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-/ 北师大版初中数学定理知识点汇总七年级上册 第二章有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ※绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。 ※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大 或 ※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 ②若|a|=0，则a=0， ③若|a|=b，则a=b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| ※有理数加法法则： ※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加。 ※有理数减法法则： ※有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，积仍为0。 ※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与、…等） ※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。 乘积为1的两个有理数互为倒数。注意： ①零没有倒数 ②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。 ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 ※有理数除法法则：①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 ②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。 指数 底数 幂 ※有理数的乘方 ※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51； ②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 ※乘方的运算性质： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数； ④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1； ⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 ※有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 科学计数法； 有效数字： 一．选择题(每小题3分，共24分) 1．－2的相反数是（　　） A．2 B．－2 C． D． 2．│3.14－ ｜的值是（ ）． A．0 B．3.14－ C．－3.14 D．3.14+ 3．一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ） A．1 B． C．1 D．1和0 4．如果，下列成立的是（ ） A． B． C． D． 5．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（保留两个有效数字） D ．0.0502（精确到0.0001） 6．计算的值是（ ） A． B． C．0 D． 7．有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ） A．a + b＜0 B．a + b＞0 C．a－b = 0 D．a－b＞0 8．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 二．填空(每题3分，共24分) 9．在数+8.3、 -4、-0.8、 、 0、 90、 、中，________是正数，_________不是整数。 10. +2与-2是一对相反数，请赋予它实际的意义：_________. 11．的倒数的绝对值是___________. 12．+4= ； 13．用科学记数法表示13 040 000，应记作_______________. 14．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则(a + b)3 .(cd)4 =__________. 15．大肠杆菌每过20分便由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成__________个. 16．在数轴上与-3距离四个单位的点表示的数是__________. 3、观察下列等式，你会发现什么规律：，，，。。。请将你发现的规律用只含一个字母n（n为正整数）的等式表示出来 9、已知|x+1|=4，（y+2）2=4，求x+y的值 第三章整式的加减 ※代数式的概念： 用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ※代数式的系数： 代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x,4y的系数分别为3，4。 注意：①单个字母的系数是1，如a的系数是1； ②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab的系数是-1。a3b的系数是1 ※代数式的项： 代数式表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项 注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。 ※同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 注意：①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可； ②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； ③几个常数项也是同类项。 单项式： 单项式次数： 多项式： 多项式次数： ※合并同类项： 把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 ①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律； ②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 注意： ①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0； ②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上； ③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。 ※根据去括号法则去括号： 一、填空题：（每题 2 分，共 24 分） １、单项式：－的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿。 ２、多项式：2x2－1＋3x 是＿＿＿＿次＿＿＿＿项式。 ３、化简：(x＋1)－2 (x－1)＝＿＿＿＿。 ４、单项式 5x2y、3x2y、－4x2y 的和为＿＿＿＿。 ５、多项式 3a2b－a3－1－ab2 按字母 a 的升幂排列是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ６、若 x＋y＝3，则 4－2x－2y＝＿＿＿＿。 ７、用代数式表示：“x、y两数的平方差”＿＿＿＿。 ８、填上适当的多项式：ab＋b2＋＿＿＿＿＝2ab－3b2 ９、5an－1b2 与 －3a3bm 是同类项，则 m＝＿＿＿＿，n＝＿＿＿＿。 10、写出多项式 x＋xy＋y＋1 中最高次项的一个同类项：＿＿＿＿。 11、a、b 互为倒数，x、y 互为相反数，则 (x＋y)－ab＝＿＿＿＿。 12、食堂有煤 x 千克，原计划每天用煤 b 千克，实际每天节约用煤 c 千克，实际用了＿＿＿天,比计划多用了＿＿＿＿＿＿＿天。 二、选择题：（每题 3 分，共 18 分） １、下列属于代数式的是（　　） 　　A、4＋6＝10　　　 B、2a－6b＞0　　　 C、0　　　　　　　D、v＝ ２、下列说法正确的是（　　） 　　A、－xy2是单项式　　B、ab没有系数　　C、－是一次一项式　　D、3 不是单项式 ３、下列各组式子是同类项的是（　　） 　　A、3x2y与3xy2　　　 B、abc与ac　　　C、－2xy与－3ab　　D、xy与－xy ４、下列计算正确的是（　　） 　　A、2x＋3y＝5xy　　B、－2ba2＋a2b＝－a2b　　C、2a2＋2a3＝2a5　　D、4a2－3a2＝1 ５、减去 －3x 得 x2－3x＋4 的式子为（　　） 　　A、x3＋4 B、x2＋3x＋4 C、x2－6x＋4 D、x2－6x ６、一个长方形的周长为 6a＋8b，其中一边长为 2a＋3b，则另一边长为（　　） 　　A、4a＋5b B、a＋b C、a＋2b D、a＋7b 三、化简：（每题 5 分，共 30 分） 　５、3x2－［7x－(4x－3)－2x2］　　　　　 　６、2［x－(－)］－x 四、先化简，再求值：（每题 5 分，共 10 分） １、4x2－(2x2＋x－1)＋(2－x2－3x)，其中 x＝－ ２、5 (3a2b－ab2)－(ab2＋3a2b)，其中 a＝，b＝－1 五、（6分）已知 (x＋1)2＋＝0，求 2(xy－5xy2)－(3xy2－xy) 的值。 六、（6分）已知：A＝x3＋2x2y＋2y3－1，B＝3＋y3＋2x2y＋2x3，若A＋B＋C＝0，求 C。 七、（6分）邮购一种图书，每本定价 m 元，不足 100 本时，另加书价的 5% 作为邮资。 　　（1）要邮购 x（x＜100 的正整数）本，总计金额是多少元？ 　　（2）当一次邮购超过 100 本时，书店除免付邮资外，还给予 10% 的优惠，计算当 m＝3.2 元，邮购 120 本时的总计金额是多少元？ 第五章一元一次方程 ※在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次）,这样的方程叫做一元一次方程。 ※等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。 ※等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 ※解方程的步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等几个步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=m的形式。 5、工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 6、行程问题： 　　（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度时间. 　　（2）基本类型有 　　　　① 相遇问题； 　　　　② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题. 7、商品销售问题 有关关系式： 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价折扣率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价折扣率 8、储蓄问题 ⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税 ⑵ 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%） 一、选择题：（每题3分，共24分） 1、下列方程的变形正确的个数有 （ ）个 （1）由3+x=5,得 x=5+3; （2）由7x= -4,得 x=; （3）由,得 y=2; （4）由3=x -2,得 x= -2-3; A、1 B、2 C、3 D、0 2、某种商品的进价为1200元，标价为1575元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于﹪，则至多可打（ ） A、6折 B、7折 C、8折 D、9折 3、为了解决药品价格过高的问题，决定大幅度降低药品的价格，其中将原价a元的某种常用药降价40﹪,则降价后此药价格为（ ） A、元 B、元 C、 60﹪a元 D、 40﹪a 元 4、下列说法中，正确的是（ ） A、代数式是方程 B、方程是代数式 C、等式是方程 D、方程是等式 5、与方程的解相同的方程是（ ） A、 B、 C 、 D、 6、一个数的与2的差等于这个数的一半．这个数是（ ） A、12 B、–12 C、18 D、–18 7、母亲26岁结婚．第二年生了儿子，若干年后，母亲的年龄是儿子的3倍.此时母亲的年龄为（ ） A、39岁 B、42岁 C、45岁 D、48岁 8、A、B两地相距240千米，火车按原来的速度行驶需要4时，火车提速后，速度比原来加快30％，那么提速后只需要（ ） A、时 B、时 C、时 D、时 二、填空题（每题4分，共32分） 9、如果x=4是方程ax=a+4的解，那么a的值为______. 10、当x= 时，代数式4x-5的值等于7. 11、已知甲数比乙数的2倍大1，如果设甲数为x，那么乙数可表示为_____；如果设乙数为y，那么甲数可表示为_________. 12、初一（3）班男女生人数的比为5：4，如果男生人数为a人，那么女生人数是 人，全班共有学生 人. 13、欢欢的生日在8月份．在今年的8月份日历上，欢欢生日那天的上、下、左、右4个日期的和为76，那么欢欢的生日是该月的 号. 14、某工厂预计今年比去年增产15﹪,达到年产量60万吨，设去年的年产量为x万吨，则可列方程 ； 15、甲、乙两辆汽车从相隔400米的两站同时同向出发，经过2小时后，甲车追上乙车，若甲车的速度是a千米/时，则乙车的速度是 ； 16、从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7小时，开通高速公路后，车速平均每小时增加了20千米，只需5小时即可到达.甲乙两地的路程是 ； 三、解答题（共44分） 17、解下列方程（每题5分，共10分） （1） （2） 18、（6分）为何值时，代数式的值等于3？ 19、（7分）一家商店将某型号彩电先按原售价提高40﹪,然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”.经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款.求每台彩电的原价格. 例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ 20、（7分）小明的爸爸三年前为小明存了一份 3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得本利和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率. 图形的初步认识 1. 直线：（1）直线是向__________无限延伸的，直线没有端点。 （2）经过两点有且只有一条__________。 2．射线：直线上一点和它一旁的部分叫做__________，这个点叫做射线的端点，射线只有一个端点。 3. 线段：（1）直线上两点之间的部分叫做__________，__________有两个端点. （2）两点之间，__________最短。 （3）把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的__________。 4．垂线；当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是__________时，叫做两条直线互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做__________。 5、垂线的性质：（1）经过一点，有且只有__________条直线和已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，__________最短。 6．两点间的距离：连结__________的线段的长度。 7．点到直线的距离：从直线外一点到__________的垂线段的长度。 8．两条平行线间的距离：两条平行线中一条直线上__________到另一条直线的距离。 9、角：有公共端点的两条__________组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条__________叫做角的边。 10、角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个__________的角的射线，叫做角平分线。 11．平角、周角：射线绕端点旋转，当终止位置和起始位置成__________时，所成的角叫做平角；继续旋转回到__________位置时，所成的角叫做周角。 12、角的度量：1周角＝ 平角＝ 直角＝ 360, 1=___’ , 1’=___” 13．小于平角的角的分类：__________角、__________角、__________角。 14．互为余角、补角：如果两个角的和是__________，这两个角叫做互为余角；如果两个角的和是__________，这两个角叫做互为补角。 15．相关角的性质：（1）对顶角__________；（2）同角或等角的余角__________；（3）同角或等角的补角__________。 测试题 一、选择题 1、下列语句中表述正确的是（ ） A．延长直线AB B．延长射线OC C．作直线AB=BC D．延长线段AB 3、已知M是线段AB的中点，那么，①AB=2AM；②BM=AB；③AM=BM；④AM+BM=AB。上面四个式子中，正确的有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、如图：由AB=CD可得AC与BD的大小关系 （ ） A．AC>BD B．AC

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