初二数学解题技巧窍门.doc

.\ 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 4) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、 倍长中线（线段）造全等 例1.已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线， 求证：AB+AC>2AD。 分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD， 但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。 3图 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC 因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC ∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE 所以∠ABC=∠CAE 因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC ∠ADC=∠ABC+∠BAD 所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE 所以∠BAD=∠DAE 即AD平分∠BAE 应用： 二、截长补短 例1.已知：如图1所示， AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。 求证：BE+CF>EF。 分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三 边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。 证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。 延长FD到G , 使DG=FD, 再连结EG,BG 1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 证明： 取AB中点E，连接DE ∵AD=BD ∴DE⊥AB，即∠AED=90【等腰三角形三线合一】 ∵AB=2AC ∴AE=AC 又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】 AD=AD ∴⊿AED≌⊿ACD（SAS） ∴∠C=∠AED=90 ∴CD⊥AC 2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD 在AB上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD 3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 证明： 做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。 （首先算清各角的度数） ∵∠APB=180—∠BAP—∠ABP=180—30—80=70 且∠APM=180—∠APB—∠MPC=180—70—∠QBC（同位角相等）=180—70—40=70 ∴∠APB=∠APM 又∵AP是BAC的角平分线， ∴∠BAP=∠MAP AP是公共边 ∴△ABP≌△AMP(角边角） ∴AB=AM，BP=MP 在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40 ∴MP=MC ∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在△QBC中 ∵∠QBC=QCB=40 ∴BQ=QC ∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴BQ+AQ=AB+BP 赞同 4、角平分线如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分， 求证： 延长BA,作DF⊥BA的延长线，作DE⊥BC ∵∠1=∠2 ∴DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等） ∴在Rt△DFA与Rt△DEC中 ｛AD=DC,DF=DE} ∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL) ∴∠3=∠C 因为∠4+∠3=180 ∴∠4+∠C=180 即∠A+∠C=180♢ 5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 延长AC至E，使AE=AB，连结PE。 然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧~） △PCE中，EC>PE-PC ∵EC=AE-AC，AE=AB ∴EC=AB-AC 又PB=PE ∴PE-PC=PB-PC ∴AB-AC>PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞. 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC中，∠B=60，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 在AC上取点F，使AF=AE ∵AD是角A的平分线 ∴角EAO＝角FAE/ ∵AO=AO ∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等） ∴EO=FO ，角AOE＝角AOF ∵CE是角C的平分线 ∴角DCO＝角FCO ∵角B＝60 ∴角A+角C＝180－60＝120 ∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度 ∴角OCF＝180－角AOF-角COD＝180－60－60＝60 ∴角OCF＝角COD ∵OC=OC ∴三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等） ∴CF=CD ∴AC=AF+CF＝AE+CD 即：AE+CD=AC 2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. 证明：连接BD,CD DG⊥BC于G且平分BC 所以GD为BC垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 BD=CD 角平分线上的点到角两边距离相等 ,AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC的延长线于F 所以DE=DF 在RT△BED,RT△CFD中 DE=DF BD=CD RT△BED≌RT△CFD(HL) BE=CF 应用： 五、旋转 例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG 则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE，AF=AG， 所以三角形AEF全等于AEG 所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度 例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 （1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。 做DP⊥BC，垂足为P，做DQ⊥AC，垂足为Q ∵D为中点，且△ABC为等腰RT△ABC ∴DP=DQ=BC=AC 又∵∠FDQ=∠PDE(旋转）∠DQF=∠DPE=90 ∴△DQF≌△DPE ∴S△DQF=S△DPE 又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE ∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=BC*AC=AC（AC=BC=定值） ∴四边形DECF面积不会改变 例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ； 我简单说一下 过D点做DE⊥AB的延长线 然后证明DMN≌DME （注意△DBE实际上是△DCN旋转后得来的）