函数极限与连续学习知识梳理.doc

^` 知识梳理 知识梳理知识梳理 第一节：函数 第二节：函数极限与连续 第三节：数列极限 2.1 函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难 2.2内容提要与释疑解难 一、函数极限的概念 1.。 2. 把1中“”换成“”。 3． 把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。 5． 设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成。 定理 且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。 读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理 。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。 二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。 例如 ，则。 注：A不能为零，若A=0，不可能和0等价。 无穷小量的性质： 1．若均为无穷小量，则 （i） 其中均为常数。 （ii）。 2．若时是有界量，，则。 无穷大量的性质： 1．有限个无穷大量之积仍是无穷大量。 2．有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。 无穷小量与无穷大量之间的关系： 若； 若。 三、函数连续的概念。 定义1 若处连续。 用语言可写为 定义 设的某邻域内有定义，若时，都有，称连续。 用函数值增量形式可写为 定义 若，称在处连续。 若,称处左连续。 若称处右连续。 定理处连续处既是左连续又是右连续。 如果处不连续，称为的间断点。 间断点的分类： （1）若点。 若为函数的可去间断点，只须补充定义或改变函数在该点连续。但须注意，这时函数与已经不是同一个函数但仅在处不同，在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数，使在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当时，也具有这种性质。而时，，所以在的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。 例如 ， 但 则在处连续，但与定义域不同， 虽然，又如 知。设 则在处连续，虽然与定义域相同，但在处，两个函数值不同，知与不是同一函数，但仅在不同，其余点函数值处处相同。 （2）若但，称为的跳跃间断点，称的跳跃度。 （1）（2）两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。 （3）若处，左、右极限至少有一个不存在，我们称。 若，我们也称为的无穷型间断点，属于第二类间断点。 四、函数极限的性质 在下述六种类型的函数极限： （1） （2） （3） （4） （4） （6） 它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以为例，其它类型极限的相应性质的叙述只要作适当修改就可以了。 性质1（唯一性）若极限存在，则它只有一个极限。 性质2（局部有界性）若极限存在，则存在的某空心邻域，使在内有界。 注意：存在，只能得出在的某邻域内有界，得不出在其定义域内有界。 性质3 若，则存在的某空心邻域，使时，都有。 性质4（局部保号性） 若，则对任何常数，存在的某空心邻域，使得对一切，都有 成立。 性质5（不等式）若，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有。 性质6 （复合函数的极限）若，且存在的某空心邻域，当时， ，则。 性质6是求极限的一个重要方法——变量替换法，即 。 性质7（函数极限的四则运算）若均存在，则函数 （1）； （2）； （3）；又若在时的极限也存在，且有 （4）。 利用极限的四则运算，可得下列重要结果。 上面的结论可作为公式用。 性质8（归结原则或海涅（Heine）定理）存在的充要条件是： 都存在且相等。 逆否定理若存在两个数列==且或存在不存在，则不存在。 此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。 五、函数连续的性质 若函数处连续，即，利用极限的性质1-5可得到函数在连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把即可，读者自己叙述出来。 利用极限的四则运算，我们有 性质1（连续函数的四则运算）若处连续，则。 性质2 若处连续，则处也连续且 在满足性质2的条件下，极限符号与外函数可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有 推论 若。 证 设则处连续，又 处连续，由性质2知。 由于。 在这里，我们巧妙地利用可去间断点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质2及推论也是求函数极限的一个重要方法。 即极限符号与外函数交换顺序，把复杂函数极限转化为简单函数极限。 定理 初等函数在其定义域上连续。 六、闭区间上连续函数的性质 定理 （最大值与最小值定理）若在闭区间上连续，则在上一定能取到最大值与最小值，即存在，使得对一切，都有。 推论1 若上连续，则上有界。 定理（根的存在定理或零值点定理）若函数上连续，，则至少存在一点。 推论1 若函数上连续，且之间的任何常数，则至少存在一点。 推论2 若函数上连续，则。 这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。 七、重要的函数极限与重要的等价量 利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。 1． 2. . 3．. 4.. 5. . 6、. 7．. 8．. 9． . 10． . 11．若 = 即 。 注：不仅要记住这些公式的标准形式，更要明白一般形式。即上面公式中的可换成，只要时，，结论依然成立。 利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们 当时，. . 注：上式中的可换成，只要时，.结论依然成立。 例如 。 此外，若. 解题基本方法与技巧 2.3 解题基本方法与技巧 一、求函数极限的有关定理 等价量替换定理，若 （1）； （2）；，则. 证, 即. 这个定理告诉我们，在求函数极限时，分子、分母中的因式可用它的简单的等价的量来替换，以便化简，容易计算。但替换以后函数极限要存在或为无穷大。需要注意的是，分子、分母中加减的项不能替换，应分解因式，用因式替换，包括用等价无穷小量、等价无穷大量或一般的等价量来替换。 夹逼定理 若 ，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有，则 。 单调有界定理（1）若在内递增（或递减）有下界（或上界），则存在。 （2）若在内递增（或递减）有下界（或上界），则存在。 请读者给出的叙述。函数的单调有界定理应用的较少，大家只要了解就可以。 洛必达法则I 设 （1）； （2）存在的某邻域，当时，都存在，且 ； （3），则. 洛必达法则II，设 （1）； （2）存在的某邻域，当时，都存在且 ； （3），则. 1．上述两个法则中的改成时，条件（2）只须作相应的修改，结论依然成立。 2．在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以达到简化，再利用洛必达法则。 3．利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出；若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法。此外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次。 注：洛比达法则是第三章内容。 二、函数极限的类型 1． 若是初等函数，的定义域，由初等函数的连续性知. 2．若，则 （1） （2） 对于因式中含有对数函数，反三角函数时，一般放在分子、否则利用洛必达法则很繁，或求不出来。 （3） 当同号时， 这时，把化成分式，通分、化简，化成“”或“”，再利用洛必达法则。 （4） (i)当时， 我们有两种方法求该未定式的极限，一种方法利用重要极限来计算，另一种方法，化为以e为底的指数函数，再利用洛必达法则。即 解法一 再根据具体情况化成。 解法二 这两种方法，我们经常还是利用解法一方便。 （ii）当时，（iii）当时 这时，只有化成以e为底的指数函数，再利用洛必达法则。即 . 而不属于未定式，因为 。 。 已知函数的表达式 三、已知函数的表达式，求函数的极限 1．求函数极限的四种重要方法 （1）极限的四则运算；（2）等价量替换；（3）变量替换；（4）洛必达法则。 对于未定式的极限，先用等价量替换或变量替换或极限的四则运算化简，再利用洛必达法则求极限。很多情况下，这几种方法常常综合运用。 例1 求. 解 （）=。 例2 求. 解 , 由得 原式=。 注：本题虽然是未定式，但巧妙地用变量替换，并没用洛必法则就直接求出了极限。 例3 求。 解 原式 ， 由时，，得 原式 。 例4 求. 解 原式， 由时，，得 原式 . 例5 求. 解 原式. 例6 求. 解法一 由，故 原式=. 解法二 原式, 由，得原式. 例7 求. 解法一 原式, 且时， 原式= . 解法二 原式 例8 求. 解 原式 由。得 原式. 例9 求. 解 原式 由，，得 原式 . 例10 求. 解 原式 . 例11 求. 解 原式. 例12 求. 解 原式. 例13 求. 解法一 原式 . 解法二 原式 . 例14 求. 解 原式 . 例15 求. 解 例16 求. 解 . 例17 求. 解 例18 设在的某邻域内连续，，求 解 于是 = 例19 求. 分析 因为，所以洛必达法则不适用，宜改用其它方法。 解 原式 例20 求. 无限循环，所以不能用洛必达法则. 解 原式. 利用泰勒公式求函数极限 2．利用泰勒公式求函数极限。 若。事实上， . 因此，利用带有佩亚诺余项的泰勒公式可以求出某些函数极限，当时，若 则 例21 求. 解 由于, ，所以 . 对于求时的函数极限，若用泰勒公式求极限，可令，变成求时的的函数极限，再利用上述的方法去解决。 3．利用夹逼定理求函数极限。 例22 求. 解 . 由，根据夹逼定理知，. 例23 求. 分析 本题虽然属于型，但不能用洛必达法则，因为 不存在。 因此，用其它方法， 解 对任意自然数，有 ， 当时，成立不等式 . 由根据夹逼定理知原式=. 注：这里是的函数，是分段函数，即. 4．利用定义证明函数极限的存在 利用函数极限定义证明函数极限与利用数列极限定义证明数列极限存在完全类似，在这里我们就不再重复了，一般情况，能不用尽量不用。除非要求用定义证，且考研出这种题的可能性较小。 例24 用定义证明。 证 不妨设，则， 任给，要使，由， 只要时，都有，由定义知。 注：这里用了公式 。 至于用函数极限的单调有界定理求函数极限的可能性更小。 四、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值。 这种题型考的可能性更大，因为这种题型更能考察考生运用无穷小量阶的比较和洛必达法则分析问题，解决问题的能力。 例25 求，求常数a, b. 解 令，于是 原式 ， 由，知分子当时，是分母的同阶无穷小量，所以 . 得 原式 。 例26 设，求常数 解 ， 由，知分子是分母的同阶无穷小量，得 有， 解得。 例27 试确定常数。 解 由题意知. 由于=arcsin , 所以, 必有 例28 已知为常数，求常数a和k，使时， 解 ，由，知 ，从而 ， 得 例29 确定常数的值，使， 解 由 知分子、分母是同阶无穷小量有 ， 且 故, 注： （1） 必有， 与（1）矛盾，若 。 故。 例30 设在存在二阶导数，且 ，求。 分析：这里表面上没有字母常数，实际上 就是待求的字母常数。 解法一 由，得. 由。于是 。 由。从而 ， 得， 注：求时不能用下述方法，，。虽然结论对了，但过程是错的。因为存在，推不出在的某空心邻域内存在且在不知是否连续，所以。 解法二 由， 利用在处的带有二阶余项的佩亚诺展开式，得 由 从而有 又。于是 ，所以 判断函数极限不存在的方法 五、判断函数极限不存在的方法。 1．若 极限不存在。 例31 讨论极限. 解 取 取 而不存在。 2．若 例32 讨论极限. 解 取， 知不存在。 六、关于函数连续性的应用和间断点的讨论。 1．函数连续性的应用 例33 设在区间X上的连续，且在有理点处都等于0，则。 证取有理数列，使，由，根据归结原则知。 例34 若在区间X上连续，当为有理数，，则在区间X递增。 证，取有理数列, 根据条件有 由于 ，在不等式（1）中，令，得。 所以在区间X是递增函数。 注：这里区间X可以是闭区间、开区间、半闭半开区间或无穷区间。 例35 设在上连续，，若 ，证明：存在一，使 。 证 由闭区间上连续，则在一定能取到最小值，最大值M，且值域,有 又，于是 。 故至少存在一点，使得。 例36 证明：若函数在上连续，且对任何，存在相应的， 使得。 证 ，由条件知存在，使，同样存在 使，如此下去…，存在数列，使，由 对于一切，都有，从而。 令，得，由是上任意一点，故。 例37 设。证明：若对任何，都有，则为常值函数。 证 （i）当时，由条件得 是常值数列。 又在处连续，由归结原则， （ii）当时，由条件得 是常值数列。 由，而，知，且 由，知 ，知。 2．间断点的讨论 如果初等函数，若在处没有定义，但在一侧或两侧有定义，则是间断点，再根据在处左右极限来确定是第几类间断点。如果是分段函数，分界点是间断点的怀疑点。 例38 求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出其类型。 解 ， 由于在处没定义，而在两侧有定义，故是间断点。 又所以是函数的第一类（可去）间断点。 。 例39 讨论的间断点，并指出间断点的类型。 解 由于所以是第二类间断点。 例40 讨论的间断点，并指出类型。 解 由于 且所以是跳跃间断点。 七、关于分段函数在分界点连续性的讨论。 例41 设。 解 由。 故。 注：由是初等函数表达式。在处有意义知连续且为左连续，以后遇到类似情况，我可直接得出左连续，从而只要右连续即可。 例42 已知 解 因为。 所以。 八、杂题 例43 若。 解法一 由于，故 从而。 解法二 . 例44 设在的某邻域内连续，且，求. 解 令 , 于是 ， 故 原式。 例45 设存在，证明 证：由存在，知时，存在。当充分小时，，在上对应用拉格朗日定理得，其中。 由 且，由夹逼定理知 而 ， 故 . 例46 求. 分析 这题虽然是“”型，但直接用洛必达法则或等价量替代，都不能求出结果。然而从被求的式子构成形式，启发我们用微分中值定理 解原式 . 注：由于介于之间，当时，，根据夹逼定理知 例47 . 解原式 . 注：此题也可用微分中值定理去求。