-!
初一数学竞赛讲座(四)
有理数的有关知识
一、 知识要点
1、绝对值
x的绝对值的意义如下：=
是一个非负数，当且仅当x=0时，=0
绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：表示数轴上a点到b点的距离。
2、倒数
1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。
3、相反数
绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。
二、 例题精讲
例1 化简
分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。
解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6
当时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2
当时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4
当时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10
当x≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2
∴原式=
评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。
例2 已知的最大值和最小值。(第六届迎春杯决赛试题)
分析：先解不等式，求出x的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。
解：解不等式得：
的几何意义是x到1的距离与x到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x≤-3时这差取得最大值4，因，则当时这差取得最小值.
评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。
2、本题求得x的范围后，也可用零点分段法将化简，然后求出最大值和最小值。
=
由上式可以看出：当x≤-3时取得最大值4，当时取得最小值
例3 解方程
(第六届华杯赛决赛初一试题)
分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。
解：由原方程得
由(1)得：
从而 x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963
由(2)得：
从而
所以 y=或 y=
于是，原方程的解是
评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中，求中的x值也可以用绝对值的几何意义来解，表示x到原点与到3.1415926的距离相等，因而x是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963
例4 有理数均不为0，且设试求代数式2000之值。(第11届希望杯培训题)
分析：要求代数式2000的值，必须求出x的值。根据 x的特征和已知条件，分析a与b+c,b与a+c，c与a+b的关系，从而求出x的值。
解：由均不为0，知均不为0．
∵ ∴
即
又中不能全同号，故必一正二负或一负二正．
所以中必有两个同号，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．
∴ ∴
因此，
例5已知a、b、c为实数，且
求的值。(第8届希望杯试题)
分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。
解：由已知条件可知a≠0，b≠0，c≠0，对已知三式取倒数得：
三式相加除以2得：
因为，所以=
例6 求方程的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题)
分析：1可以化成：，于是
由绝对值的性质：若ab≤0，则可得(x-2) (x-3)≤0
从而求得x
解：原方程可化为：
则 (x-2) (x-3)≤0，所以，所以2≤x≤3
因此原方程有无数多个解。
评注：本题很巧妙地将“1”代换成，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。
例7 求关于x的方程的所有解的和。
解：由原方程得 ，∴
∵0
展开阅读全文
淘文阁 - 分享文档赚钱的网站所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
