， 注意到DABC为钝角三角形，∴点O在DABC的外部， ∵AC = BC，O是DABC的外心，∴OC⊥AB 在DOBC中，OC = OB， OCB = 60，∴DOBC为等边三角形，∴OC = 2 在RtDPOC中，∴PCO = 60 。 【作业本】 A组 1．垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ） A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能 答案：D。解析：注意空间和平面中的位置关系的不同。 2．是平面α的斜线，，与成角，与在α内的射影成角，则与α所成角的大小为 。 答案：。解析：，即θ=。 3．是两两成角的三条射线,则与平面所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 答案：C。解析：可放入正四面中考虑。 4．直线与平面α成角为300，则m与所成角的取值范围是 。 答案： [ 300 , 900]。解析：斜线与平面内所有直线的所成角中，线面角最小角。 5．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为，则AC与平面α所成角的大小是 。 答案：。解析：。 6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求： (1) ； (2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切； (3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值. 解析：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴. 则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4) ) ∵ ∴ (2) 由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，平面AMN，垂足为N. 因此AD与平面ANM所成的角即是 ∴ (3) ∵平面ABCD，A1N平面AMN， ∴分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。 设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则 P B α C A 7．已知∠ACB=900，且在平面α内，PC与CA、CB所成角 ∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。 P B α C A E D H 答案：解：如图过点P作PH⊥平面ABC于H， 过点H作HD⊥AC于D，作HE⊥BC于E，连PD、PE，∴PD⊥AC，PE⊥BC， ∵∠PCA=∠PCB=600，∴ΔPCD≌ΔPCE，∴CD=CE，∴ΔHCD≌ΔHCE， ∴HD=HE，∴CH平分∠ACB，设PC=a∴ ∴∠PCH=450，即PC与平面α所成角为450。 8. 如图，正方形ACC1A1与等腰直角△ACB互相垂直，∠ACB=90，E、F分别是AB、BC的中点， G是AA1上的点. （1）若，试确定点G的位置； （2）在满足条件（1）的情况下，试求cos＜，＞的值. 解析：（1）以C为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。 令，则， 设，则， 由得，∴G为AA1的中点。 （2），。 B组 1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是. 则这两条直线的位置关系 （ ） A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行 A B C D P 答案：D。解析：若平行则直线与平面的所成角必相等。 2．如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平面DAB 内过点P与直线BC成60角的直线共有 ( ) A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 答案：C。解析：过B分别作BD，AB的平行线即可。 3．正方体ABCD-ABCD中，点P在侧面BCCB及其边界上运动，并且总保持 AP⊥BD,则动点P的轨迹 （ ） A、线段BC B、BB的中点与CC中点连成的线段 C、线段BC D、CB中点与BC中点连成的线段 答案：A。解析：B1C⊥面BD1C1，∴P点轨迹为线段B1C。 4．设为直二面角，，，，∠BAN＝∠CAN＝45， 则∠BAC＝ 。 答案：60。解析：。 5．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____。 答案：。解析：CD为斜边上的高， 设 为二面角的平面角， 6．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，， ∠ADC＝120， ⑴求证：求异面直线AD，PB的所成角； ⑵若AB的中点为E，求二面角D－PC－E的大小。 答案：⑴连BD，∵∠ADC＝120，AB∥CD，∴∠DAB＝60，又，∴ ∴AD⊥BD，又∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，∴AD⊥平面PDB，∴AD⊥PB， 即异面直线AD、PB的所成角为90。 ⑵连DE，由已知可得△DEC为正三角形，取DC的中点F，连EF，则EF⊥CD， ∵PD⊥面ABCD，∴EF⊥PD，∴EF⊥面PCD，过F作FG⊥PC，连EG， 则∠EGF为二面角D－PC－E的平面角 设CD＝a，则，在△PDC中，，则 ∴ ∴（注：本题用空间向量做也可） 7． 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=a，BC=CA=AA1=a，A1在底面ABC上的射影O在AC上. （Ⅰ）求AB与侧面AC1所成的角； （Ⅱ）若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积. 答案：(Ⅰ)在△ABC中，AB=，BC=AC=a,∴△ABC是等腰直角三角形，BC⊥AC，∠CAB=45,又BC⊥A1O，故BC⊥侧面AC1，AB与侧面AC1所成角就是∠BAC=45. （Ⅱ）由（Ⅰ）知四边形B1BCC1为矩形，中点， 于E，连结A1E，则AB⊥A1E. 在Rt△AOE 中，，在Rt△A1EO中， . 8．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 答案：(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点， ， ， ， 又， PA与平面PBC所成的角的大小等于， (Ⅱ)由(Ⅰ)知，，∴F是O在平面PBC内的射影 ∵D是PC的中点， 若点F是的重心，则B，F，D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD， ，即 反之，当时，三棱锥为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为的重心 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn