初级中学数学三角函数难题.doc

.\ 1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（　　） A．1 B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C=90，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是　 　． 3．观察下列等式 ①sin30= cos60= ②sin45= cos45= ③sin60= cos30= … 根据上述规律，计算sin2a+sin2（90﹣a）=　 　． 4．有四个命题： ①若45＜a＜90，则sina＞cosa； ②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形； ③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数； ④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个． 其中正确命题的序号是 　 　（注：把所有正确命题的序号都填上）． 5．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为　 　． 6．在Rt△ABC中，∠C=90，BC：AC=3：4，则cosA=　 　． 7．如果α是锐角，且sin2α十cos235=1，那么α=　 　度． 8．因为cos30=，cos210=﹣，所以cos210=cos（180+30）=﹣cos30=﹣； 因为cos45=，cos225=﹣，所以cos225=cos（180+45）=﹣cos45=﹣； 猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180+a）=﹣cosa，由此可知cos240的值等于　 　． 9．在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C=　 　． 10．在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A=　 　． 11．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是 　 　．（多填或错填得0分，少填的酌情给分） 12．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260+cos260=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由． 13．对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sinα=sin（180﹣α），cosα=﹣cos（180﹣α） （1）求sin120，cos120，sin150的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小． 14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长； （2）当MN∥AB时，求t的值； （3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． 15．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离． 16．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号 1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60． ∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角， ∴∠ADB=60． ∴sin∠ADB=sin60=． 故选C． 2．（2013•崇明县一模）在Rt△ABC中，∠C=90，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是　　． 【解答】解：∵∠C=90，BD是△ABC的角平分线， ∵将△BCD沿着直线BD折叠， ∴C1点恰好在斜边AB上， ∴∠DC1A=90， ∴∠ADC1=∠ABC， ∵AB=5，AC=4， ∴sin∠ADC1=． 故答案为：． 　 3．（2012•衡阳）观察下列等式 ①sin30= cos60= ②sin45= cos45= ③sin60= cos30= … 根据上述规律，计算sin2a+sin2（90﹣a）=　1　． 【解答】解：由题意得，sin230+sin2（90﹣30）=1； sin245+sin2（90﹣45）=1； sin260+sin2（90﹣60）=1； 故可得sin2a+sin2（90﹣a）=1． 故答案为：1． 4．（2010•防城港）有四个命题： ①若45＜a＜90，则sina＞cosa； ②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形； ③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数； ④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个． 其中正确命题的序号是 　①④　（注：把所有正确命题的序号都填上）． 【解答】解：①因为sin45=cos45=，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确； ②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误； ③根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣，x1x2=． ∴x1+x2+x1x2=，是正数． 故此选项错误； ④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确． 故正确的有①④． 　 5．（2011•莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为　5　． 【解答】解：如图所示， 延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′． 作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4． ∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5． 即光线从点A到点B经过的路径长为5． 　 6．（2007•眉山）在Rt△ABC中，∠C=90，BC：AC=3：4，则cosA=　　． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90，BC：AC=3：4， ∴设BC=3x，则AC=4x， ∴AB=5x， ∴cosA===． 　 7．（2002•西城区）如果α是锐角，且sin2α十cos235=1，那么α=　35　度． 【解答】解：∵sin2α十cos235=1， ∴α=35． 8．（2010•湛江）因为cos30=，cos210=﹣，所以cos210=cos（180+30）=﹣cos30=﹣； 因为cos45=，cos225=﹣，所以cos225=cos（180+45）=﹣cos45=﹣； 猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180+a）=﹣cosa，由此可知cos240的值等于　﹣　． 【解答】解：∵当a为锐角时，有cos（180+a）=﹣cosa， ∴cos240=cos（180+60）=﹣cos60=﹣．　 9．（2013•邵阳模拟）在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C=　105　． 【解答】解：∵sinA=，cosB=， ∴∠A=30，∠B=45， ∴∠C=180﹣30﹣45=105． 故答案为：105． 10．（2012•海南模拟）在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A=　105　． 【解答】解：∵（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0， ∴tanC﹣1=0，﹣2cosB=0， 即tanC=1，cosB=， 又∵B、C在同一个三角形中， ∴B=30，C=45， ∴A=180﹣30﹣45=105． 故答案是105． 11．（2011•九江模拟）若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是 　①②④　．（多填或错填得0分，少填的酌情给分） 【解答】解：∵sinα＜sinβ，则α＜β； 故此选项正确； ②若α+β=90，则sinα=cos（90﹣α）=cosβ， ∴故此选项正确； ③存在一个角α，sinα=， ∴sinα≤1， ∴sinα=1.02，故此选项错误； ④tanα=．根据对应边之间关系得出， 故此选项正确． 故答案为：①②④． 12．（2008•庆阳）附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260+cos260=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由． 【解答】解：存在的一般关系有： （1）sin2A+cos2A=1； （2）tanA=． 证明：（1）∵sinA=，cosA=， a2+b2=c2， ∴sin2A+cos2A==1． （2）∵sinA=，cosA=， ∴tanA==， =．　 13．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sinα=sin（180﹣α），cosα=﹣cos（180﹣α） （1）求sin120，cos120，sin150的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小． 【解答】解：（1）由题意得， sin120=sin（180﹣120）=sin60=， cos120=﹣cos（180﹣120）=﹣cos60=﹣， sin150=sin（180﹣150）=sin30=； （2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30，30，120， ①当∠A=30，∠B=120时，方程的两根为，﹣， 将代入方程得：4（）2﹣m﹣1=0， 解得：m=0， 经检验﹣是方程4x2﹣1=0的根， ∴m=0符合题意； ②当∠A=120，∠B=30时，两根为，，不符合题意； ③当∠A=30，∠B=30时，两根为，， 将代入方程得：4（）2﹣m﹣1=0， 解得：m=0， 经检验不是方程4x2﹣1=0的根． 综上所述：m=0，∠A=30，∠B=120． 14．（2010•密云县）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长； （2）当MN∥AB时，求t的值； （3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． 【解答】解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形． ∴KH=AD=3． 在Rt△ABK中，AK=AB•sin45=4•=4，BK=AB•cos45=4=4． 在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3． ∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10． （2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形． ∵MN∥AB， ∴MN∥DG． ∴BG=AD=3． ∴GC=10﹣3=7． 由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t． ∵DG∥MN， ∴∠NMC=∠DGC． 又∵∠C=∠C， ∴△MNC∽△GDC． ∴， 即． 解得，． （3）分三种情况讨论： ①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t， ∴． ②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E． 解法一： 由等腰三角形三线合一性质得： EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t． 在Rt△CEN中，cosC==， 又在Rt△DHC中，cosC=， ∴． 解得t=． 解法二： ∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90， ∴△NEC∽△DHC． ∴， 即． ∴t=． ③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t． 解法一：（方法同②中解法一）， 解得． 解法二： ∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90， ∴△MFC∽△DHC． ∴， 即， ∴． 综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形． 　 15．（2015•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离． 【解答】解：由已知，得∠ECA=30，∠FCB=60，CD=90， EF∥AB，CD⊥AB于点D． ∴∠A=∠ECA=30，∠B=∠FCB=60． 在Rt△ACD中，∠CDA=90，tanA=， ∴AD==90=90． 在Rt△BCD中，∠CDB=90，tanB=， ∴DB==30． ∴AB=AD+BD=90+30=120． 答：建筑物A、B间的距离为120米． 　 16．（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 【解答】解：过点B作BD⊥AC于D． 由题意可知，∠BAC=45，∠ABC=90+15=105， ∴∠ACB=180﹣∠BAC﹣∠ABC=30， 在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20=10（海里）， 在Rt△BCD中，BC===20（海里）． 答：此时船C与船B的距离是20海里．